Diferencia entre revisiones de «Reacciones complejas GRUPO 1A»

Revisión del 19:25 28 abr 2016

1 Introducción

Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C,

                                                  A + B → C

Supondremos que se satisface la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

2 Interpretación de las constantes y PVI para calcular la concentración de C

En primer lugar, interpretaremos las constantes y variables de la siguiente ecuación diferencial,esta ecuación diferencial será la de la ley de masas:

                                         y'(t) = k1(a0 − y(t))(b0 − y(t)), siendo t>0 

donde:

  y'(t) = Representa la velocidad de la reacción química, es decir, la velocidad con  que se produce C.
  k1 = Constante de proporcionalidad.  
  a0 = Concentración inicial de A.
  y(t) = Evolución de la concentración de  C a lo largo del tiempo.
  b0 = Concentración inicial de B.

Es conveniente mencionar que la concentración de A respecto al tiempo será de a0 - y(t), y para B será de b0 - y(t), tal y como nos indica el enunciado, tomaremos el tiempo como mayor que 0: t>0.

Además, sabemos que para t = 0, la concentración de C será nula, por lo que: y(t = 0) = 0.

Con todo lo deducido anteriormente, llegamos a la conclusión que estamos ante un Problema de Valor Inicial (PVI) o de Cauchy:

                                       y'(t) = k1(a0 − y(t))(b0 − y(t)), siendo t>0 
                                                            y(0) = 0 

Ahora procederemos a ver si nuestro problema tiene solución única o no, a través del Teorema de existencia y Unicidad. Observamos que la función f(t,y) = y'(t) es continua en el intervalo (I = (0,∞) ∩ B(0,0),r>0), por lo que admite al menos una solución. Por otro lado, observamos la derivada parcial:

                                                           ∂f/∂y=k(2y-a-b) 

y vemos que no hay problemas de continuidad, porque la derivada parcial nos resulta un polinomio, así que podremos afirmar que tiene una única solución.

3 Proceso reversible

Hasta ahora hemos supuesto que la reacción era irreversible, tal y como nos indicaba el enunciado, esto significaba que A y B se juntaban para formar C. Ahora nos pide ver cómo cambiaría la ecuación diferencial si el proceso fuera reversible; que sea reversible, quiere decirnos que además de que A y B se junten para formar C, también tendremos C descomponiéndose para formar A y B, por lo que la ecuación diferencial se vería afectada por este cambio. Necesitaremos una nueva constante de velocidad de reacción (k2) dado que suponemos que se sigue satisfaciendo la ley de masas. Este nuevo término disminuirá la cantidad de producto, por lo tanto el término aparecerá restando en nuestra ecuación.

Por lo que la ecuación diferencial quedará de la siguiente manera:

                                         y'(t) = k1(a0 − y(t))(b0 − y(t)) - k2 * y(t) 

4 Resolución por el método de Euler

Ahora, resolveremos el problema de valor inicial con el método de Euler de primer orden (método explícito). Del enunciado, sabemos que f(t,y)=k₁(a₀-y(t))(b₀-y(t)) , por lo tanto aplicamos la fórmula del método de Euler:

y_n+1 = y_n + h * f(t_n, y_n)

Cuando despejamos, obtenemos : y_n+1 = y_n + h * k₁(a₀-y(t))(b₀-y(t))

Según los datos del enunciado, tenemos que:

• a₀=3[mol/L]
• b₀=1[mol/L]
• k₁=1[mol/s]
• h=0.1(salto)
• t=[0,2] (segundos)

4.1 Código en Matlab

%Euler
clear all
%Datos enunciado
a0=3;
b0=1;
t0=0;
tN=2;
y0=0;
h=0.1;
k1=1;
%Número subintervalos
N=round((tN-t0)/h);
%Variable independiente t
t=t0:h:tN;
%Vector y
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
%Bucle
for i=1:N
    y(i+1)=y(i)+h*k1*(a0-y(i))*(b0-y(i));
end
%Gráfica
hold on
plot(t,y,'b','linewidth', 3);
plot(t,(a0-y),'y','linewidth',3);
plot(t,(b0-y),'m','linewidth',3);
legend('C','A','B');
xlabel('tiempo(segundos)');
ylabel('concentracion[mol/l]');
hold off

4.2 Gráfica método de Euler

centro

Como se puede observar, la concentración de C aumenta en la proporción que disminuyen los reactivos A y B, como es lógico. También se puede observar que la velocidad disminuye en el tiempo hasta ser 0 cuando se agota el reactivo limitante, B.

5 Resolución del PVI por el método de Euler cuando t→∞

Una vez hecho el método de Euler de primer orden para un intervalo de 2 segundos, es fácil observar que las concentraciones convergen y presuponemos que se mantendrán constantes, pero hay que comprobarlo para el límite t→∞. Es suficiente con realizar el mismo programa que el anterior pero modificando el tiempo hasta un valor suficientemente alto, comparable a ∞ para ver que se mantienen constantes las concentraciones, tomaremos 15 segundos debido a que la reacción es muy rápida. Esto se debe a que la velocidad de la reacción se anula cuando se acaba el contenido del reactivo limitante, que en este caso es B.

%Euler
clear all
%Datos enunciado
a0=3;
b0=1;
t0=0;
tN=15;
y0=0;
h=0.1;
k1=1;
%Número subintervalos
N=round((tN-t0)/h);
%Variable independiente t
t=t0:h:tN;
%Vector y
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
%Bucle
for i=1:N
    y(i+1)=y(i)+h*k1*(a0-y(i))*(b0-y(i));
end
%Gráfica
hold on
plot(t,y,'b','linewidth',3);
plot(t,(a0-y),'y','linewidth',3);
plot(t,(b0-y),'m','linewidth',3);
legend('C','A','B');
xlabel('tiempo(segundos)');
ylabel('concentracion[mol/l]');
hold off

centro

Tal y como habíamos pensado, las concentraciones tienden a A=2 mol/l; B=0 mol/l; C=1 mol/l. Esto se debe a que el compuesto B es el limitante de la reacción, por lo cuál cuando se acaba, el resto de concentraciones se mantienen constantes.