Diferencia entre revisiones de «Carga crítica de una columna. Grupo 1A»
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| + | extremo superior de la columna, donde se aplica la carga, y '''<math>x=L</math>''' al extremo inferior de la columna. Sea '''<math>y(x)</math>''' la '''función elástica''' o función que expresa la curvatura del eje de la columna al aplicarle una fuerza vertical de compresión o carga '''<math>P</math>''', en su extremo superior (ver figura Apartado 1). Al comparar los momentos flectores en cualquier punto de la columna se obtiene: | ||
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| + | y''(x)=\frac{M(x)}{E I(x)} \Longrightarrow y''(x)=\frac{-Py(x)}{E I(x)} \Longrightarrow y''(x)+\frac{Py(x)}{E I(x)}=0 \\ | ||
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| + | Para poder resolver este problema de contorno faltarían las condiciones de contorno que serían: | ||
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| + | Por tanto, el problema de contorno planteado para resolver el ejercicio sería: | ||
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Revisión del 12:08 28 abr 2015
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Carga crítica de una columna biapoyada. Grupo 1A |
| Asignatura | Ecuaciones Diferenciales |
| Curso | Curso 2014-15 |
| Autores | María Ramírez
Ignacio Posada Antonio López-Mateos Pablo Bueno |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
1 Introducción
En este proyecto numérico hemos estudiado la estabilidad y flexión de una columna vertical, sometida a una carga constante P.
La base de la teoría de las columnas es la formula de Euler, que fue publicada en 1757 por Leonardo Euler, un matemático suizo. Esta formula es válida solamente para columnas largas. También tenemos que suponer que esta columna es recta, homogénea, y de sección transversal constante en toda su longitud. Se aplica la ley de Hooke y los esfuerzos son inferiores al limite de proporcionalidad del material, para evitar fracturas en la estructura de la columna.
La carga critica de pandeo es la carga axial máxima que una columna puede soportar cuando esta a punto de pandearse.
Un esquema representativo sería:
2 Planteamiento matemático
Examinando los datos iniciales del problema, nos encontramos ante una columna vertical larga y esbelta de sección transversal uniforme, y de longitud total igual a L. Su eje de simetría, por tanto, ocupa el intervalo espacial [math]x \epsilon [0, L][/math], donde [math]x=0[/math] corresponde al extremo superior de la columna, donde se aplica la carga, y [math]x=L[/math] al extremo inferior de la columna. Sea [math]y(x)[/math] la función elástica o función que expresa la curvatura del eje de la columna al aplicarle una fuerza vertical de compresión o carga [math]P[/math], en su extremo superior (ver figura Apartado 1). Al comparar los momentos flectores en cualquier punto de la columna se obtiene:
\begin{matrix} y(x)=\frac{M(x)}{E I(x)} \end{matrix}
Siendo:
· [math]E[/math]: módulo de elasticidad de Young.
· [math]I(x)[/math]: momento de inercia de una sección trasversal respecto a una recta vertical por el centro.
· [math]M(x)[/math]: momento flector.
En el caso de la columna, el momento depende de la deflexión, de manera que: [math]M(x)=-Py(x)[/math].
Por tanto, sustituyendo la fórmula del momento flector en la ecuación inicial: \[\begin{array}{crl}
\\
y(x)=\frac{M(x)}{E I(x)} \Longrightarrow y(x)=\frac{-Py(x)}{E I(x)} \Longrightarrow y(x)+\frac{Py(x)}{E I(x)}=0 \\
\\
\end{array}\] Para poder resolver este problema de contorno faltarían las condiciones de contorno que serían: [math] \left\{\begin{matrix} y(0)=0 \\ y(L)=0\\ \end{matrix}\right. [/math] ya que en los extremo de la viga: [math]x=0[/math] y [math]x=L[/math] tiene deflexión cero.
Por tanto, el problema de contorno planteado para resolver el ejercicio sería:
[math] \left\{\begin{matrix} y''(x)+\frac{Py(x)}{E I(x)}=0 \\ y(0)=0 \\ y(L)=0\\ \end{matrix}\right. [/math]
