Diferencia entre revisiones de «Enunciado del trabajo 6»
De MateWiki
(Página creada con «'''Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos.''' Mallado de un canal entre con frontera recta Vamos a consid...») |
|||
| (No se muestran 2 ediciones intermedias del mismo usuario) | |||
| Línea 1: | Línea 1: | ||
'''Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos.''' | '''Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos.''' | ||
| − | [[Archivo:Mallado4.jpg|300px|thumb|right|Mallado de un canal | + | [[Archivo:Mallado4.jpg|300px|thumb|right|Mallado de un canal con bordes rectos]] |
Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de un canal con paredes rectas. Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas. Se pide: | Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de un canal con paredes rectas. Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas. Se pide: | ||
#Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del rectángulo <math>[0,4]\times[0,1]</math> ocupado por un fluido. Fijar los ejes en la región <math>[0,4]\times[-1,2]</math> (ver figura). | #Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del rectángulo <math>[0,4]\times[0,1]</math> ocupado por un fluido. Fijar los ejes en la región <math>[0,4]\times[-1,2]</math> (ver figura). | ||
| − | # La velocidad de las partículas del fluido viene dada por <math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math> y su presión <math>p(x,y)=p_1 + (p_2-p_1)(x-1)</math>, donde <math>p_1</math> es la presión en los puntos <math>x=1</math>, <math>p_2</math> la presión en los puntos x=2 y <math>\mu </math> el coeficiente de viscosidad del fluido. Comprobar que <math>(\vec u,p)</math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria: | + | # La velocidad de las partículas del fluido viene dada por <math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math> y su presión <math>p(x,y)=p_1 + (p_2-p_1)(x-1)</math>, donde <math>p_1</math> es la presión en los puntos <math>x=1</math>, <math>p_2</math> la presión en los puntos x=2 y <math>\mu </math> el coeficiente de viscosidad del fluido. Comprobar que <math>(\vec u,p)</math> satisface la [http://en.wikipedia.org/wiki/Navier%E2%80%93Stokes_equations ecuación de Navier-Stokes] estacionaria: |
<math> | <math> | ||
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu \Delta \vec u, | \vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu \Delta \vec u, | ||
| Línea 14: | Línea 14: | ||
</math> | </math> | ||
Además, comprobar que la velocidad del fluido en las paredes y=0,1 es nula. | Además, comprobar que la velocidad del fluido en las paredes y=0,1 es nula. | ||
| − | # Suponiendo que <math>p_1=2</math>, <math> | + | # Suponiendo que <math>p_1=2</math>, <math>p_2=1</math> y <math>\mu=1</math>. Dibujar el campo de presiones y el campo de velocidades. |
# Vamos a dibujar ahora las líneas de corriente del campo <math>\vec u</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec u</math> en cada punto. Para ello calculamos el campo <math>\vec v</math> que en cada punto es ortogonal a <math>\vec u</math> (tomar <math>\vec v=\vec k \times \vec u</math>). Observar que <math>\vec v</math> es irrotacional (por ser <math>\vec u</math> de divergencia nula) y tiene un potencial escalar <math>\psi</math> que se conoce como función de corriente de <math>\vec u </math>. Calcular <math>\psi</math> y dibujar las líneas <math>\psi=cte</math>. Comprobar que son efectivamente líneas de corriente de <math>\vec u</math>. | # Vamos a dibujar ahora las líneas de corriente del campo <math>\vec u</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec u</math> en cada punto. Para ello calculamos el campo <math>\vec v</math> que en cada punto es ortogonal a <math>\vec u</math> (tomar <math>\vec v=\vec k \times \vec u</math>). Observar que <math>\vec v</math> es irrotacional (por ser <math>\vec u</math> de divergencia nula) y tiene un potencial escalar <math>\psi</math> que se conoce como función de corriente de <math>\vec u </math>. Calcular <math>\psi</math> y dibujar las líneas <math>\psi=cte</math>. Comprobar que son efectivamente líneas de corriente de <math>\vec u</math>. | ||
# En qué puntos la velocidad del fluido es máxima? | # En qué puntos la velocidad del fluido es máxima? | ||
Revisión actual del 10:28 22 nov 2013
Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos.
Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de un canal con paredes rectas. Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas. Se pide:
- Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del rectángulo [math][0,4]\times[0,1][/math] ocupado por un fluido. Fijar los ejes en la región [math][0,4]\times[-1,2][/math] (ver figura).
- La velocidad de las partículas del fluido viene dada por [math]\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i[/math] y su presión [math]p(x,y)=p_1 + (p_2-p_1)(x-1)[/math], donde [math]p_1[/math] es la presión en los puntos [math]x=1[/math], [math]p_2[/math] la presión en los puntos x=2 y [math]\mu [/math] el coeficiente de viscosidad del fluido. Comprobar que [math](\vec u,p)[/math] satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:
[math] \vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu \Delta \vec u, [/math] junto con la condición de incompresibilidad (el flujo no se expande ni se contrae): [math] \nabla \cdot \vec u =0 [/math] Además, comprobar que la velocidad del fluido en las paredes y=0,1 es nula.
- Suponiendo que [math]p_1=2[/math], [math]p_2=1[/math] y [math]\mu=1[/math]. Dibujar el campo de presiones y el campo de velocidades.
- Vamos a dibujar ahora las líneas de corriente del campo [math]\vec u[/math], es decir las líneas que son tangentes a [math]\vec u[/math] en cada punto. Para ello calculamos el campo [math]\vec v[/math] que en cada punto es ortogonal a [math]\vec u[/math] (tomar [math]\vec v=\vec k \times \vec u[/math]). Observar que [math]\vec v[/math] es irrotacional (por ser [math]\vec u[/math] de divergencia nula) y tiene un potencial escalar [math]\psi[/math] que se conoce como función de corriente de [math]\vec u [/math]. Calcular [math]\psi[/math] y dibujar las líneas [math]\psi=cte[/math]. Comprobar que son efectivamente líneas de corriente de [math]\vec u[/math].
- En qué puntos la velocidad del fluido es máxima?
- Calcular el rotacional de [math]\vec u[/math] y dibujar el campo [math]|\nabla \times \vec u|[/math]. ¿Qué puntos tienen mayor rotacional? ¿Es razonable?
- Supongamos que la temperatura del fluido viene dada por el campo [math]T(x,y)=(x-1)^2-y^2[/math]. Dibujar el campo de temperaturas.
- Dibujar el gradiente de la temperatura. Comprobar gráficamente que el gradiente de temperaturas es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.
