Diferencia entre revisiones de «Desintegración Radiactiva G18»

Revisión actual del 11:53 13 mar 2015

Se ha observado que los materiales radiactivos como el plutonio, el radio o el isótopo C 14 se desintegran naturalmente para formar otro elemento o isótopo del mismo elemento con una rapidez proporcional a la cantidad de material radiactivo presente. Este proceso puede simularse resolviendo la siguiente ecuación diferencial para la concentración de elemento radiactivo.

                   M‘(t) = -kM(t)

1 Interpretación de la fórmula

M es el numero de núcleos radiactivos presentes en función del tiempo y a velocidad de desintegración como la derivada con respecto a t de dicha función (M’). La constante k se denomina constante de rapidez por lo que es proporcional con respecto de la cantidad y del tiempo. La M representa la cantidad de material radiactivo, el cual se va desintegrando según la constante 'k'. La velocidad va decreciendo a medida que va habiendo menos cantidad del material radiactivo.

2 Datación Arqueológica

Los restos arqueológicos se hayan mediante un problema de valor inicial, resolviendo por el método de Euler para los intervalos dados: h=0,1 y h=0,01 y constante de desintegración 1.24 x 10^4. La forma de determinar cuando se alcanza el 8% de material lo realizaremos con bucle 'while' para la cantidad pedida, suponiendo una cantidad inicial M0=1.

La solución que el programa genera al problema es: 

2,0369x10^4 años

3 Resolución del caso anterior mediante el Método del Trapecio

Se repite el ejercicio usando el método del trapecio con un intervalo de h=0,1.

La solución que el programa genera al problema es: 

2,0369x10^4 años

El método de Euler es estable para las ecuaciones que verifiquen que la función es diferenciable. En nuestro caso, f(t,M) es diferenciable y no se anula en ningún punto por lo que es estable.

4 Aproximación de la Vida Media de un Elemento Radiactivo

La vida media es el promedio de vida de un núcleo o de una partícula subatómica libre antes de desintegrarse. La vida media no debe confundirse con el periodo de semidesintegración (en particular el periodo de semidesintegración se aplica solamente a sustancias radiactivas y no a partículas libres como se dice).

La solución que el programa da al problema es: 

5589'9 años

5 Determinar Sistema de Ecuaciones

Consideramos ahora una descomposición de un elemento A en otro C a través de un elemento o isótopo intermedio B, A → B →C. el sistema de ecuaciones diferenciales que permiten conocer las cantidades de cada elemento en cada instante de tiempo. Las constantes serán negativas y distintas por que la cantidad de núcleos se va reduciendo. La cantidad de A depende de si misma, pero la B es la que se transforma de A a B menos la que se transforma de B a C

                     M'A(t)=-k1MA(t)
               M'B(t)=k1MA(t)-k2MB(t)
               M'C(t)=k2MB(t)

6 Resolucion por Euler y por el metodo del Trapecio

Tomando las constantes k1=5 y k2=1 y con las condiciones iniciales de A,B y C (1,0,0 respectivamente) resolviendo por Euler con h=0.1 y por el Método del Trapecio.

La interpretación más plausible de los gráficos seria definir la descomposición de A como independiente. La cantidad de B va aumentando a medida que se desintegra mas A pero cesa cuando la proporción de B con respecto de A es de 5 a 1 mientras que la C crece a medida que desaparecen las otras dos hasta estabilizarse. Con respecto a los diferentes Gráficos se puede apreciar mejor precisiones el método del trapecio.

7 Resolución con constantes intercambiadas

En este apartado hicimos que al intercambiar las constantes, la constante de A fuese más pequeña que la de B por lo que se degenera el A más despacio y el B casi no crece mientras que el C no varía demasiado su crecimiento comparado con las constantes anteriores.

(El código es el mismo intercambiando las 'k')