Diferencia entre revisiones de «Modelos de competencia A10»

Revisión actual del 18:00 2 may 2016

1 Modelos de competencia

Se consideran dos especies distintas que ocupan el mismo ecosistema. Según diferentes tipos de modelización interpretamos la evolución de las dos especies en el tiempo. La explicación adyacente del trabajo nos describe 6 modelos basados en 3 sistemas de ecuaciones diferenciales. El primero es un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden en el que la razón de crecimiento está relacionada con el número de interacciones. Sería el modelo Parasitismo en el que una especie vive a expensas de la otra (huésped) a la cual produce perjuicios tiene como ecuaciones x’=ax-bx*y; y’=cx-dx*y.

El segundo es otro sistema no lineal de la forma x’=ax-bx^2; y’=cy-dy^2 .Las dos especies se encuentran aisladas o no están interrelacionadas entres ellas aunque ocupen el mismo espacio, de forma que crecen de forma exponencial. Esto es debido a que el termino coef x*y es cero, eliminando la relación entre las especies. El modelo que corresponde con este sistema es el Neutralismo (gráfica 2).

El tercero modeliza lo que se denominan modelos de competencia. El sistema es x’=a1*x-b1*x^2-c1x*y; es y’=a2*y-b2*y^2-c2x*y que se basa en el anterior al que se le restan razones proporcionales a la cantidad de interacciones. Para analizar los diferentes modelos, basta con fijarnos en los símbolos de los coeficientes. La mejor forma de explicar esto es con ejemplos:

1. En la grafica tres tenemos el modelo de Simbiosis o cooperación. En él, ambas especies se favorecen en mayor o menor grado. Al analizar los coeficientes, c1 y c2 son positivos de forma que el crecimiento (la derivada) es mayor (tiene una mayor pendiente).

2. En cambio en la cuatro, como los coeficientes son negativos se produce el efecto contrario. El modelo será Competición (cada especie tiende a eliminar a la otra).

3. En las graficas 4 y 5, observamos que una de las dos especies crece de forma aislada o sin interaccionar con la otra, la cual si que depende de ella. Esto se debe a que c1 es 0 y c2 diferente de 0. Ahora tenemos dos modelos que cumplen esto:

a) Comensalismos, una especie (comensal) se alimenta a costa de la otra (huésped) a la cual no produce ni perjuicio ni beneficio (hormiga tiene ácaros comensales). C2 es negativo, entonces el crecimiento de la segunda especie será negativo (derivada negativa).

b) Amensalismo, una especie (inhibidora) produce trastornos a otra (amensal) sin obtener ningún beneficio. ). Caso contrario, su coeficiente c2 es negativo, entonces el crecimiento de la segunda especie será negativo (derivada negativa).

Programa 1

1.1 Parasitismo

a1 = −0.3, a2 = 1.15, b1 = 0, b2 = 0, c1 = −0.08, c2 = 0.09, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 150].

Gráfica 1

Usaremos un intervalo de tiempo 0-150 observando como la función es cíclica. La especie 1 parte de 2 individuos, mientras que la especie 2 lo hace cerca de 10. Ambas tienen un crecimiento similar de crecimiento y decrecimiento pero en la especie 2 no es tan pronunciado como en la 1.

Como bien vimos al principio, el método Euler es el que peor aproximación nos da, y es como tal y como podemos ver en las gráficas. Como modelo de competencia, podemos afirmar que se trata de PARASITISMO. Para este caso, es la especie 1 quien depende de la evolución de la especie 2 puesto que su evolución(creciente y decreciente) perjudica claramente a la segunda especie.

En cambio la especie 2 crece hasta alcanzar su máximo en torno a los 25 individuos en un tiempo aproximado de 2-5 años, momento en el que se produce un brusco descenso que llega casi hasta la desaparición del a población, repitiendo asi el mismo proceso evolutivo. La especie 1 se comporta de manera similar pero sin llegar a la desaparición total. En ninguno caso se conseguirá la estabilidad de la especie, ya que su proceso es un proceso cíclico en la que ambas crecen y decrecen.

Este proceso evolutivo se basa en un crecimiento conjunto de ambas especies hasta que llegan a los 25 individuos, punto en el cual la especie 2 comienza a descender su crecimiento, pero no en el caso de la 1, sino que seguirá creciendo hasta alcanzar los 40 individuos. Por eso podemos decir que la especie 2 afecta al crecimiento de la 1.

1.2 Neutralismo

a1 = 0.16, a2 = 0.25, b1 = 0.04, b2 = 0.1, c1 = 0, c2 = 0, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 40].

Gráfica 2

El proceso evolutivo de dichas especies es un proceso que sigue un modelo logarítmico.

En este caso las poblaciones iniciales son 2 para la especie 1 y 7 para la especie 2, ambas crecen (especie 1) o decrecen (especie 2) hasta un punto donde empiezan a equilibrarse, siendo máximo en 4 para la especie 1 y mínimo en 2.5 para la especie 2 donde se mantienen constante. A diferencia del caso anterior el método Euler y Heun son muy similares por lo que podemos afirmar que no existe ningún tipo de error con el método de Euler.

Como modelo de competencia para este caso es NEUTRALISMO, ya que ambas especies realizan un proceso evolutivo distinto y siguen su curso hasta llegar a un tiempo aproximado de t=20 donde ambas tienden a estabilizarse y frenar su evolución. Para este caso se ha elegido neutralismo ya que los valores c1 y c2 son cero al igual que el termino xy en ambas especies, indicando así que no existe ningún tipo de interacción entre especies.

1.3 Simbiosis o cooperación

a1 = 0.16, a2 = 0.25, b1 = 0.04, b2 = 0.1, c1 = −0.015, c2 = −0.02, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 20].

Gráfica 3

La población inicial para dichas especies es de 2 para la especie 1 y algo superior, 7 para la especie 2. La primera crece durante todo intervalo de tiempo (0,20), en cambio la segunda especie experimenta un descenso de su población para estabilizarse en torno a un tiempo t=10 cuyo número de individuos se mantiene constante a lo largo del tiempo en 3.5, donde intenta remontar su crecimiento pero muy lentamente.

El modelo de competencia para este caso es SIMBIOSIS, se observa que ambas especies se ven favorecidas, puesto la especie 1 cambia el decrecimiento de la 2, convirtiéndolo en crecimiento. La elección de este modelo puede explicarse de forma que el término “xy” de la ecuación es positivo, lo que indica que la interacción entre especies existe y además es favorable para ambas.

1.4 Competición

a1 = 1, a2 = 1, b1 = 0.04, b2 = 0.1, c1 = 0.015, c2 = 0.02, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 20].

Gráfica 4

La especie 1 parte de 2 mientras que la especie 2 lo hace en 7, la primera crece exponencialmente hasta un punto en t=10 donde comienza a estabilizarse, En cambio la segunda especie crece hasta que esta se encuentra con la primera donde es eliminada por la primera especie y así la segunda especie desciende comenzando a estabilizarse en t=10.

El modelo de competencia es COMPETICIÓN. La elección de este modelo se puede explicar mediante la ecuación diferencial donde el término “xy” es negativo en ambas especies, los que nos hace indicar que la interacción entre ambas es desfavorable y así es, ya que la segunda especia es vencida por la primera y su crecimiento desciende tras ello que tendera a desaparecer en un tiempo mayor al nuestro.

1.5 Amensalismo

a1 = 1, a2 = 1, b1 = 0.04, b2 = 0.1, c1 = 0, c2 = 0.2, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 10].

Gráfica 5

En este caso podemos decir que ambas especies compiten la una con la otra por conseguir los recursos. La especie 1(con población inicial 2) y la especie 2( con población inicial 7) evolucionan, la 1 crece, mientras que la 2 decrece hasta llegar al punto de interacción de ambas donde la segunda especie es eliminada. Tras ello la especie 1 seguirá su crecimiento hasta llegar al máximo donde tiende a estabilizarse.

El modelo de competencia es AMENSALISMO, es decir, que hay una especie (inhibidora) produce transtornos a otra (amensal) sin obtener ningún beneficio (ni tampoco perjuicio).

1.6 Comensalismo

a1 = 1, a2 = 1, b1 = 0.04, b2 = 0.1, c1 = 0, c2 = −0.2, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 20].

Gráfica 6

Ambas especies parten de una población inicial de 2 y 7 respectivamente, creciendo hasta buscar el máximo donde estabilizarse. En el caso de la especie 1 lo hace en un tiempo t=8 con una población de 25, mientras que en la segunda especie lo alcanza en 60 individuos.

En este caso se trata de COMENSALISMO, ambas especies crecen favorecidas una por la otra sin provocar ni perjuicio ni beneficio. El crecimiento de ambos es conjunto, ninguna desciende debida a la acción de la otra y en ningún caso llegan a extinguirse.

2 Gráficas X-Y

Programa 2

Gráfica 7

Para el primer caso (primera grafica) podemos observar que se trata de un proceso evolutivo estable donde ambas especies siempre van a estar en equilibrio. En el segundo caso, la gráfica nos indica que no está en equilibrio, porque como bien hemos dicho antes una afecta negativamente a la otra. En el tercer caso ocurre lo mismo que en el anterior, una especie afecta sobre la otra pero en este caso de manera positiva. En el resto de graficas vemos como ocurre lo mismo ambas especies se interfieren provocando efectos(positivos o negativos) en la otra, a veces incluso con la desaparición de la otra especie, dando lugar a un sistema desequilibrado.