Diferencia entre revisiones de «Plantilla:Trabajo 4»
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| + | Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de anillo circular centrado en el origen de coordenadas y comprendido entre los radios [1,3], en el primer cuadrante <math>x,y\ge 0<math />. En este campo tendremos definidas dos cantidades físicas, la temperatura <math>T(x,y)<math /> y los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)<math />. | ||
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| + | == Introducción == | ||
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| + | == Mallado de la placa == | ||
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| + | Con lo definido anteriormente podremos dibujar con ayuda del programa Matlab el mallado que represente los puntos interiores del sólido, consideramos como paso de muestreo h=1/10. Como se puede observar en el mallado se puede notar que el aro no está completamente cerrado en la coordenada <math>\theta =\pi <math />. Esto se debe al muestreo que tenemos, ya que en el intervalo final correspondiente, este será mayor que <math>\theta <math /> por lo que se omite. | ||
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| + | (colocar el código y figura del apartado 1) | ||
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| + | == Temperatura == | ||
| + | Una de las funciones definidas al principio es la temperatura, cuya ecuación será <math>T(x,y)=log(y+2)<math /> que podemos observar como cambian las curvas de nivel y la barra de colores a lo largo del sólido. | ||
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| + | (código de la temperatura y figura 2) | ||
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| + | Al tener las curvas de nivel en nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma <math>\nabla T<math />. Aprovechamos para verificar que nuestras ecuaciones y los diagramas están correctos al utilizar una de las propiedades del gradiente. Como podemos observar el <math>\nabla T<math /> es ortogonal a las curvas de nivel del anillo. | ||
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| + | Recordamos la fórmula general del cálculo de <math>\nabla T<math /> en coordenadas cartesianas | ||
| + | <math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } <math /> | ||
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| + | Particularizándolo a nuestra temperatura <math>T(x,y)=log(y+2)<math />, obtenemos: | ||
| + | <math>\nabla T=0\overrightarrow { i } \quad +\frac { 1 }{ y+2 } \overrightarrow { j } \quad +0\overrightarrow { k } <math /> | ||
| + | <math>\nabla T=\frac { 1 }{ y+2 } \overrightarrow { j } <math /> | ||
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| + | == Campo de Desplazamiento == | ||
| + | Queremos considerar un campo de desplazamiento <math>\overrightarrow { u } (\rho ,\theta )=f\left( \rho \right) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }<math /> con las siguientes características: | ||
| + | :*Los puntos situados en <math>\rho =1<math /> no sufren desplazamiento. | ||
| + | :*El <math>\nabla \quad x\quad \overrightarrow { u } =\frac { 3\rho -2 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ z }<math />. | ||
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| + | Para poder calcular el campo de desplazamiento <math>\overrightarrow { u } <math /> debemos recordar el cálculo general del rotacional en las coordenadas cartesianas: | ||
| + | <math>\nabla \quad x\quad \overrightarrow { u } =\frac { 1 }{ \rho } \left| \begin{matrix} { \overrightarrow { g } }_{ \rho } & { \overrightarrow { g } }_{ \theta } & { \overrightarrow { g } }_{ z } \\ \partial \rho & \partial \theta & \partial z \\ { \overrightarrow { u } }_{ \rho } & { \overrightarrow { u } }_{ \theta } & { \overrightarrow { u } }_{ z } \end{matrix} \right| \quad <math /> | ||
Revisión del 12:38 27 nov 2019
Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de anillo circular centrado en el origen de coordenadas y comprendido entre los radios [1,3], en el primer cuadrante [math]x,y\ge 0\ltmath /\gt. En este campo tendremos definidas dos cantidades físicas, la temperatura \ltmath\gtT(x,y)\ltmath /\gt y los desplazamientos \ltmath\gt\overrightarrow { u } (x,y)\ltmath /\gt.
== Introducción ==
== Mallado de la placa ==
\ltbr /\gt
Con lo definido anteriormente podremos dibujar con ayuda del programa Matlab el mallado que represente los puntos interiores del sólido, consideramos como paso de muestreo h=1/10. Como se puede observar en el mallado se puede notar que el aro no está completamente cerrado en la coordenada \ltmath\gt\theta =\pi \ltmath /\gt. Esto se debe al muestreo que tenemos, ya que en el intervalo final correspondiente, este será mayor que \ltmath\gt\theta \ltmath /\gt por lo que se omite.
(colocar el código y figura del apartado 1)
== Temperatura ==
Una de las funciones definidas al principio es la temperatura, cuya ecuación será \ltmath\gtT(x,y)=log(y+2)\ltmath /\gt que podemos observar como cambian las curvas de nivel y la barra de colores a lo largo del sólido.
(código de la temperatura y figura 2)
Al tener las curvas de nivel en nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma \ltmath\gt\nabla T\ltmath /\gt. Aprovechamos para verificar que nuestras ecuaciones y los diagramas están correctos al utilizar una de las propiedades del gradiente. Como podemos observar el \ltmath\gt\nabla T\ltmath /\gt es ortogonal a las curvas de nivel del anillo.
Recordamos la fórmula general del cálculo de \ltmath\gt\nabla T\ltmath /\gt en coordenadas cartesianas
\ltmath\gt\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } \ltmath /\gt
Particularizándolo a nuestra temperatura \ltmath\gtT(x,y)=log(y+2)\ltmath /\gt, obtenemos:
\ltmath\gt\nabla T=0\overrightarrow { i } \quad +\frac { 1 }{ y+2 } \overrightarrow { j } \quad +0\overrightarrow { k } \ltmath /\gt
\ltmath\gt\nabla T=\frac { 1 }{ y+2 } \overrightarrow { j } \ltmath /\gt
== Campo de Desplazamiento ==
Queremos considerar un campo de desplazamiento \ltmath\gt\overrightarrow { u } (\rho ,\theta )=f\left( \rho \right) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }\ltmath /\gt con las siguientes características:
:*Los puntos situados en \ltmath\gt\rho =1\ltmath /\gt no sufren desplazamiento.
:*El \ltmath\gt\nabla \quad x\quad \overrightarrow { u } =\frac { 3\rho -2 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ z }\ltmath /\gt.
\ltbr /\gt
Para poder calcular el campo de desplazamiento \ltmath\gt\overrightarrow { u } \ltmath /\gt debemos recordar el cálculo general del rotacional en las coordenadas cartesianas:
\ltmath\gt\nabla \quad x\quad \overrightarrow { u } =\frac { 1 }{ \rho } \left| \begin{matrix} { \overrightarrow { g } }_{ \rho } & { \overrightarrow { g } }_{ \theta } & { \overrightarrow { g } }_{ z } \\ \partial \rho & \partial \theta & \partial z \\ { \overrightarrow { u } }_{ \rho } & { \overrightarrow { u } }_{ \theta } & { \overrightarrow { u } }_{ z } \end{matrix} \right| \quad \ltmath /\gt[/math]
