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| − | {{ TrabajoED | Deformaciones de un semianillo circular en 2-D. Grupo 8-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC20/21|2020-21]] | Victoria Elena Cedillo García, María Cristina Pérez-Pozuelo López, Ángela Masiel Zaragoza Paredes }}
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| − | En el siguiente artículo procederemos a analizar las deformaciones que sufre la placa bajo la acción de la temperatura y las fuerzas.
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| − | == Visualización de la placa ==
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| − | Para comenzar se representará los puntos interiores de una placa plana con forma de semianillo circular con radios 1 y 2.
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| − | [[Archivo:A8-1.jpg|350px|miniaturadeimagen|izquierda|Semianillo circular plano]]
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| − | {{matlab|codigo=
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| − | h= 0.1; %Paso de muestreo
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| − | %Usamos coordenadas cilíndricas
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| − | r= 1:h:2;
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| − | tetha= 0:h:pi;
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| − | [rr,tt]= meshgrid(r,tetha); %Mallado
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| − | %Parametrizamos en cartesianas
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| − | x=rr.*cos(tt);
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| − | y=rr.*sin(tt);
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| − | clf %Borramos las posibles gráficas que hubiera
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| − | mesh(x,y,0*x); %Visualización de la placa
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| − | view(2)
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| − | axis ([-3,3,-1,3])
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| − | }}
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| − | == Distribución de temperaturas del sólido ==
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| − | En el siguiente apartado se representará la temperatura del sólido mediante tintas hipsométricas y se deducirá el punto en el que esta es máxima.
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| − | La '''distribución de temperaturas''' en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar: <math>\
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| − | T(x,y)=exp({-x^2+y^2-1})</math>
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| − | [[Archivo:A8-2.jpg|450px|miniatura|derecha|Distribución y curvas de nivel de la temperatura]]
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| − | {{matlab|codigo=
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| − | h= 0.1; %Paso de muestreo
| |
| − | %Usamos coordenadas cilíndricas
| |
| − | r= 1:h:2;
| |
| − | tetha= 0:h:pi;
| |
| − | [rr,tt]= meshgrid(r,tetha); %Mallado
| |
| − | %Parametrizamos en cartesianas
| |
| − | x=rr.*cos(tt);
| |
| − | y=rr.*sin(tt);
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| − | clf
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| − | %Campo temperatura (en cartesianas)
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| − | T=exp(-x.^2+y.^2-1); %Campo escalar de temperatura
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| − | subplot(1,2,1) %Dividimos la pantalla en dos
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| − | surf(x,y,T) %Representamos el campo escalar de temperaturas
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| − | view(2)
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| − | axis ([-3,3,-1,3])
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| − | colorbar %Mostramos la escala
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| − | subplot(1,2,2) %Escribimos en la segunda pantalla
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| − | contour(x,y,T,60) %Líneas de nivel
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| − | colorbar %Mostramos las escala
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| − | axis ([-3,3,-1,3])
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| − | }}
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| − | Como se puede observar en la primera gráfica, la temperatura alcanza su apogeo en el punto (0,2), donde el color es más cálido. Esto también se puede apreciar en la segunda gráfica ya que hay mayor proximidad entre las curvas.
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| − | == Estudio del gradiente de temperaturas==
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| − | A continuación, se estudiará la dirección de máximo crecimiento de la temperatura, es decir, el gradiente, comprobando que este sea ortogonal a las curvas de nivel del apartado anterior.
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| − | <math>grad T = -2x.exp(-x^2+y^2-1)\vec i\ + 2y.exp(-x^2+y^2-1)\vec j\ </math>
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| − | {{matlab|codigo=
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| − | h= 0.1; %Paso de muestreo
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| − | %Usamos coordenadas cilíndricas
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| − | r= 1:h:2;
| |
| − | tetha= 0:h:pi;
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| − | [rr,tt]= meshgrid(r,tetha); %Mallado
| |
| − | %Parametrizamos en cartesianas
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| − | x=rr.*cos(tt);
| |
| − | y=rr.*sin(tt);
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| − | T=exp(-x.^2+y.^2-1); %Campo escalar de temperatura
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| − | figure
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| − | hold on
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| − | contour(x,y,T,40) %Líneas de nivel
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| − | colorbar %Mostramos las escala
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| − | axis ([-3,3,-1,3])
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| − | %Gradiente temperatura (en cartesianas)
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| − | tx=inline('-2*x.*exp(-x.^2+y.^2-1)','x','y') %Derivada parcial respecto de x
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| − | ty=inline('2*y.*exp(-x.^2+y.^2-1)','x','y'); %Derivada parcial respecto de y
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| − | TX=tx(x,y);
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| − | TY=ty(x,y);
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| − | h= quiver(x,y,TX,TY); %Representamos el campo vectorial
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| − | axis ([-3,3,-1,3])
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| − | set(h,'maxheadsize',0.33) %Cambiamos formato flechas
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| − | }}
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| − | [[Archivo:A8-33.jpg|470px|miniaturadeimagen|izquierda|Campo vectorial del gradiente ]]
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| − | [[Archivo:A8-44.png|450px|miniaturadeimagen|derecha|Detalle de la ortogonalidad del gradiente respecto a las curvas de nivel ]]
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| − | == Campo vectorial en los puntos del sólido ==
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| − | Conociendo el campo de deformaciones de la placa:
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| − | <br />
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| − | u(ρ,θ) = sinθf(ρ)\(\vec g_{ρ}\) + 0\(\vec g_{\theta}\) + 0\(\vec g_{z}\)<br />
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| − |
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| − | Tenemos dos condiciones que se deben cumplir:
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| − |
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| − | 1º Que los puntos situados en ρ = 1 no sufren desplazamiento, lo que significa que:
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| − | u(ρ,θ) = sin(θ)f(1)\(\vec g_{ρ}\) = 0 ⇔ f(1) = 0
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| − |
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| − | 2º |∇ · u| = sinθ(2ρ − 1)/4
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| − | Ahora calculamos la divergencia del campo:
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| − | ∇ · u = 1/ρ{∂/∂ρ (ρ · sin(θ)f(ρ))} = (sin(θ)(ρf(ρ)))'/ρ = sinθ(2ρ − 1)/4
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| − | (ρf(ρ))' = (2ρ^2-ρ)/4
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| − | ==Representación campo de vectores==
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| − | A continuación, se representa el campo de desplazamientos calculado en el apartado anterior.
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| − | Para ello se empleará la base ortonormal cartesiana por lo que se pasa el \(\vec g_{\rho}\) a <math> cosθi + senθ j </math>, obteniendo: <math> u(ρ,θ)=sen(θ). cos(θ). (2ρ-1)/4 i + sen^2(θ) .(2ρ-1)/4</math>
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| − | [[Archivo:A8-55.jpg|500px|miniaturadeimagen|izquierda]]
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| − | {{matlab|codigo=
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| − | h= 0.1; %Paso de muestreo
| |
| − | rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares.
| |
| − | tt= 0:h:pi;
| |
| − | [RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
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| − | x=RR.*cos(TT);
| |
| − | y=RR.*sin(TT);
| |
| − | axis ([-3,3,-1,3])
| |
| − | a= sin(TT).*cos(TT).*(2.*RR-1)/4;
| |
| − | b=(sin(TT)).^2.*(2.*RR-1)/4;
| |
| − | w=quiver(x,y,a,b);
| |
| − | axis ([-3,3,-1,3])
| |
| − | set(w,'maxheadsize',0.33) %Cambiamos formato flechas
| |
| − | }}
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| − | Según nuestro gráfico, el campo de vectores es mayor en la zona central superior del semianillo, donde las flechas son más largas y hay más próximas.
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| − |
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| − | ==Efecto de los desplazamientos==
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| − | Para poder observar cómo afecta el campo de desplazamientos a nuestro sólido, lo representaremos antes y después de su efecto.
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| − |
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| − | [[Archivo:A8-63.jpg|475px|miniaturadeimagen|derecha|Efecto de los desplazamientos.]]
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| − | {{matlab|codigo=
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| − | h= 0.1; %Paso de muestreo
| |
| − | rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
| |
| − | tt= 0:h:pi;
| |
| − | [RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
| |
| − | x=RR.*cos(TT);
| |
| − | y=RR.*sin(TT);
| |
| − | clf
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| − | %Sólido antes de los desplazamientos
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| − | subplot(1,2,1)
| |
| − | i=mesh(x,y,0*x);
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| − | view(2)
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| − | set(i,'EdgeColor','g');
| |
| − | axis ([-3,3,-1,3])
| |
| − | title('Placa no desplazada','Fontsize',25);
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| − |
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| − | %Sólido después de los desplazamientos
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| − | subplot(1,2,2)
| |
| − | A= sin(TT).*cos(TT).*(2.*RR-1)/4;
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| − | B=(sin(TT)).^2.*(2.*RR-1)/4;
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| − | X=x+A;
| |
| − | Y=y+B;
| |
| − | mesh(X,Y,0*X)
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| − | view(2)
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| − | axis ([-3,3,-1,3])
| |
| − | title('Placa desplazada','Fontsize',25);
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| − |
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| − | %Comparación de ambas representaciones.
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| − | figure
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| − | mesh(X,Y,0*X)
| |
| − | axis ([-3,3,-1,3])
| |
| − | view(2)
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| − | title('Desplazamiento de la placa','Fontsize',16);
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| − | hold on
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| − | i = mesh(x,y,0*x);
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| − | set(i,'EdgeColor','g');
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| − | }}
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| − |
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| − | Como podemos ver, el desplazamiento sigue la dirección del campo de vectores hallado anteriormente, deformándose más en la zona central superior del semianillo.
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| − | [[Archivo:A8-62.jpg|500px|miniaturadeimagen|centro|Comparación del antes y después del efecto. ]]
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| − |
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| − | ==Estudio de la Divergencia.==
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| − | La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, en nuestro caso, al tratarse de una placa plana, medirá en cambio de área. Eta viene dada por:
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| − | <br />
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| − | :::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{\sqrt g} \frac{\partial}{\partial x^i}({\sqrt g}{u_i})=\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({ρ}{u_ρ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({ρ}{u_θ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial z}({ρ}{u_z})= senθ\frac{(2ρ-1)}{4}</math>.
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| − | <br />
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| − | [[Archivo:A8-7.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Estudio de la Divergencia en el sólido.]]
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| − | {{matlab|codigo=
| |
| − | h= 0.1; %Paso de muestreo
| |
| − | %Usamos coordenadas polares
| |
| − | rr= 1:h:2;
| |
| − | tt= 0:h:pi;
| |
| − | [RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
| |
| − | x=RR.*cos(TT);
| |
| − | y=RR.*sin(TT);
| |
| − | DIVu=sin(TT).*(2.*RR-1)/4;
| |
| − | surf(x,y,DIVu);
| |
| − | view(2);
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| − | axis ([-3,3,-1,3])
| |
| − | colorbar;
| |
| − | title('Divergencia','Fontsize',20);
| |
| − | }}
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| − | La divergencia es mayor en la parte superior del semianillo, corroborando lo hecho anteriormente, ya que es ahí donde el sólido sufre más deformación por efecto del desplazamiento.
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| − |
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| − | == 9 Tensiones normales==
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| − | A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa, estas vienen definidas, en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, por el tensor:
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| − | <br />
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| − | σ(x,y)=λ∇.u.1 + 2με<br />
| |
| − | Siendo ε la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y λ y μ los coeficientes de Lamé que varían en función del material y que en este caso son ambos de valor 1.
| |
| − | [[Archivo:A8 matriz sigma.jpg|450px|miniaturadeimagen|centro|Matriz de componentes de sigma]]
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| − | Pese a que los desplazamientos se realizan en el plano, las tensiones no tienen por qué ser planas, y se puede representar en las tres direcciones del espacio. Puesto que estamos empleando coordenadas cilíndricas, se representan las tensiones en las direcciones de la base ortogonal cilíndrica {\(\vec g_{ρ}\), \(\vec g_{\theta}\), \(\vec g_{z}\)}.
| |
| − | Para ello, multiplicamos escalarmente la matriz sigma por el vector \(\vec g_{i}\) por ambos lados: tensión normales en dirección i = \(\vec g_{i}\) * σ * \(\vec g_{i}\)
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| − |
| |
| − | a) dirección \(\vec g_{\rho}\): (1,0,0)*σ*(1,0,0) = <math>(7ρ/6-1/2+1/(12ρ^2 ))sinθ </math>
| |
| − |
| |
| − | b) dirección \(\vec g_{\theta}\)/ρ: (0,1,0)*σ*(0,1,0) = <math> (5ρ/6-1/2-1/(12ρ^2 ))sinθ</math>
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| − |
| |
| − | c) dirección \(\vec g_{z}\): (0,0,1)*σ*(0,0,1) = <math>(ρ/2-1/4)sinθ </math>
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| − |
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| − | Representamos las tensiones primero en 2D y, posteriormente en 3D en las dos direcciones en las que existen tensiones.
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| − | [[Archivo:A8 tensiones 2D.png|500px|marco|derecha|Representación de las tensiones en las direcciones rho y sigma]]
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| − | {{matlab|codigo=
| |
| − | h=0.1;
| |
| − | r=1:h:2;
| |
| − | t=0:h:pi;
| |
| − | [rr,tt]=meshgrid(r,t);
| |
| − | clf
| |
| − | subplot(1,3,1);
| |
| − | xx=rr.*cos(tt);
| |
| − | yy=rr.*sin(tt);
| |
| − | a=(7*rr./6-1/2+1./(12*rr.^2)).*sin(tt); %Elemento (1,1) de la matriz sigma
| |
| − | b=(5*rr/6-1/2-1./(12*rr.^2)).*sin(tt);
| |
| − | surf(xx,yy,a)
| |
| − | axis equal
| |
| − | view(2)
| |
| − | colorbar
| |
| − | subplot(1,3,2); %Elemento (2,2) de la matriz sigma
| |
| − | surf(xx,yy,b)
| |
| − | axis equal
| |
| − | view(2)
| |
| − | colorbar
| |
| − | subplot(1,3,3)
| |
| − | c=(rr/2-1/4).*sin(rr); %Elemento (3,3) de la matriz sigma
| |
| − | surf(xx,yy,c)
| |
| − | axis equal
| |
| − | view(2)
| |
| − | colorbar
| |
| − | }}
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| − |
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| − |
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| − |
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| − | [[Archivo:8A_tensiones_3D.png|500px|miniaturadeimagen|Representación en 3D de las tensiones en rho y sigma|izquierda ]]
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| − | {{matlab|codigo=
| |
| − | h=0.1;
| |
| − | r=1:h:2;
| |
| − | t=0:h:pi;
| |
| − | [rr,tt]=meshgrid(r,t);
| |
| − | clf
| |
| − | subplot(3,1,1);
| |
| − | xx=rr.*cos(tt);
| |
| − | yy=rr.*sin(tt);
| |
| − | a=(7*rr./6-1/2+1./(12*rr.^2)).*sin(tt); %Elemento (1,1) de la matriz sigma
| |
| − | b=(5*rr/6-1/2-1./(12*rr.^2)).*sin(tt);
| |
| − | c=(rr/2-1/4).*sin(rr);
| |
| − | surf(xx,yy,a)
| |
| − | colorbar
| |
| − | subplot(3,1,2); %Elemento (2,2) de la matriz sigma
| |
| − | surf(xx,yy,b)
| |
| − | colorbar
| |
| − | subplot(3,1,3); %Elemento (3,3) de la matriz sigma
| |
| − | surf(xx,yy,c)
| |
| − | colorbar
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| − |
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| − | }}
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| − | ==10 Tensiones tangenciales==
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| − | Una vez calculadas las tensiones normales podemos pasar a analizar las tensiones tangenciales, estas vienen dadas por σ.*\(\vec g_{\rho}\)+(\(\vec g_{\rho}\)*σ*\(\vec g_{\rho}\))\(\vec g_{\rho}\), y como \(\vec g_{\rho}\) tiene como coordenadas cilíndricas (1,0,0), esto da <math>(ρ/6-1/8-1/(24ρ^2 ))cosθ</math>.
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| − | [[Archivo:8A tensiones tangenciales.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones tangenciales en la dirección de sigma ]]
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| − | {{matlab|codigo=
| |
| − | h=0.1;
| |
| − | r=1:h:2;
| |
| − | t=0:h:pi;
| |
| − | [rr,tt]=meshgrid(r,t);
| |
| − | xx=rr.*cos(tt);
| |
| − | yy=rr.*sin(tt);
| |
| − | a=(rr/6-1/8-1./(24*rr.^2 )).*cos(tt);
| |
| − | subplot(2,1,1)
| |
| − | surf(xx,yy,a)
| |
| − | colorbar
| |
| − | subplot(2,1,2)
| |
| − | surf(xx,yy,a)
| |
| − | colorbar
| |
| − | view(2)
| |
| − | }}
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| − | ==Tensión de Von Mises==
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| − | Conociendo que la tensión de Von Mises se define como:
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| − | [[Archivo:VM.png||400px|miniatura|centro|Fórmula de Von Mises]]
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| − |
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| − | siendo \(\ σ_{i}\) con i=1,2,3 los autovalores de σ (también son conocidos como tensiones principales)
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| − |
| |
| − | La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que es un indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro
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| − |
| |
| − | [[Archivo:Voonmises.jpg|500px|miniaturadeimagen|derecha|Tensión de Von Mises]]
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| − |
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| − | {{matlab|codigo=
| |
| − | h=0.1;
| |
| − | r=[1:h:2];
| |
| − | t=[0:h:pi];
| |
| − | [rr,tt]=meshgrid(r,t);
| |
| − | %Creación de la matriz sigma
| |
| − | s=zeros(3,3);
| |
| − | %Creamos la matriz de von mises
| |
| − | vm=zeros(32,11); %Tiene un tamaño 32x11 porque es el tamaño del mallado
| |
| − | for i=1:32*11
| |
| − | rrr=rr(i)';
| |
| − | ttt=tt(i)';
| |
| − | s(1,1)=(7*rrr./6-1/2+1./(12*rrr.^2)).*sin(ttt);
| |
| − | s(1,2)=(rrr/6-1/8-1./(24*rrr.^2 )).*cos(ttt);
| |
| − | s(2,1)=s(1,2);
| |
| − | s(2,2)=(5*rrr/6-1/2-1./(12*rrr.^2)).*sin(ttt);
| |
| − | s(3,3)=(rrr/2-1/4).*sin(rrr);
| |
| − | [v,d]=eig(s); %Autovalores de la matriz sigma
| |
| − | vm(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2); %Fórmula de Von Mises
| |
| − | end
| |
| − | %Cambiamos a cartesianas
| |
| − | xx=rr.*cos(tt);
| |
| − | yy=rr.*sin(tt);
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| − | surf(xx,yy,vm)
| |
| − | colorbar
| |
| − | view(2)
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| − | }}
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| − |
| |
| − | Como se puede apreciar en la gráfica de la tensión, el punto donde ésta alcanza el mayor valor es en las inmediaciones del punto (0,2)
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| − |
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| − | ==Masa total de la placa==
| |
| − | La densidad de la placa viene dada en coordenadas cartesianas
| |
| − | <br /> <math>
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| − | d(x, y) = 1 + x*y*log(1 + x + y^2) </math> <br />
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| − |
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| − | [[Categoría:Teoría de Campos]]
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| − | [[Categoría:TC20/21]]
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