Diferencia entre revisiones de «Flujo de Couette (Grupo 26A)»

Revisión del 14:16 27 nov 2022

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de dos cilindros concéntricos de manera que el exterior se mueve con velocidad angular constante en sentido antihorario mientras que el interior está fijo. Si suponemos que ambos cilindros tienen su eje en OX3 y pintamos la sección transversal (x3 = 0) el cilindro exterior queda proyectado sobre la la circunferencia ρ = 2 y el interior sobre la circunferencia ρ = 1. La velocidad angular cilindro exterior es ω > 0

1 Dibujo de la sección trasversal

En primer lugar, con el fin de visualizar el flujo, cortamos los dos cilindros con el plano [math]x_3=0[/math], de forma que resulta la siguiente sección trasversal.

Para hallar esta figura, hemos ejecutado en MatLab el siguiente programa.

h=0.1;                      % definicion del intervalo
 u=1:h:2;                    % pertenencia del parametro u [1,2]
 v=0:h*pi/10:2*pi+h*pi/10;            % pertenencia del parametro  v [0,2*pi]
 [U,V]=meshgrid(u,v);        % Matrices de coordenadas de U y V
 figure(1)
 X=U.*cos(V);                % parametrizacion
 Y=U.*sin(V);
 mesh(X,Y,0*X);               % Dibujo de la matriz
 axis([-3,3,-3,3])           % Selección de los ejes del dibujo
 view(2)                     % Elección de perspectiva

2 Cálculo de la velocidad de las partículas

Conocemos por la física del problema, que la velocidad de las partículas viene dada por [math]\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} [/math], además de que su presión (p) es constante. Por otro lado, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:

[math](\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} [/math].

Al ser la presión constante, su gradiente es nulo: ∇p=0; y si despreciamos la parte convectiva [math](\vec{u} · ∇)\vec{u}=0 [/math] tendremos:

[math]µ∆\vec{u} =\vec{0}[/math].

Esta ecuación hacer referencia al laplaciano de un campo vectorial, que es el laplaciano de cada una de sus componentes en sus respectivas direcciones:

[math]∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j} + u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{e_ρi} + ∆u_2\vec{j} + ∆u_3\vec{e_z}[/math].

Pero, en este caso, el campo está dado en la base cilíndrica, por lo que hay que pasarlo a la base cartesiana. Sin embargo, las componentes podemos dejarlas en función de la base cilindrica.

[math]\vec{u} = f(ρ)(cosθ\vec{i}+senθ\vec{j}) = f(ρ)cosθ\vec{i}+f(ρ)senθ\vec{j}[/math],.

Aplicamos la formula del laplaciano de un campo vectorial definida anteriormente:

[math]∆\vec{u} = ∆(0)\vec{e_ρ} + ∆(f(ρ))\vec{e_θ} + ∆(0)\vec{e_z}[/math],

[math]∆\vec{u} = [∇ ·[∇(f(ρ))]]\vec{e_θ} [/math],