|
|
| (No se muestran 5 ediciones intermedias del mismo usuario) |
| Línea 1: |
Línea 1: |
| | | | |
| − | {{ TrabajoED | Trabajo 3. Ecuación de Ondas. G18-A | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Lucas Fabretti Torino
| + | = NO = |
| − | Fernando Marin Lopez-Santa Cruz }}
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | =Ecuación de Onda= | + | |
| − | Se considera un cable de longitud L = 10m con sus extremos fijados. Se desprecia la longitud y se modelizan sus vibraciones mediante la ecuación de ondas.
| + | |
| − | | + | |
| − | Utt – Uxx = f(x,t)
| + | |
| − | U(0,t) = g(x,t)
| + | |
| − | U(10,t) = h(x,t)
| + | |
| − | U(x,0) = i(x,t)
| + | |
| − | Ut(x,t) = j(x,t)
| + | |
| − | | + | |
| − | =Modelización por el Método del trapecio=
| + | |
| − | | + | |
| − | Se propone un escenario en el que se desplaza la sección del cable correspondiente a la distancia 10/3 en 1 metro perpendicularmente y se suelta.
| + | |
| − | Lo resolveremos por el método de diferencias finitas usando el método del trapecio con ∆x = 0.1 y ∆t = ∆x en el intervalo de t de 0 a 40.
| + | |
| − | | + | |
| − | Utt – Uxx = f(x,t)=0
| + | |
| − | U(0,t) = g(x,t) =0
| + | |
| − | U(10,t) = h(x,t)=0
| + | |
| − | 3x/10 ∈ x<3
| + | |
| − | U(x,0) = i(x,t)= función a trozos =
| + | |
| − | 3/2 – 3x/20 ∈ 3<x<10
| + | |
| − | Ut(x,t) = j(x,t)=0
| + | |
| − | | + | |
| − | [[Archivo:Codigo_ejercicio_2_.png|900px]]
| + | |
| − | | + | |
| − | [[Archivo:GraficoEjercicio2.png|800px]]
| + | |
| − | | + | |
| − | =Método de Euler expllicito y Heun=
| + | |
| − | | + | |
| − | ==Euler ==
| + | |
| − | El codigo segun Euler explicito:
| + | |
| − | | + | |
| − | [[Archivo:Codigo_ejercicio_2_euler_explicitor.png|800px]]
| + | |
| − | | + | |
| − | ==Heun ==
| + | |
| − | | + | |
| − | la resolución de la ecuación mediante el método de Heun varia en las formulas usadas para aproximar los términos y derivadas en los nodos. La formula de aplicada de Heun es esta:
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | [[Archivo:formula_metodo_heun.png|300px]]
| + | |
| − | | + | |
| − | =Representación de la Energia del Cable=
| + | |
| − | | + | |
| − | Para dibujar la energía del cable en una grafica usamos la siguiente expresión
| + | |
| − | | + | |
| − | [[Archivo:formula_energia.png|300px]]
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − |
| + | |
| − | mediante el método de diferencias finitas
| + | |
| − | | + | |
| − | [[Archivo:Codigo_ejercicio_4_(1).png|900px]]
| + | |
| − | [[Archivo:Codigo_ejercicio_4_(2).png|900px]]
| + | |
| − | [[Archivo:Codigo_ejercicio_4_(3).png|900px]]
| + | |
| − | | + | |
| − | [[Archivo:GraficoEjercicio4.png|800px]]
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | =Cable en Medio viscoso=
| + | |
| − | | + | |
| − | Suponiendo que el cable esta sumergido en un medio viscoso que produce amortiguamiento. La ecuación varia a
| + | |
| − | | + | |
| − | Utt - Uxx + aUt = 0
| + | |
| − | | + | |
| − | Siendo a la constante de amortiguamientodel medio.
| + | |
| − | A continuación se dibujan las graficas de la energia para a= 0,1,4,10,100
| + | |
| − | | + | |
| − | [[Archivo:Codigo_ejercicio_5_(1).png|900px]]
| + | |
| − | [[Archivo:Codigo_ejercicio_5_(2).png|900px]]
| + | |
| − | | + | |
| − | los resultados representados en el mismo gráfico con un color para cada valor de a
| + | |
| − | | + | |
| − | [[Archivo:GraficoEjercicio5.png|900px]]
| + | |
| − | =Cable sujeto a Estructura=
| + | |
| − | | + | |
| − | Supongamos que el extremo izquierdo del cable esta sujeto a una estructura que sufre vibraciones periódicas con frecuencia sin(2πFot). Herzios. Suponiendo que Fo = 1/L+0.01 Hz, la energía cuando el cable parte inicialmente del reposo y tomamos un tiempo t ∈ [0, 60] segundos es:
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | [[Archivo:Codigo_ejercicio_6_(1).png|900px]]
| + | |
| − | [[Archivo:Codigo_ejercicio_6_(2).png|900px]]
| + | |
| − | | + | |
| − | Se repite el experimento con Fo = 1/L−0.01 Hz y F0 = 1/L Hz.
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | [[Archivo:GraficoEjercicio6.png|900px]]
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | =Cable sujeto a Aparato=
| + | |
| − | | + | |
| − | Suponiendo ahora que el extremo izquierdo del cable esta sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe de manera que la condición de contorno es ahora Ux(0, t) = bU(0, t). Tomando como condición inicial la misma que en el apartado 2 anterior, se calcula el comportamiento de la energía para b = 2, −2. Se utiliza la aproximación:
| + | |
| − | | + | |
| − | Ux(0,t) – bU(0,T) ∼ (u1(t) – U-1(t))/(2h)-Uo(t)
| + | |
| − | | + | |
| − | [[Archivo:Codigo_ejercicio_7_(1).png|900px]]
| + | |
| − | [[Archivo:Codigo_ejercicio_7_(2).png|900px]]
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | [[Archivo:GraficoEjercicio7.png|900px]]
| + | |
| − | | + | |
| − | ==Resolución por fourier==
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | por ultimo resolvemos por Fourier con 1,3,5,10 y 20 elementos el apartado 2
| + | |
| − | | + | |
| − | Utt – Uxx = f(x,t)=0
| + | |
| − | U(0,t) = g(x,t) =0
| + | |
| − | U(10,t) = h(x,t)=0
| + | |
| − | 3x/10 ∈ x<3
| + | |
| − | U(x,0) = i(x,t)= funcion a trozos =
| + | |
| − | 3/2 – 3x/20 ∈ 3<x<10
| + | |
| − | Ut(x,t) = j(x,t)=0
| + | |
| − | | + | |
| − | [[Archivo:Codigo_ejercicio_8_(1).png|900px]]
| + | |
| − | [[Archivo:Codigo_ejercicio_8_(2).png|900px]]
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | [[Archivo:GraficoEjercicio8.png]]
| + | |
| − | | + | |
| − | [[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
| + | |
| − | [[Categoría:ED14/15]]
| + | |
| − | [[Categoría:Trabajos 2014-15]]
| + | |
