Diferencia entre revisiones de «Ecuación de ondas. Grupo C2»
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Revisión del 19:44 7 may 2015
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Ecuación de ondas. Grupo C2 |
| Asignatura | Ecuaciones Diferenciales |
| Curso | Curso 2014-15 |
| Autores | Nuestros nombres |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
- 1 Introducción
- 2 Vibración sin amortiguamiento. Condiciones Dirichlet. Resolución por el método de líneas
- 3 Vibración con amortiguamiento. Cálculo de la energía
- 4 Cambio de condiciones en los extremos. Cálculo de la energía
- 5 Cambio de condiciones en los extremos. Condición Neumann. Cálculo de la energía
- 6 Vibración sin amortiguamiento. Método de Fourier
1 Introducción
Consideramos un cable de una estructura civil de longitud L = 10 m sujeto por ambos extremos. Supondremos que el cable tiene una sección pequeña respecto a su longitud y que las vibraciones pueden modelizarse mediante la ecuación de ondas. Si denotamos su desplazamiento vertical por u(x,t), podemos plantear el problema de su movimiento según el siguiente sistema de ecuaciones:
2 Vibración sin amortiguamiento. Condiciones Dirichlet. Resolución por el método de líneas
2.1 Método del trapecio
2.2 Método de Euler explícito
2.3 Método de Heun
2.4 Cálculo de la energía
3 Vibración con amortiguamiento. Cálculo de la energía
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%Coeficiente de amortiguamiento
am=[0,1,4,10,100];
for n=am
%Datos en x
a=0; b=10;
h=0.1;
x=a:h:b;
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %condiciones de contorno
U0=zeros(size(xx));
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx));
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1
t0=0;tM=40;
k=h; % paso en t.
t=t0:k:tM;
M=length(t)-1; %número de subintervalos
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Sistema de ecuaciones por el método del trapecio
V(:,i+1)=((1+0.5*k*n)*eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(V(:,i)+0.5*k*(-n*V(:,i)-K*U(:,i)+2*F)-0.5*k*K*(U(:,i)+0.5*k*V(:,i)));
U(:,i+1)=U(:,i)+0.5*h*(V(:,i)+V(:,i+1));
end
%Incluimos condiciones Dirichlet
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Como las condiciones Dirichlet son nulas, las velocidades de estos puntos
%también lo serán
V=[UA;V;UB];
%Energía
E=zeros(size(t));
Ux=zeros(size(x));
for l=1:M+1
for m=2:N
Ux(m)=(U(m+1,l)-U(m-1,l))/(2*k);
end
Ux=Ux';
E(l)=trapz(x,V(:,l).^2)+trapz(x,Ux.^2);
end
%Dibujamos la gráfica de la energía
hold on
plot(t,E)
xlabel('Tiempo (s)'); ylabel('Energía (J)');
%Borramos todos los datos para realizar el bucle de nuevo
clear all
end
legend('a=0','a=1','a=4','a=10','a=100','Location','Best');
hold off
