Diferencia entre revisiones de «Logística con umbral A7»

Revisión actual del 12:17 13 mar 2015

1 Problema de valor inicial

Consideramos el problema de valor inicial:

1.1 Euler, Heun y Runge-Kutta de orden 4

Resolveremos la ecuación por los tres distintos métodos: Runge-Kutta, Euler y Heun. Cada unos de ellos nos aportara una aproximación de la solución exacta siendo el método de Runge-Kutta la mejor aproximación de las tres, y el de Euler el menos exacto. También dependerá del paso (h) elegido, ya que cuanto menor sea éste, mas exacta sera la función, debido a que habrá un mayor numero de intervalos con un diferencial de área menor, lo que provoca que la integral calculada sea mas precisa. Usaremos los pasos h = 1; h = 0.1; h = 0.01 .

Tomando como intervalo 100 años, una población inicial de 60, r=0.04, M2=100 (se refiere a la población máxima o limite que es capaz de mantenerse) y M1=30 (es la población mínima necesaria para poder llegar a desarrollarse), obtenemos:

clear all
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0;tN=100;                           %Tiempos inicial y final
y0=60;                                 %Condición inicial
%El tamaño de paso lo haremos con h=1,0.1,0.01
h=input('Introduce tamaño de paso:');  %Tamaño de paso
N=(tN-t0)/h;                           %Discretización
r=0.04;m1=30;m2=100;                   %Constantes de la ecuación
t=t0:h:tN;                             %Vector de tiempos
%Vector y su condición inicial en cada metodo
y=zeros(1,N+1); y(1)=y0;               %Runge-Kutta
z=zeros(1,N+1);z(1)=y0;                %Euler
he=zeros(1,N+1);he(1)=y0;              %Heun
for i=1:N
 %Método Runge-Kutta:
 K1=-r*y(i)*(1-y(i)/m1)*(1-y(i)/m2);
 K2=-r*(y(i)+1/2*K1*h)*(1-((y(i)+1/2*K1*h)/m1))*(1-((y(i)+1/2*K1*h)/m2));
 K3=-r*(y(i)+1/2*K2*h)*(1-((y(i)+1/2*K2*h)/m1))*(1-((y(i)+1/2*K2*h)/m2));
 K4=-r*(y(i)+K3*h)*(1-((y(i)+K3*h)/m1))*(1-((y(i)+K3*h)/m2));
 y(i+1)= y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
 %Método Euler:
 z(i+1)=z(i)+h*(-r*(z(i)+1/2*K1*h)*(1-(z(i)+1/2*K1*h)/m1)*(1-(z(i)+1/2*K1*h)/m2));
 %Método de Heun:
 Kh1=-r*he(i)*(1-he(i)/m1)*(1-he(i)/m2);
 Kh2=-r*(he(i)+Kh1*h)*(1-((he(i)+Kh1*h)/m1))*(1-((he(i)+Kh1*h)/m2));
 he(i+1)= he(i)+h/2*(Kh1+Kh2);      
end
%Dibujamos las distintas gráficas:
subplot(3,1,1);
plot(t,y,'b','linewidth',2)
legend('RUNGE-KUTTA','location','best')
subplot(3,1,2);
plot(t,z,'r','linewidth',2)
legend('EULER','location','best')
subplot(3,1,3);
plot(t,he,'g','linewidth',2)
legend('HEUN','location','best')

Como podemos comprobar en las siguientes imágenes la población empieza a crecer de forma que se estabiliza al llegar a 100, siendo esta su población límite que admite. A medida que vayamos tomando pasos mas pequeños se reducirán los errores y conseguiremos una aproximación mejor.

Paso 1

Paso 0.1

Paso 0.01

1.2 Heun

En este apartado resolvemos el PVI con h=0.1 para los datos I = [0, 100], r = 0.04, M1 = 30 y M2 = 100. Se aplicará para los casos de y0=120 e y0=20.

clear all
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0;tN=100;             %Tiempos inicial y final
y0=120; y02=20;          %Condición inicial
%El tamaño de paso lo haremos con h=0.1
h=0.1;                   %Tamaño de paso
N=(tN-t0)/h;             %Discretización
r=0.04;m1=30;m2=100;     %Constantes de la ecuación
t=t0:h:tN;               %Vector de tiempos
%Vector y su condición inicial en cada y0
he=zeros(1,N+1);he(1)=y0;  
he2=zeros(1,N+1);he2(1)=y02;
for i=1:N
    %Con y0=120
 K1=-r*he(i)*(1-he(i)/m1)*(1-he(i)/m2);
 K2=-r*(he(i)+K1*h)*(1-((he(i)+K1*h)/m1))*(1-((he(i)+K1*h)/m2));
 he(i+1)= he(i)+h/2*(K1+K2);     
    %Con y0=20
 Kh1=-r*he2(i)*(1-he2(i)/m1)*(1-he2(i)/m2);
 Kh2=-r*(he2(i)+Kh1*h)*(1-((he2(i)+Kh1*h)/m1))*(1-((he2(i)+Kh1*h)/m2));
 he2(i+1)= he2(i)+h/2*(Kh1+Kh2);
end
%dibujamos las gráficas:
hold on
plot(t,he,'g','linewidth',2)
plot(t,he2,'b','linewidth',2)
legend('y0=120','y0=20','location','best')
hold off
xlabel('tiempo')
ylabel('población')

Se observa que cuando la población inicial es superior al limite sustentable ésta deberá decrecer para sostenerse como ocurre en el caso y0=120, mientras que cuando la población inicial es menor de la población mínima para poder perpetuarse y desarrollarse esta decrecerá hasta su extinción (caso y0=20).

2 Comparación entre especies

En es esta segunda parte del trabajo, consideramos dos especies distintas que ocupan el mismo ecosistema. Según diferentes tipos de modelización interpretamos la evolución de las dos especies en el tiempo. La explicación adyacente del trabajo nos describe 6 modelos basados en 3 sistemas de ecuaciones diferenciales.

El primero es un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden en el que la razón de crecimiento está relacionada con el número de interacciones. Sería el modelo Parasitismo en el que una especie vive a expensas de la otra (huésped) a la cual produce perjuicios tiene como ecuaciones x’=ax-bx*y; y’=cx-dx*y.

El segundo es otro sistema no lineal de la forma x’=ax-bx^2; y’=cy-dy^2 .Las dos especies se encuentran aisladas o no están interrelacionadas entres ellas aunque ocupen el mismo espacio, de forma que crecen de forma exponencial. Esto es debido a que el termino coef x*y es cero, eliminando la relación entre las especies. El modelo que corresponde con este sistema es el Neutralismo (gráfica 2).

El tercero modeliza lo que se denominan modelos de competencia. El sistema es x’=a1*x-b1*x^2-c1x*y; es y’=a2*y-b2*y^2-c2x*y que se basa en el anterior al que se le restan razones proporcionales a la cantidad de interacciones. Para analizar los diferentes modelos, basta con fijarnos en los símbolos de los coeficientes. La mejor forma de explicar esto es con ejemplos:

1. En la grafica tres tenemos el modelo de Simbiosis o cooperación. En él, ambas especies se favorecen en mayor o menor grado. Al analizar los coeficientes, c1 y c2 son positivos de forma que el crecimiento (la derivada) es mayor (tiene una mayor pendiente).

2. En cambio en la cuatro, como los coeficientes son negativos se produce el efecto contrario. El modelo será Competición (cada especie tiende a eliminar a la otra).

3. En las graficas 4 y 5, observamos que una de las dos especies crece de forma aislada o sin interaccionar con la otra, la cual si que depende de ella. Esto se debe a que c1 es 0 y c2 diferente de 0. Ahora tenemos dos modelos que cumplen esto:

a) Comensalismos, una especie (comensal) se alimenta a costa de la otra (huésped) a la cual no produce ni perjuicio ni beneficio (hormiga tiene ácaros comensales). C2 es negativo, entonces el crecimiento de la segunda especie será negativo (derivada negativa).

b) Amensalismo, una especie (inhibidora) produce trastornos a otra (amensal) sin obtener ningún beneficio. ). Caso contrario, su coeficiente c2 es negativo, entonces el crecimiento de la segunda especie será negativo (derivada negativa).

clear all 
%Tiempo inicial y final:
t0=0; tN=input('Introduce valor tiempo final:');    
%Tamaño de paso y discretizacíon
h=0.1; N=(tN-t0)/h; 
%Vector de tiempos
t=t0:h:tN;    
%Vector y condicion inicial en cada método
x=zeros(1,N+1);x(1)=2;
y=zeros(1,N+1);y(1)=7;
p=zeros(1,N+1);p(1)=2;
q=zeros(1,N+1);q(1)=7;
%Introducción de los coeficientes constantes de la ecuación
a1=input('Introduce valor coeficiente a1:');
a2=input('Introduce valor coeficiente a2:');
b1=input('Introduce valor coeficiente b1:');
b2=input('Introduce valor coeficiente b2:');
c1=input('Introduce valor coeficiente c1:');
c2=input('Introduce valor coeficiente c2:');

for i=1:N
    %Método de Euler:
    p(i+1)=p(i)+h*(a1*p(i)-b1*(p(i)^2)-c1*p(i)*q(i));
    q(i+1)=q(i)+h*(a2*q(i)-b2*(q(i)^2)-c2*p(i)*q(i));
    %Metodo de Heun:
    k1x=a1*x(i)-b1*(x(i)^2)-c1*x(i)*y(i);
    k1y=a2*y(i)-b2*(y(i)^2)-c2*x(i)*y(i);
    k2x=a1*(x(i)+k1x*h)-b1*((x(i)+k1x*h)^2)-c1*(x(i)+k1x*h)*(y(i)+k1y*h);
    k2y=a2*(y(i)+k1y*h)-b2*((y(i)+k1y*h)^2)-c2*(x(i)+k1x*h)*(y(i)+k1y*h);
    x(i+1)=x(i)+h/2*(k1x+k2x);
    y(i+1)=y(i)+h/2*(k1y+k2y);
end
%Gráficas de cada método con cada uno de los coeficientes:
figure(1)
subplot(2,1,1)
hold on
plot(t,x,'linewidth',2)
plot(t,y,'r','linewidth',2)
legend('Especie 1-Heun','Especie 2-Heun','location','best')
hold off
subplot(2,1,2)
hold on
plot(t,p,'g','linewidth',2)
plot(t,q,'k','linewidth',2)
legend('Especie 1-Euler','Especie 2-Euler','location','best')
hold off
%Graficas entre especies X-Y
%plot(x,y,'g')

2.1 Parasitismo

a1 = −0.3, a2 = 1.15, b1 = 0, b2 = 0, c1 = −0.08, c2 = 0.09, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 150].

En el intervalo de tiempo 0-150 observamos una función cíclica. La especie 1 se inicia en un número de individuos igual a 2, experimentando unas variaciones crecientes y decrecientes a lo largo del tiempo. La especie 2 tiene un comportamiento similar aunque su crecimiento y decrecimiento no es tan pronunciado.

El método de Euler refleja de una forma menos precisa el comportamiento del ecosistema que el método de Heun.

En cuanto al modelo de competencia entre las dos especies se observa un PARASITISMO, siendo el huésped la especie 1. La especie 1 vive a expensas de la evolución de la especie 2, ya que su momento de crecimiento y decrecimiento (especie 1) es siempre posterior y perjudica a la segunda especie.

En cuanto a la especie 2, se observa que al principio la población crece en un periodo de tiempo entorno a 2-5 años donde alcanza su máximo en torno a 25 individuos. Después se produce un descenso brusco hasta la casi desaparición de la especie, volviéndose después a repetir el mismo proceso evolutivo. La especie 1 se comporta de manera similar pero su descenso no es tan brusco y no llega a la desaparición total. Ninguna de las dos especies logra estabilizarse ya que siguen un proceso cíclico, por lo que no es un sistema estable.

El crecimiento de la especie 2 afecta al crecimiento de la primera especie, que se guía por el proceso evolutivo de la segunda especie. Ambas especies crecen de forma similar hasta los 25 individuos, momento en el que la gráfica de la especie 2 comienza a descender mientras que la de la especie 1 continúa creciendo hasta los 40 individuos.

2.2 Neutralismo

a1 = 0.16, a2 = 0.25, b1 = 0.04, b2 = 0.1, c1 = 0, c2 = 0, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 40].

En esta gráfica se tratan dos especies con una evolución que sigue un modelo logarítmico. La especia 1 comienza con una población de 2 y a partir de ahí crece progresivamente hasta que alcanza su máximo en 4 y se mantiene constante. En el caso de la segunda especie esta comienza en 7 y contraria a la otra especie desciende hasta llegar un mínimo en 2,5 donde se mantiene constante. En este caso el método de Euler es similar al método de Heun por lo que podemos afirmar que no existe ningún tipo de error con el método de Euler.

El modelo de competencia en nuestro caso será NEUTRALISMO, donde ambas especies siguen su curso de crecimiento y decrecimiento hasta llegar a t=20, momento en el que las especies se estabilizan deteniendo su evolución, alcanzando sus respectivos máximos y mínimos. La elección de este modelo de competencia se basa en que al c1 y c2 cero, el término xy es nulo en las dos especies, lo que indica que no hay interacción entre especies y cada una es independiente de la otra.

La especie 2 desciende en población pero no llega a desaparecer estabilizándose en 2,5, al contrario que la especie 1 que crece en el ecosistema hasta t=20 donde se estabiliza parando su crecimiento.

Las especies son independientes en sus respectivas evoluciones y no existe interacción entre ellas, es decir, el comportamiento de una especie no afecta a la otra.

2.3 Simbiosis o cooperación

a1 = 0.16, a2 = 0.25, b1 = 0.04, b2 = 0.1, c1 = −0.015, c2 = −0.02, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 20].

La especie 1 comienza en 2 y crece progresivamente en todo el intervalo de tiempo (0,20). En cuanto a la especie 2 el número de individuos iniciales es mayor que la especie 1 (7) y experimenta un descenso poblacional hasta que logra estabilizarse en torno a un tiempo t=10 con un número de individuos que se mantendrá constante a lo largo del tiempo con un número de individuos de 3,5, aunque podemos observar que intenta remontar el crecimiento de manera muy lenta.

El modelo de competencia en este caso es SIMBIOSIS, se observa que las dos especies se ven favorecidas, cuando la especie 1 ayuda a la segunda a frenar su decrecimiento y lo transforma en crecimiento aunque de manera muy lenta. La elección de este modelo se basa en que el término “xy” de la ecuación que relaciona ambas especies es positivo, lo cual indica que existe interacción entre ambas de manera favorable.

Al principio, se ve un decrecimiento por parte de la segunda especie, el cual se ve frenado por la primera sin llegar a desaparecer ninguna de las dos. En el caso de la segunda especie, y gracias a la primera, logra una estabilidad que encontrará a partir de un tiempo t = 10.

2.4 Competición

a1 = 1, a2 = 1, b1 = 0.04, b2 = 0.1, c1 = 0.015, c2 = 0.02, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 20].

En cuanto a la especie 1 con comienzo en 2 crece exponencialmente hasta t=10 donde se frena su crecimiento hasta estabilizarse de manera constante con el tiempo. Se observa que la especie 2 (con inicio en 7) crece hasta encontrarse con la primera especie donde la 1 elimina a la 2 y por ello la segunda especie comienza a descender y estabilizarse en t=10.

El modelo de competencia elegido en este caso es la COMPETICIÓN, y se observa que para t = 2 que la especie 1 alcanza el número de individuos suficientes para poder eliminar, o bien frenar el crecimiento de la especie 2. La elección de este modelo se basa en que el término “xy “ en ambas especies es negativo, lo cual indica que hay interacción entre ambas de manera perjudicial para aquella especie más débil (en nuestro caso la especie2).

En este caso la segunda especie tiende a decrecer hasta desaparecer, pero en nuestro intervalo de tiempo dado no es suficiente para ver desaparecer la especie 2 completamente. La especie 1 tiende a estabilizarse para t = 10.

2.5 Amensalismo

a1 = 1, a2 = 1, b1 = 0.04, b2 = 0.1, c1 = 0, c2 = 0.2, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 10].

Podemos ver en las graficas como las especies compiten por los recursos, alimentos o espacio vital. La primera especie, a pesar de empezar con una población inicial que la segunda logra crecer hasta conseguir hacer desaparecer a la segunda especie, que tiene su máximo absoluto en el tiempo inicial.

La primera especie lograra llegar hasta la población límite donde que le permite el ecosistema donde se estabilizara mientras que la segunda perecerá a consecuencia de su enfrentamiento con la primera.

Tenemos un ecosistema donde la primera especie lograra tener una población estable en el tiempo llegando a alcanzar la población límite.

2.6 Comensalismo

a1 = 1, a2 = 1, b1 = 0.04, b2 = 0.1, c1 = 0, c2 = −0.2, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 20].

Ambas especies comienzan con un número de individuos predeterminado (2 y 7) y a partir de ahí las dos crecen de manera progresiva hasta alcanzar sus máximos donde ambas se mantendrán constante. En este caso el método de Euler nos da una buena aproximación y no nos produce demasiado error como podría ser esperado. Podríamos afirmar que nos encontramos ante un caso de COMENSALISMO, ya que el crecimiento de una se ve favorecido por la otra que no le provoca ni perjuicio ni beneficio. Como ya hemos dicho, ambas especies crecen hasta alcanzar un máximo a partir del cual se estabilizan. Ocurre para un tiempo cercano a 8, en el caso de la especie 1 con una población en torno a 25 individuos y para la especie 2 de 60.

El crecimiento de ambas es conjunto, una especie se favorece y crecen de manera sin afectar una a la otra de manera negativa y sin que ninguna se extinga.

2.7 Gráficas entre especies X-Y

En este apartado comparamos las graficas X-Y de las especies para los distintos caso.

Comprobando la estabilidad de las gráficas podemos observar como la primera es un proceso cíclico propio de un sistema inestable, en la segunda gráfica por ejemplo se observa el equilibrio entre las dos especies y su constancia en el tiempo mientras que en las demás vemos como se interfieren entre las especies hasta conseguir el equilibrio del ecosistema.