Diferencia entre revisiones de «CARGA CRÍTICA DE UNA COLUMNA»

Revisión del 15:44 28 abr 2017

1 INTRODUCCIÓN

En el análisis de la Mecánica Estructural es fundamental el estudio del equilibrio de un sólido. El presente trabajo está orientado a describir cualitativamente y cuantitativamente la inestabilidad elástica. Particularizando en el caso de una pieza homogénea de sección transversal circular sometida a compresión centrada. De esta forma se plantea un acercamiento aproximado a los fenómenos de pandeo (flexión lateral) que producen fallos frágiles en elementos esbeltos. Los aspectos anteriormente mencionados tienen múltiples aplicaciones en el Cálculo de Estructuras, debido a que la aparición de dicha flexión lateral, su rápido crecimiento y la pérdida total de estabilidad del elemento produce el colapso.

EJEMPLOS DE ELEMENTOS ESTRUCTURALES SUSCEPTIBLES AL PANDEO

2 MODELIZACIÓN MATEMÁTICA

Para poder hacer un modelo matemático del comportamiento de la columna, se tiene que considerar un pieza ideal, es decir, la rigidez a flexión (EI) tiene que ser constante a lo largo de la columna, y también es indispensable considerar el comportamiento elástico de esta, entre otra características.

Teniendo en cuanta las propiedades del material (E), de la sección (I), y curvatura que sufre la columna al ser sometido a una acción, se define la ecuación de la curva elástica, que nos permite analizar la manera con la que se deforma la pieza.

A continuación se ha estudiado un columna sometido a una carga P constante, de longitud L y suponiendo el comportamiento de la columna como una pieza ideal. En la imagen se puede observar el comportamiento general de la columna al esta sometida a la carga critica.

COLUMNA INESTABLE POR PANDEO

Para estudiar el comportamiento de la columna, se planteará un problema de contorno Partiendo de la ecuación de la curva elástica aplicada a la columna:

\begin{matrix} y(x)=\frac{M(x)}{E I(x)} \end{matrix}

Siendo:

· [math]E[/math]: Módulo de elasticidad ó de Young.

· [math]I(x)[/math]: Momento de inercia de una sección trasversal de la columna respecto al eje "Z" (se define como eje "Z" el vector perpendicula al plano "OXY").

· [math]M(x)[/math]: Momento flector.

En el caso de la columna, el momento flector depende de la deflexión, de manera que: [math]M(x)=-Py(x)[/math].

Por tanto, sustituyendo la fórmula del momento flector en la ecuación inicial: \[\begin{array}{crl}

\\

y(x)=\frac{M(x)}{E I(x)} \Longrightarrow y(x)=\frac{-Py(x)}{E I(x)} \Longrightarrow y(x)+\frac{Py(x)}{E I(x)}=0 \\

\\

\end{array}\]

Es necesario determinar las condiciones de contorno para particularizar este problema: [math] \left\{\begin{matrix} y(0)=0 \\ y(L)=0\\ \end{matrix}\right. [/math] ya que en los extremo de la viga: [math]x=0[/math] y [math]x=L[/math] tiene deflexión cero.

Por tanto, el problema de contorno planteado para resolver el ejercicio sería:

[math] \left\{\begin{matrix} y''(x)+\frac{Py(x)}{E I(x)}=0 \\ y(0)=0 \\ y(L)=0\\ \end{matrix}\right. [/math]

Siendo:

· [math]y[/math]: El desplazamiento de la columna según el eje "y".

· [math]y''(x)[/math]: Es la curvatura que adopta la columna al pandear.

3 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE LA COLUMNA

A continuación se va a estudiar la estabilidad de la columna. Se considera que la columna es estable, si la única solución del problema de contorno es la solución trivial ([math]y(x)=0[/math]), esto se va a resolver tanto de forma numérico (haciendo uso de Matlab), y de forma analítica:

Para calcular la carga que hace pandear la columna debemos resolver la problema de contorno planteado anteriormente:

(Nota: para facilitar los cálculos, consideramos que: [math]y(x)=y[/math], [math]I(x)=I[/math]).

Por tanto, el problema quedaría

\[\begin{array}{crl}

\\

E Iy+Py=0 \\

\\

\end{array}\]

Resolución:

Al ser la ecuación diferencial homogénea y el coeficiente de y es independientes de "x", se puede hallar directamente el polinomio característico:

\[\begin{array}{crl}

\\

E Iy+Py=0 \Longrightarrow E Im^2+P=0 \Longrightarrow m^2=\frac{-P}{E I}=0 \Longrightarrow m=\; \pm\;\sqrt{\frac{P}{E I}} i \\

\\

\end{array}\] La solución general de la ecuación diferencial homogénea será \[\begin{array}{crl}

\\

y\;= y(x)\; =\; C_{1}\; cos\; \left(\sqrt{\frac{P}{E I}} x\right) + \; C_{2}\; sin\; \left(\sqrt{\frac{P}{E I}} x\right) = 0\\

\\

\end{array}\]

Aplicando las condiciones de contorno iniciales ya mencionadas, se particulariza la ecuación [math]y(0)=0[/math] y [math]y(L)=0[/math]

Para [math]y(0)=0[/math] \[\begin{array}{crl}

\\

y(0)\; =\; C_{1}\; cos\; (0) + \; C_{2}\; sin\; (0) = 0 \Longrightarrow y(0)\; =\; C_{1}\; 1 + \; C_{2}\; 0 = 0\\

\\

\end{array}\]

Sabiendo que la solución de [math]y(0)[/math] tiene que ser 0, se llega a la conclusión de que, para que se cumpla la ecuación, tiene que ocurrir que [math]C_{1}=0[/math] necesariamente.

Por otro lado, para [math]y(L)=0[/math] \[\begin{array}{crl}

\\

y(L)\; =\; 0\; cos\; \left(\sqrt{\frac{PL^2}{E I}}\right) + \; C_{2}\; sin\; \left(\sqrt{\frac{PL^2}{E I}}\right) = 0 \Longrightarrow y(L)\; =\; 0\ + \; C_{2}\; sin\; \left(\sqrt{\frac{PL^2}{E I}}\right) = 0\\

\\

\end{array}\]

Como se puede comprobar, [math]y(L)=0[/math], implica que [math]\; C_{2}\; sin\; \left(\sqrt{\frac{PL^2}{E I}}\right) = 0[/math]. Si [math]C_{2}=0[/math], se tiene [math]y=0[/math], pero, si [math]C_{2}≠0[/math], entonces [math]sin\; \left(\sqrt{\frac{P}{E I}} x\right) = 0[/math]. La última condición indica que, para que la igualdad planteada se cumpla, el argumento de la función seno ha de ser un múltiplo entero de p. \[\begin{array}{crl}

\\

\sqrt{\frac{P}{E I}} L= nπ \Longrightarrow {\frac{P}{E I}}= {\frac{n^2π^2}{L^2}} \\

\\

\end{array}\] Por lo tanto, para todo real [math]C_{2}[/math] distinto de cero, es una solución del problema para cada n. Puesto que la ecuación diferencial es homogénea, y ya hemos supuesto que [math]sin\; (\frac{nπx}{L})= 0[/math], no necesitamos escribir [math]C_{2}[/math] si así lo deseamos, por lo que la ecuación nos quedaría \[\begin{array}{crl}

\\

y = sin\; \left(\frac{nπx}{L}\right) \\

\\

\end{array}\]

Volviendo a la ecuación anteriormente obtenida, se hallará el valor de [math]P_{cr}[/math] donde la columna se desvía. Esto sólo ocurre cuando la carga toma determinados valores de dicha ecuación (que coinciden con los autovalores de la ecuación). Esas fuerzas se llaman cargas críticas, que corresponden a la ecuación \[\begin{array}{crl}

\\

\sqrt{\frac{P_{cr}}{E I}} L= nπ \Longrightarrow {\frac{P_{cr}}{E I}}= {\frac{n^2π^2}{L^2}} \Longrightarrow P_{cr}\; = {\frac{n^2π^2EI}{L^2}} \\

\\

\end{array}\]

De estos autovalores sólo no interesa el mas pequeños, ya que es el primer valor que provoca el pandeo de la columna. Como se puede observar en la formula de la carga critica, el menor valor se obieteine para [math]n=1[/math], ya que para [math]n=0[/math] la columna es estable.

A continuación se va exponer un ejemplo para la mejor comprensión del problema.

Se considera un columna de longitud [math]L=8m[/math], de una sección circular de radio constante [math]R=0.3m[/math], de modulo [math]E=27000MPa[/math] y cuya densidad es [math]ρ=2400 Kg/m^3[/math].

Para calcular la carga crítica necesitamos el momento de inercia de una sección circular respecto al eje "Z": [math]I = {\frac{πR^4}{4}}[/math].

Por tanto, la nueva ecuación de [math]P_{cr}[/math] quedaría expresada así \[\begin{array}{crl}

\\

P_{cr}\; = {\frac{n^2π^3ER^4}{4L^2}} \\

\\

\end{array}\]

Sustituyendo los datos del ejemplo en la formula se obtiene la siguiente carga crítica:

\[\begin{array}{crl}

\\

P_{cr}\; = {\frac{1^2π^30.3^4·2.7·10^6}{4·8^2}=26489kN} \\

\\

\end{array}\]

Para hacer un estudio mas detallado del comportamiento de la carga crítica, en función de la sección transversal de la columna, se va a variar el radio entre 0.1-0.5m, para obtener la representación gráfica de lo dicho, se va a hacer uso de Matlab.

%Características General de la columna
E=27000*10^3; %[KN/m^2]
L=8; %Longitud de la Columna[m]

R=0.1:0.1:5; %Variación del Radio
I=(pi*R.^4)./4; %Inercia de la Sección Tranversal(Circular)

%Se considera el menor valor posible de la carga crítica n=1
Pc=(pi^2*E*I)./L^2;

plot(R,Pc) %Representación gráfica de la carga en función del radio
xlabel('RADIO(m)')
ylabel('CARGA CRÍTICA(kN)')

center

Como se puede apreciar en el gráfico, a un mayor radio conlleva un aumento de la inercia por lo tanto mayor carga crítica.

Para contratar el método de resoluciones realizado anteriormente, se va a resolver de nuevo, pero esta vez numéricamente.

Para ello se va a hacer uso de una aproximación por diferencias finitas del problema, que consiste en plantear el problema matricialmente y calcular una aproximación de la carga crítica usado un tamaño de paso 0.1.

El problema de contorno planteado anteriormente es: [math] \left\{\begin{matrix} EIy''(x)+Py(x)=0 \\ y(0)=0 \\ y(L)=0\\ \end{matrix}\right. [/math]

Aproximamos: y"≈KY , donde K tiene dimensión de matriz.

Sustituyendo y" en el problema de contorno obtenemos: E·I·K·Y+PY=0

Despejando PY y definiendo A=EIK, se obtiene: [math](A-λI)Y=0[/math]

Se ha reducido el problema de contorno a un problema de autovalores, para la resoluciones de dichos autovalores en Matlab se ha usado el comando "eig", como se puede observar en el código de Matlab.

a=0; %Extremo Izquierdo (a) [Límite Inferior] del Intervalo
b=8; %Extremo Derecho (b) [Límite Superior] del Intervalo
ca=0; %Condición de Contorno en x=a [Condición Inicial y(a)] 
cb=0; %Condición de Contorno en x=b [Condición Final y(b)]

%Discretización Espacial
h=0.1; %Tamaño de paso
%Número de Subintervalos
N=round((b-a)/h);

%Matriz K - Valores de la aproximación de la segunda derivada
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1)-diag(ones(1,N-2),1));

R=linspace(0.1,5,N-1); %Variación del Radio

%Determinación de Autovalores (A=E*I*K)
for i=1:length(R)
    A(i,:)=eig(27000*10^3*(pi*R(i).^4)./4.*K);
end

%Determinación de la Carga Crítica
Pc=A(:,1);%Solución Numérica

%Características Generales
%Material=Hormigón
E=27000*10^3; %[KN/m^2]
L=8; %Longitud de la Columna[m]

R1=linspace(1,5,N-1); %Variación del Radio
I1=(pi*R1.^4)./4; %Inercia de la Sección Tranversal(Circular)

%Se considera el menor valor posible de la carga crítica n=1
Pc1=(pi^2*E*I1)./L^2;%Solución Exacta 

hold on
plot(R,Pc,'r')
plot(R1,Pc1,'b')
hold off
xlabel('RADIO(m)')
ylabel('CARGA CRÍTICA(KN)')

center

En el imagen anterior se ha dibujado la evolución de la carga crítica calculada analíticamente y numéricamente, como se puede observar el error del cálculo numérico es mínimo, siendo mas exacto en cálculo analítico.

A continuación se va a volver a realizar el procedimiento numérico realizado anteriormente con la única diferencia que ahora la sección transversal de la columna será una sección cuadrada de masa constante e igual a la masa de la columna con sección circular, para sacar el área de esta sección cuadrada vamos a realizar lo siguiente :

Como el material es el mismo se pueden igualar sus densidades siendo la formula de la densidad:

\begin{matrix} ρ=Masa/Volumen \end{matrix}

Al igualar las densidades se puede apreciar que sus áreas son iguales, al tener los dos la misma longitud (L=8m) y la misma masa.

\begin{matrix} π·R^2=b^2 \end{matrix} siendo: [math] b=R·sqrt{π} [/math]

A continuación se va a exponer el código empleado en matlab para la resolución numérica y su comparación con la analítica para el caso de la sección cuadrada

a=0; %('Extremo Izquierdo (a) [Límite Inferior] del Intervalo:  ');% 1
b=8; %('Extremo Derecho (b) [Límite Superior] del Intervalo:  ');% 2
ca=0;%('Condición de Contorno en x=a [Condición Inicial y(a)]  ');% 1
cb=0;%('Condición de Contorno en x=b [Condición Final y(b)]  ');% 3

%Discretización Espacial
h=0.1; %Tamaño de paso
%Número de Subintervalos
N=round((b-a)/h);

%Matriz K - Valores de la aproximación de la segunda derivada
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1)-diag(ones(1,N-2),1));

R=linspace(0.1,5,N-1); %Variación del Radio
b=sqrt(pi)*R; %Lado de la sección cuadrada

%Determinación de Autovalores (A=E*I*K)
for i=1:length(b)
    A(i,:)=eig(27000*10^3*(b(i).^4)./12.*K);
end

%Determinación de la Carga crítica
Pc=A(:,1);

%Características Generales
%Material=Hormigón
E=27000*10^3; %[KN/m^2]
L=8; %Longitud de la Columna[m]

R1=linspace(1,5,N-1); %Variación del Radio
b1=sqrt(pi)*R1; %Lado de la sección cuadrada

I1=(b1.^4)./12; %Inercia de la Sección Tranversal(Cuadrada)

%Se considera el menor valor posible de la carga crítica n=1
Pc1=(pi^2*E*I1)./L^2;

hold on
plot(R,Pc,'r')
plot(R1,Pc1,'b')
hold off
xlabel('RADIO(m)')
ylabel('CARGA CRÍTICA(KN)')
end

center

Una vez calculada la carga crítica para la sección cuadrada se va a compararla con la de la sección circular, para ello necesitamos crear un nuevo código donde aparezcan las dos secciones, para poder representarlas juntas, el código es el siguiente:

E=27000*10^3; %[KN/m^2]
L=8; %Longitud de la Columna[m]

R=1:0.1:2; %Variación del Radio
I=(pi*R.^4)./4; %Inercia de la Sección Tranversal(Circular)

%Se considera el menor valor posible de la carga crítica n=1
Pc=(pi^2*E*I)./L^2;

R1=linspace(1,2,N-1); %Variación del Radio
b1=sqrt(pi)*R1; %Lado de la sección cuadrada

I1=(b1.^4)./12; %Inercia de la Sección Tranversal(Cuadrada)

%Se considera el menor valor posible de la carga crítica n=1
Pc1=(pi^2*E*I1)./L^2;

hold on
plot(R,Pc,'r')
plot(R1,Pc1,'b')
xlabel('RADIO(m)')
ylabel('CARGA CRÍTICA(KN)')
legend('CIRCULAR','CUADRADA')

Ejecutando el programa nos sale la siguiente comparativa:

center

Como se puede apreciar en el gráfico anterior la columna con sección cuadrada será mejor, debido a que posee mayor inercia y por tanto mayor rigidez a la flexión lateral(pandeo). La diferencia de cargas críticas entre una y otra aumenta a mayor radio precisamente por el efecto de la inercia, que es único parámetro que no es constante.

4 ANÁLISIS DE UNA COLUMNA DE SECCIÓN VARIABLE

center