Diferencia entre revisiones de «Explotación Minera (Grupo 4B)»

Revisión del 16:56 22 abr 2017

1 Introducción

El objetivo de este trabajo es analizar la curva de producción de una explotación minera. Para ello se irán respondiendo a las cuestiones planteadas, analizando los resultados obtenidos y extrayendo conclusiones de dichos resultados.

1.1 ¿Qué ecuación relaciona la producción P y la función Q?

Para poder hallar la relación entre P y Q debemos primero definirlas:

-Q → Cantidad de mineral extraído desde el inicio hasta un tiempo t en toneladas.

-P → Producción en toneladas/año.

Así, la relación entre ambas será la siguiente:

[math] P = \frac{dQ}{dt} [/math]

1.2 Calibrar el modelo de Gompertz determinando el valor del coeficiente r con los datos que se dispone

Para poder hallar el coeficiente r debemos tener en cuenta los siguiente datos:

-Ecuación diferencial del modelo de Gompertz

[math] \frac{dQ}{dt} = rQlog\frac{K}{Q} [/math]

Si tenemos en cuenta que hemos definido P como [math] \frac{dQ}{dt} [/math] podemos decir que:

[math] P = rQlog\frac{K}{Q} (1) [/math]

-K es igual a la cantidad total extraíble de mineral, que son 30.800 toneladas.

-La producción máxima es de 510 t/año, por lo que derivando P respecto de Q se haya Q igualando a 0:

[math] \frac{dP}{dQ} = rlog\frac{K}{Q}-r = 0 → r(log\frac{K}{Q}-1) = 0 [/math]

[math] \frac{K}{Q} = e → Q = \frac{K}{e} = 11.331 [/math]

Ahora que tenemos los datos se puede sustituir en la ecuación (1)

[math] 510 = 11.331r → r = 0,045 [/math]

1.3 Obtener la función P(Q) y dibujar una gráfica con la producción respecto al volumen extraído para 0 ≤ Q ≤ K

La función ya la hemos calculado anteriormente:

[math] P = rQlog\frac{K}{Q} = 0,045Qlog\frac{30.800}{Q} [/math]

Ayudándonos con matlab representamos los valores de P respecto a Q:

%Gráfica Gompertz
t0=0; %tiempo inicial
tN=30800; %tiempo final
q=t0:1:tN;
p1=0.045*q.*log(30800./q); %función definida
plot(q,p1)

centro

Conclusiones de los resultados obtenidos:

Como era de esperar, la producción crece increíblemente rápido cuando la mina se empieza a explotar, sin embargo, al acercarnos a las 11.300 toneladas vemos como la producción alcanza su máximo y desciende drásticamente. Esto se debe a que los recursos están limitados, puesto que la cantidad total extraíble de mineral es de 30800 toneladas, de tal forma que conforme estos recursos van disminuyendo también lo hace la producción. Al principio la explotación será muy eficiente pero a medida que se consumen los recursos la producción será menor hasta alcanzar un valor de 0 cuando se ha extraído todo el mineral posible (30800 toneladas).

1.4 Calibrado mediante modelo de Verhulst

-Ecuación diferencial del modelo de Verhulst:

[math] Q' = rQ(1-\frac{Q}{K}) [/math]

Definiendo P como [math] Q' = \frac{dQ}{dt} [/math] podremos decir que:

[math] P = rQ(1-\frac{Q}{K}) (2) [/math]

-K es igual a la cantidad total extraíble de mineral que son 30.800 toneladas.

-La producción máxima es de 510 t/año, y derivando P respecto de Q e igualando a 0 se halla Q:

[math] \frac{dP}{dQ} = r-\frac{2rQ}{K} = 0 → Q = 0,5K = 15.400 t [/math]

Teniendo todos los datos se puede sustituir en la ecuación (2)

[math] 510 = 15.400r(1-\frac{15.400}{30.800}) → r = 0,066 [/math]

Obteniendo como resultado la función P(Q)

[math] P = 0,066Q(1-\frac{Q}{30.800}) [/math]

Trabajando con matlab compararemos las gráficas de ambos resultados:

%Comparación gráfica Gompertz y Verhulst
t0=0; %tiempo inicial
tN=30800; %tiempo final
q=t0:1:tN;
p1=0.045*q.*log(30800./q); %función definida 1
hold on
plot(q,p1)
p2=0.066.*q.*(1-q./30800); %función definida 2
plot(q,p2)
hold off

centro

Conclusiones de los resultados obtenidos:

El descenso de producción según el modelo Verhulst es simétrico respecto al crecimiento, lo que le convierte en un modelo que se adapta peor que el Gompertz, ya que según la demanda de dicho mineral y las características técnicas de su extraccíon se espera un crecimiento rápido de la producción y un descenso más progresivo y lento, condicionado entre otros factores, por debilitamiento de la demanda (también progresivo) y a las dificultades técnicas, cada vez mayores de la extracción.

2 Problema de valor inicial

La producción comienza a descender a los 27 años (324 meses) del comienzo de la explotación. En ese momento la cantidad de material explotado es Q = 11.332 t, dónde se encuentra al máximo de producción. Luego:

[math] Q(27) = 11.332 t [/math]

Dando lugar al problema de valor inicial:

[math] PVI=\begin{cases} \frac{dQ}{dt} = 0,045Qlog\frac{30.800}{Q} & \text{}& \\Q(27) = 11.332 & \text{}& \end{cases} [/math]

El tiempo final de la explotación será aquel dónde la producción descienda a 100 t/año, esto es, hasta que se exploten 28490 t. Primero hallamos la función para un tiempo final desconocido:

%Grafico desde t=27 hasra t=?
t0=27;
tN=350;
q0=11332;
f=@(t,q) 0.045*q.*log(30800./q);
h=1/12;
N=round((tN-t0)/h); 
t=t0:h:tN; 
%Definimos el valor q0 inicial 
    q=zeros(size(t));
    q(1)=q0 
    %Euler
 for i=1:N
  q(i+1)=q(i)+h*f(t(i),q(i));
 end
 plot(t,q);
%Grafico desde t=0 hasta t=27
%Lo diferenciamos con el indice 1
t1n=27;
t10=0;
q1n=11332;
t1=t10:h:t1n;
q1=zeros(size(t1));
N1=round((t1n-t10)/h);
q1(N1+1)=q1n;
for i=N1+1:-1:2
    q1(i-1)=q1(i)-h*f(t1(i),q1(i));
end
hold on
plot(t1,q1);
hold off

centro

Ahora debemos saber en qué momento se llega a explotar los 28.490 t, que es a los 84 años.

t0=27;
tN=84;
q0=11332;
f=@(t,q) 0.045*q.*log(30800./q);
h=1/12;
N=round((tN-t0)/h); 
t=t0:h:tN; 
%Definimos el valor q0 inicial 
    q=zeros(size(t));
    q(1)=q0;
    %Euler
 for i=1:N
  q(i+1)=q(i)+h*f(t(i),q(i));
 end
 plot(t,q);
%Grafico desde t=0 hasta t=27
%Lo diferenciamos con el indice 1
t1n=27;
t10=0;
q1n=11332;
t1=t10:h:t1n;
q1=zeros(size(t1));
N1=round((t1n-t10)/h);
q1(N1+1)=q1n;
for i=N1+1:-1:2
    q1(i-1)=q1(i)-h*f(t1(i),q1(i));
end
hold on
plot(t1,q1);
hold off
t(q==28490)

centro

Conclusiones de los resultados obtenidos:

Como se puede apreciar en ambas gráficas los resultados obtenidos son coherentes con el problema planteado, ya que, durante los primeros 27 años la pendiente de la gráfica, que se corresponde con la producción, es muy acusada, tal y cómo se plantea en el problema. La cantidad de material extraído durante los primeros años es muy grande y llegado un momento se estabiliza debido a que los recursos de la cantera son limitados.

2.1 Métodos de Runge Kutta de cuarto orden y Heun

Con las condiciones del apartado anterior nos dedicaremos simplemente a resolver el problema de valor inicial por dos métodos diferentes.

%Runge Kutta
t0=27;
tN=84;
q0=11332;
f=@(t,q) 0.045*q.*log(30800./q);
h=1/12;
N=round((tN-t0)/h); 
t=t0:h:tN; 
%Definimos el valor q0 inicial 
    q=zeros(size(t));
    q(1)=q0
    
    %Runge-Kutta 
    for i=1:N
            K1=f(t(i),q(i));
            K2=f(t(i)+1/2*h,q(i)+1/2*K1*h);
            K3=f(t(i)+1/2*h,q(i)+1/2*K2*h);
            K4=f(t(i)+h,q(i)+K3*h);
            q(i+1)=q(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
    end
          hold on
         plot(t,q)
t1n=27;
t10=0;
q1n=11332;
t1=t10:h:t1n;
q1=zeros(size(t1));
N1=round((t1n-t10)/h);
q1(N1+1)=q1n;
for i=N1+1:-1:2
            K1=f(t1(i),q1(i));
            K2=f(t1(i)-1/2*h,q1(i)-1/2*K1*h);
            K3=f(t1(i)-1/2*h,q1(i)-1/2*K2*h);
            K4=f(t1(i)-h,q1(i)-K3*h);
            q1(i-1)=q1(i)-h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
         plot(t1,q1,'b')
         title('Runge Kutta');
         hold off

%Heun
t0=27;
tN=84;
q0=11332;
f=@(t,q) 0.045*q.*log(30800./q);
h=1/12;
N=round((tN-t0)/h); 
t=t0:h:tN; 
%Definimos el valor q0 inicial 
    q=zeros(size(t));
    q(1)=q0
    
    %Heun
          for i=1:N
            K1=f(t(i),q(i));
            K2=f(t(i)+h,q(i)+K1*h);
            q(i+1)=q(i)+h/2*(K1+K2);
          end
          hold on
         plot(t,q)
t1n=27;
t10=0;
q1n=11332;
t1=t10:h:t1n;
q1=zeros(size(t1));
N1=round((t1n-t10)/h);
q1(N1+1)=q1n;
for i=N1+1:-1:2
            K1=f(t1(i),q1(i));
            K2=f(t1(i)-h,q1(i)-K1*h);
            q1(i-1)=q1(i)-h/2*(K1+K2);
          end
         plot(t1,q1,'b')
         title('Heun')
         hold off

Los códigos anteriores nos dan como resultado las gráficas siguientes. Debido al gran parecido entre ambas se ha descartado superponerlas en una misma gráfica.

centro

centro

2.2 ¿Qué valor límite puede tener Q?

Tenemos que calcular la cantidad de material de la cantera que será extraído pasado un tiempo muy grande. Para ello debemos recordar el problema de valor inicial anteriormente hallado:

[math] PVI=\begin{cases} \frac{dQ}{dt} = 0,045Qlog\frac{30.800}{Q} & \text{}& \\Q(27) = 11.332 & \text{}& \end{cases} [/math]

Debemos calcular la solución exacta de Q(t) analíticamente. No es necesario ajustar la constante C porque a la hora de calcular el límite es irrelevante. Tras varios cálculos se llega a:

[math] Q(t) = 30.800*e^{-e^{-C-0,045t}} [/math]

Para obtener la cantidad de material obtenido tras un tiempo muy largo debemos calcular el límite de Q(t) cuando t tiende a infinito:

[math] Q_M = \displaystyle\lim_{t \to{+}\infty}{Q(t)} = 30.800*e^{0} = 30.800 t [/math]

En cualquier caso, no habría sido necesario calcularlo analíticamente pues en la gráfica anterior se ve perfectamente que para un tiempo muy grande la cantidad de material extraído tiende a 30.800 toneladas.

Conclusiones de los resultados obtenidos

Se tiene, pues, que la cantidad máxima de material extraído es 30.800 toneladas. El resultado es lógico pues la cantidad total extraíble es de 30.800 toneladas y una vez extraída dicha cantidad los recursos se habrán agotado.

3 Función de producción P(t)

A continuación, analizamos la función de producción P(t), dibujando su curva representativa y obteniendo el punto de máxima producción y los puntos de mayor crecimiento y descenso.Para ello nos basaremos en los datos obtenidos en los apartados anteriores.

Q=[q1,q];
T=[t1,t];
P= 0.045*Q.*log(30800./Q);
plot(T,P);

centro

Conclusiones de los resultados obtenidos: Como era de esperar,la producción crece considerablemente hasta alcanzar un tiempo de 27 años,que es cuando alcanza su máximo, y a partir de ahí la producción comienza a descender. El máximo se alcanza a los 27 años con 509,88 toneladas que es muy próximo a 510(dato proporcionado por el enunciado del problema).

3.1 Cantidad del mineral sin extraer

Sabemos que la vida útil finaliza cuando la producción es menor de 100 t/año. Previamente hemos hallado la cantidad de mineral extraída hasta ese momento, siendo 28490 t. Si a la cantidad total de mineral extraíble le restamos esta cantidad nos da un valor de 2310 t que quedan sin extraer.

Según el modelo de Verlust la producción alcanza menos de 100 toneladas año cuando se han extraido 29203 toneladas