Diferencia entre revisiones de «Combinatoria»
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Permutar (del latín ''mutare'', que significa cambiar, y el prefijo ''per-'', que indica que algo se realiza en grado máximo) unos objetos es tanto como reordenarlos. En el lenguaje preciso de las Matemáticas, una permutación de un conjunto <math>A</math> es una biyección de <math>A</math> en <math>A</math>. Si el cardinal de <math>A</math> es <math>m</math>, hablamos de una permutación de <math>m</math> elementos. Así, una permutación de <math>x_1, \dots, x_m</math> es una reordenación <math>x_{\sigma 1},\dots,x_{\sigma m}</math>. | Permutar (del latín ''mutare'', que significa cambiar, y el prefijo ''per-'', que indica que algo se realiza en grado máximo) unos objetos es tanto como reordenarlos. En el lenguaje preciso de las Matemáticas, una permutación de un conjunto <math>A</math> es una biyección de <math>A</math> en <math>A</math>. Si el cardinal de <math>A</math> es <math>m</math>, hablamos de una permutación de <math>m</math> elementos. Así, una permutación de <math>x_1, \dots, x_m</math> es una reordenación <math>x_{\sigma 1},\dots,x_{\sigma m}</math>. | ||
Revisión del 18:51 15 oct 2013
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1 Permutaciones
Permutar (del latín mutare, que significa cambiar, y el prefijo per-, que indica que algo se realiza en grado máximo) unos objetos es tanto como reordenarlos. En el lenguaje preciso de las Matemáticas, una permutación de un conjunto [math]A[/math] es una biyección de [math]A[/math] en [math]A[/math]. Si el cardinal de [math]A[/math] es [math]m[/math], hablamos de una permutación de [math]m[/math] elementos. Así, una permutación de [math]x_1, \dots, x_m[/math] es una reordenación [math]x_{\sigma 1},\dots,x_{\sigma m}[/math].
Importa contar: ¿cuántas permutaciones diferentes se pueden formar con [math]m[/math] elementos? La respuesta la da el producto [math]m\cdot(m-1)\cdots(m-2)\cdots 2\cdot 1[/math], que abreviamos como [math]m![/math] (léase factorial de m, o m factorial). Es fácil comprender la razón: para elegir qué elemento colocamos en el primer lugar tenemos [math]m[/math] posibilidades, para el segundo nos quedan [math]m-1[/math] posibilidades, [math]m-2[/math] para el tercero, y así sucesivamente.
Veamos algunos ejemplos:
- ¿De cuántas maneras se pueden repartir las tareas domésticas 7 hermanos (a razón de uno cada día)? La respuesta es [math]7! = 5040[/math].
- ¿Cuántas claves de 8 letras se pueden formar reordenando la palabra PERDIGÓN? La respuesta es [math]8! = 40320[/math], porque contiene 8 letras.
- ¿De cuántas maneras se puede ordenar un mazo de cartas de la baraja española (contiene 40 cartas)? La respuesta es [math]40! \approx 8.159\cdot 10^{47}[/math]
Dos observaciones:
- [math]0!=1[/math]. Así es válida la ley de recurrencia [math](m+1)! = (m+1)\cdot m![/math]
- Los valores de [math]m![/math] crecen muy deprisa al aumentar [math]m[/math]. En la gráfica de la derecha, se muestra cómo crece comparado con la función exponencial, de crecimiento muy rápido. El gráfico está en escala logarítmica, y muestra que al incrementar un orden de magnitud el valor de [math]m[/math], el valor de [math]m![/math] crece en varios órdenes de magnitud.
