Diferencia entre revisiones de «Logística con umbral»

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(→‎Resolución)
 
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nos dispondremos a desarrollar y exponer la resolución del problema, la interpretción de los resultados obtenidos, complementando todo esto con sus gráficas correspondientes para facilitar su entendimiento.
 
nos dispondremos a desarrollar y exponer la resolución del problema, la interpretción de los resultados obtenidos, complementando todo esto con sus gráficas correspondientes para facilitar su entendimiento.
 
===Resolución===
 
===Resolución===
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[[Archivo:RESOLUCIONGENERAL.jpg|600px|miniaturadeimagen|derecha|Representación gráfica del dominio de las funciones (MATLAB)]]
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Para la resolución general utilizaremos un numero de individuos iniciales igual a 60 (y0=60).
 
Para la resolución general utilizaremos un numero de individuos iniciales igual a 60 (y0=60).
  
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[[Archivo:RESOLUCIONGENERAL.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Resolución de la ecuación diferencial utilizando los métodos de Euler, Heun y RK4]]
  
  
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t0=0;
 
t0=0;
 
tf=100;
 
tf=100;
−
hh=[1 0.1 0.01];
+
Paso=[1 0.1 0.01];
−
h=hh(1);  
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h=Paso(1);  
 
% Cambiando entre 1,2 y 3 elegimos el paso de tiempo que queremos.
 
% Cambiando entre 1,2 y 3 elegimos el paso de tiempo que queremos.
 
% Cuidado que con 0,01 es probable que se cuelgue el ordenador.
 
% Cuidado que con 0,01 es probable que se cuelgue el ordenador.
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ylabel('Poblacion R');
 
ylabel('Poblacion R');
 
}}
 
}}
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===Interpretación===
 
===Interpretación===
 
====General====
 
====General====
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Todo lo expuesto anteriormente queda corroborado en la gráfica adjuntada, donde puede observarse la variaciones de precisión entre los distintos métodos en la representación de las distintas soluciones.
 
Todo lo expuesto anteriormente queda corroborado en la gráfica adjuntada, donde puede observarse la variaciones de precisión entre los distintos métodos en la representación de las distintas soluciones.
  
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[[Archivo:INTERPRETACIONNUMERICA.jpg]]
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[[Archivo:INTERPRETACIONNUMERICA.jpg|500px|thumb|centro|Zoom de la gráfica para observar la diferencia entre los distintos metodos numéricos]]
  
 
Sin embargo, esta no es más que una ampliación de la gráfica dispuesta al inicio del trabajo, en la cual se puede comprobar que, en el caso de que la exigencia en la precisión de los cálculos no sea notoria, cualquiera de los métodos empleados, a grandes rasgos, darán resultados muy similares.
 
Sin embargo, esta no es más que una ampliación de la gráfica dispuesta al inicio del trabajo, en la cual se puede comprobar que, en el caso de que la exigencia en la precisión de los cálculos no sea notoria, cualquiera de los métodos empleados, a grandes rasgos, darán resultados muy similares.
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=====Poblacional=====
 
=====Poblacional=====
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En términos de dinámica de poblaciones la ecuación diferencial modeliza una población limitada en 100 individuos, condicionada por distintos factores del medio siendo el más limitativo del crecimiento poblacional la falta de recursos en el ecosistema donde se estudia la población. En el estudio desarrollado a continuación se parte de la base de que con poblaciones inferiores a cierto valor (30 en nuestro caso) estas serán incapaces de adaptarse al medio y prosperar, decreciendo la población de forma continuada hasta la desaparición total de esta.
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En términos de dinámica de poblaciones la ecuación diferencial modeliza una población limitada en 100 individuos, condicionada por distintos factores del medio siendo el más limitativo del crecimiento poblacional la falta de recursos en el ecosistema donde se estudia la población. En el estudio desarrollado a continuación se parte de la base de que con poblaciones inferiores a cierto valor (30 en nuestro caso) estas serán incapaces de adaptarse al medio y prosperar, decreciendo la población de forma continuada hasta la desaparición total de esta.
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Interpretamos, en función de los valores dados, que a partir de 30 componentes  estas agrupaciones son capaces de diversificar las funciones desarrolladas en el grupo siendo suficientes para que estas permitan el desarrollo del grupo.
 
Interpretamos, en función de los valores dados, que a partir de 30 componentes  estas agrupaciones son capaces de diversificar las funciones desarrolladas en el grupo siendo suficientes para que estas permitan el desarrollo del grupo.
 
En el caso limite, consideraríamos que de la totalidad de los individuos  se repartiría en funciones esenciales, como la obtención de alimento y la defensa del grupo, lo que permitiría un crecimiento poblacional moderado. Sin embargo, para comunidades mayores  la diversificación de  tareas, o bien, desarrollándose las mismas de forma más eficiente o pudiendo llegar a surgir otras, y mientras el factor limitativo de los recursos del medio lo permita, el crecimiento será superior al de poblaciones menores en los valores iniciales .   
 
En el caso limite, consideraríamos que de la totalidad de los individuos  se repartiría en funciones esenciales, como la obtención de alimento y la defensa del grupo, lo que permitiría un crecimiento poblacional moderado. Sin embargo, para comunidades mayores  la diversificación de  tareas, o bien, desarrollándose las mismas de forma más eficiente o pudiendo llegar a surgir otras, y mientras el factor limitativo de los recursos del medio lo permita, el crecimiento será superior al de poblaciones menores en los valores iniciales .   
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Lo expuesto previamente se cumple  hasta valores muy cercanos  al límite de individuos en ese espacio, no obstante,  en zonas cercanas al valor máximo de individuos de este estudio la pendiente en el crecimiento se ve disminuida dando lugar a  un crecimiento más lento de los experimentados previamente. Pudiera interpretarse como que, dado que los recursos empiezan a ser insuficientes, la competencia por ellos se verá incrementada dificultando en mayor medida el desarrollo del censo poblacional.
 
Lo expuesto previamente se cumple  hasta valores muy cercanos  al límite de individuos en ese espacio, no obstante,  en zonas cercanas al valor máximo de individuos de este estudio la pendiente en el crecimiento se ve disminuida dando lugar a  un crecimiento más lento de los experimentados previamente. Pudiera interpretarse como que, dado que los recursos empiezan a ser insuficientes, la competencia por ellos se verá incrementada dificultando en mayor medida el desarrollo del censo poblacional.
  
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Para un número inicial de individuos igual a 20
 
Para un número inicial de individuos igual a 20
  
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[[Archivo:24CAP5.jpg]]
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[[Archivo:24CAP5.jpg|500px|thumb|centro|Desarrollo de la especie con una poblacion inicial de 20 individuos]]
  
 
Acorde con lo ya explicado, al no superar el número límite de individuos que permitan el desarrollo de la población,esta decrecerá hasta extinguirse.  
 
Acorde con lo ya explicado, al no superar el número límite de individuos que permitan el desarrollo de la población,esta decrecerá hasta extinguirse.  
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Para un número inicial de individuos igual a 120
 
Para un número inicial de individuos igual a 120
  
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[[Archivo:24CAP4.jpg]]
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[[Archivo:24CAP4.jpg|500px|thumb|centro|Desarrollo de la especie con una poblacion inicial de 120 individuos]]
  
 
Como ya expusimos, al superar el número de individuos de la población el máximo permitido por el medio, estos desaparecerán hasta alcanzar el valor sostenible del medio.
 
Como ya expusimos, al superar el número de individuos de la población el máximo permitido por el medio, estos desaparecerán hasta alcanzar el valor sostenible del medio.
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==Dinámica de población condicionada por otra especie==
 
==Dinámica de población condicionada por otra especie==
 
===Introducción===
 
===Introducción===
 
Con el objetivo estudiar las interacciones de diversas especies en el medio, asi como su relación con este empleamos el modelo no lineal ;
 
Con el objetivo estudiar las interacciones de diversas especies en el medio, asi como su relación con este empleamos el modelo no lineal ;
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<math> \left\{\begin{matrix}
 
<math> \left\{\begin{matrix}
 
x'=a1x+b1x^2+c1xy\\y'=a2y+b2y^2+c2xy
 
x'=a1x+b1x^2+c1xy\\y'=a2y+b2y^2+c2xy
 
\end{matrix}\right. </math>
 
\end{matrix}\right. </math>
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Dicho sistema modeliza lo que conocemos como los distintos modelos de competencia (neutralismo, simbiosis o cooperación, competición, parasitismo, comensalismo, amesalismo).
 
Dicho sistema modeliza lo que conocemos como los distintos modelos de competencia (neutralismo, simbiosis o cooperación, competición, parasitismo, comensalismo, amesalismo).
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Basándonos en dicho modelo y aplicando los distintos métodos numéricos de resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias nos dispondremos  a llevar a cabo un estudio de diversos aspectos propios de cada especie estudiada, su interacción con otras y su relación con el medio.
 
Basándonos en dicho modelo y aplicando los distintos métodos numéricos de resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias nos dispondremos  a llevar a cabo un estudio de diversos aspectos propios de cada especie estudiada, su interacción con otras y su relación con el medio.
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Analizando los resultados obtenidos y apoyándonos en sus representaciones gráficas seremos capaces de deducir cada uno de los modelos de competencia, los extremos poblacionales de cada comunidad, sus tendencias futuras respecto a su supervivencia…
 
Analizando los resultados obtenidos y apoyándonos en sus representaciones gráficas seremos capaces de deducir cada uno de los modelos de competencia, los extremos poblacionales de cada comunidad, sus tendencias futuras respecto a su supervivencia…
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Otro aspecto de gran relevancia es la posibilidad, mediante los grafos de las funciones programadas e  interpretación de parámetros, de conocer como influyen una especies sobre otras centrándonos en mayor medida en sus crecimientos.
 
Otro aspecto de gran relevancia es la posibilidad, mediante los grafos de las funciones programadas e  interpretación de parámetros, de conocer como influyen una especies sobre otras centrándonos en mayor medida en sus crecimientos.
 
Esta información nos permite, con una vista más global, poder conocer los caracteres de cada ecosistema siendo de especial importancia el análisis de su estabilidad.
 
Esta información nos permite, con una vista más global, poder conocer los caracteres de cada ecosistema siendo de especial importancia el análisis de su estabilidad.
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===Resolución numérica===
 
===Resolución numérica===
 +
 +
====Euler====
 +
 +
{{matlab|codigo=
 +
% x' = a1*x+b1*x^2+c1*x*y
 +
% y' = a2*y+b2*y^2+c2*x*y
 +
 +
clear all
 +
clf
 +
 +
% Introduciendo el numero del caso que queremos resolver, el programa nos lo resuelve directamente.
 +
Apartado=1;
 +
 +
% Datos en forma de matriz
 +
Datos=[-0.3 1.15 0 0 0.08 -0.09 150; ...
 +
        0.16 0.25 -0.04 -0.1 0 0 40; ...
 +
        0.16 0.25 -0.04 -0.1 0.015 0.02 20; ...
 +
        1 1 -0.04 -0.1 -0.015 -0.02 20; ...
 +
        1 1 -0.04 -0.1 0 -0.2 10; ...
 +
        1 1 -0.04 -0.1 0 0.2 20];
 +
 +
% Seleccion de los datos segun el caso que queremos resolver.
 +
D=Datos(Apartado,:);
 +
a1=D(1);
 +
a2=D(2);
 +
b1=D(3);
 +
b2=D(4);
 +
c1=D(5);
 +
c2=D(6);
 +
 +
% Discretizacion tiempo
 +
t0=0;
 +
tf=D(7);
 +
 +
% Seleccion de tamaño de paso y creacion de vector tiempo.
 +
Paso=[0.1 0.001];
 +
h=Paso(1); % Cambiando el valor entre 1 y 2 elegimos el paso de tiempo que queremos.
 +
N=(tf-t0)/h;
 +
t=t0:h:tf;
 +
 +
y=zeros(1,N+1);
 +
x=zeros(1,N+1);
 +
x(1)=2;
 +
y(1)=7;
 +
 +
% Resolucion con Euler
 +
 +
for k=1:N
 +
 +
x(k+1)=x(k)+h*(a1*x(k)+b1*x(k)^2+c1*x(k)*y(k));
 +
y(k+1)=y(k)+h*(a2*y(k)+b2*y(k)^2+c2*x(k)*y(k));
 +
 +
end
 +
 +
figure(1)
 +
clf
 +
hold on
 +
plot(t,x,'g');
 +
plot(t,y,'r');
 +
legend('Especie 1', 'Especie 2')
 +
grid minor;
 +
xlabel('Tiempo');
 +
ylabel('Poblacion');
 +
hold off
 +
 +
figure(2)
 +
clf
 +
hold on
 +
plot(x,y);
 +
grid minor;
 +
xlabel('Especie 1');
 +
ylabel('Especie 2');
 +
hold off
 +
 +
}}
 +
 +
 +
====Heun====
 +
 +
{{matlab|codigo=
 +
% x' = a1*x+b1*x^2+c1*x*y
 +
% y' = a2*y+b2*y^2+c2*x*y
 +
 +
clear all
 +
clf
 +
 +
% Introduciendo el numero del caso que queremos resolver, el programa nos lo resuelve directamente.
 +
Apartado=1;
 +
 +
% Datos en forma de matriz
 +
Datos=[-0.3 1.15 0 0 0.08 -0.09 150; ...
 +
        0.16 0.25 -0.04 -0.1 0 0 40; ...
 +
        0.16 0.25 -0.04 -0.1 0.015 0.02 20; ...
 +
        1 1 -0.04 -0.1 -0.015 -0.02 20; ...
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        1 1 -0.04 -0.1 0 -0.2 10; ...
 +
        1 1 -0.04 -0.1 0 0.2 20];
 +
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% Seleccion de los datos segun el caso que queremos resolver.
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D=Datos(Apartado,:);
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a1=D(1);
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a2=D(2);
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b1=D(3);
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b2=D(4);
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c1=D(5);
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c2=D(6);
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 +
% Discretizacion tiempo
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t0=0;
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tf=D(7);
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 +
% Seleccion de tamaño de paso y creacion de vector tiempo.
 +
Paso=[0.1 0.001];
 +
h=Paso(1); % Cambiando el valor entre 1 y 2 elegimos el paso de tiempo que queremos.
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N=(tf-t0)/h;
 +
t=t0:h:tf;
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y=zeros(1,N+1);
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x=zeros(1,N+1);
 +
x(1)=2;
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y(1)=7;
 +
 +
% Resolucion con Heun
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for k=1:N
 +
k1x=a1*x(k)+b1*x(k)^2+c1*x(k)*y(k);
 +
k1y=a2*y(k)+b2*y(k)^2+c2*x(k)*y(k);
 +
k2x=a1*(x(k)+h*k1x)+b1*(x(k)+h*k1x)^2+c1*(x(k)+h*k1x)*(y(k)+h*k1y); % (x(k)+h*k1x)
 +
k2y=a2*(y(k)+h*k1y)+b2*(y(k)+h*k1y)^2+c2*(x(k)+h*k1x)*(y(k)+h*k1y); % (y(k)+h*k1y)
 +
x(k+1)=x(k)+0.5*h*(k1x+k2x);
 +
y(k+1)=y(k)+0.5*h*(k1y+k2y);
 +
 +
end
 +
 +
figure(1)
 +
clf
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hold on
 +
plot(t,x,'g');
 +
plot(t,y,'r');
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legend('Especie 1', 'Especie 2')
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grid minor;
 +
xlabel('Tiempo');
 +
ylabel('Poblacion');
 +
hold off
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figure(2)
 +
clf
 +
hold on
 +
plot(x,y);
 +
grid minor;
 +
xlabel('Especie 1');
 +
ylabel('Especie 2');
 +
hold off
 +
 +
}}
 +
 
===Casos Particulares===
 
===Casos Particulares===
 
====Parasitismo====
 
====Parasitismo====
−
[[Archivo:Caso1.jpg|500px|thumb|left|figure2]] [[Archivo:Caso1inestable.jpg|500px|thumb|centre|Zoom figure2]]
+
[[Archivo:Caso1.jpg|500px|thumb|left|Parasitismo Heun]] [[Archivo:Caso1inestable.jpg|500px|thumb|centre|Parasitismo Euler]]
  
  
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Podemos observar que en este primer caso los parametros b1 y b2 son iguales a 0, con lo que nos queda este sistema de ecuaciones:
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<math> \left\{\begin{matrix}
 +
x'=a1x+c1xy\\y'=a2y+c2xy
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\end{matrix}\right. </math>
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                                                                (Con c1 positivo y c2 negativo)
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Este es el sistema de ecuaciones del modelo depredador-presa de Lotka-Volterra, por lo que podemos deducir que el modelo de competencia que representa es el parasitismo. También podíamos haberlo deducido observando el crecimiento de las poblaciones en la gráfica, o fijandonos en que los coeficientes c1 y c2 son uno positivo y otro negativo (una especie vive a expensas de la otra (huesped) a la cual produce perjuicios).
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 +
Como podemos ver en la gráfica, el método de Euler es inestable para este sistema de ecuaciones, es necesario utilizar Heun para obtener la gráfica.
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Se observa que ninguna especie tiende a desaparecer ni a estabilizarse, las especies 1 y 2 oscilan en los intervalos [2,42] y [0,26] respectivamente.
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Aunque en la gráfica parezca que la especie 2 llega a 0 individuos, esto provocaría la desaparicion de la especie. Teniendo en cuenta que medimos las problaciones en millones de habitantes, lo que a simple vista parece 0 ronda los 30.000 individuos.
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Debido al signo de los coeficientes (c1 positivo y c2 negativo), sabemos que la segunda especie influye positivamente sobre la primera, mientras que la primera influye negativamente sobre la segunda.
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[[Archivo:Caso1xy.jpg|500px|thumb|centro|Parasitismo Heun. Relación Especie 1- Especie 2]]
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 +
Si entendemos la estabilidad de un ecosistema como la tendencia a estabilizar sus poblaciones conforme aumenta el tiempo, al comparar en un gráfico ambas especies observamos que ninguna de ellas se estabiliza porque el comportamiento de ambas es cíclico, así que podemos afirmar que se trata de un ecosistema inestable.
  
 
====Neutralismo====
 
====Neutralismo====
−
[[Archivo:Caso2.jpg]]
+
 
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[[Archivo:Caso2.jpg|500px|thumb|left|Neutralismo Heun]] [[Archivo:Caso2xy.jpg|500px|thumb|centre|Neutralismo Heun. Relación Especie 1- Especie 2]]
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 +
Por el método de Euler no da ningún problema de inestabilidad , se asemeja bastante a la gráfica definida por Heun.
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Si intentamos dar una interpretación mirando la gráfica puede haber ambigüedad y es dificil llegar a una solución certera. A simple vista podríamos interpretar que la especie 1 debido a su crecimiento influencia negativamente en el crecimiento de la otra población y llegaríamos a la conclusión de que es amensalismo.
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Para llegar a una conclusión mas acertada hay que estudiar las restricciones que se ponen en este apartado:
 +
Si nos fijamos en el modelo de competencia y sus restricciones en los coeficientes c1 y c2 , ambos tienen un valor nulo. Esto se interpreta en que ambas especies no se influencian entre si y cada una tendría un crecimiento independiente(neutralismo). Por lo tanto no desaparece ninguna de las especies y ambas se estabilizan en el tiempo .
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 +
En el caso de la especie 1, a partir de t(32) la población es constate y máxima de (4)
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Y para la especie 2 desde t(21) en adelante la población es constante y mínima de (2.5)
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Por tanto podemos afirmar que es un ecosistema estable.
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====Simbiosis====
 
====Simbiosis====
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[[Archivo:Caso3.jpg]]
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[[Archivo:Caso3.jpg|500px|thumb|left|Simbiosis Heun]] [[Archivo:Caso3b.jpg|500px|thumb|centre|Simbiosis Heun. Gráfica ampliada]]
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 +
En este caso tampoco tenemos ningun problema de inestabilidad al utilizar el método de Euler, se obtiene la misma gráfica que utilizando Heun.
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De nuevo al interpretar este caso observando la gráfica no queda claro de que modelo de competencia se trata.
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 +
Si nos fijamos otra vez en los coeficientes c1 y c2 nos damos cuenta de que ambos son positivos (ambas especies se benefician mutuamente), con lo que ahora vemos mucho mas clara la situación.
 +
Se trata de una simbiosis entre 2 especies en la que inicialmente una tiende a crecer y otra a decrecer. El aumento de la especie 1 provoca un pequeño aumento final en la población de la especie 2.
 +
 
 +
Si observamos la gráfica que llega hasta t=50, se puede ver que no desaparece ninguna de las especies y que ambas se estabilizan en el tiempo .
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En el caso de la especie 1 se estabiliza alrededor de x=5.3, y en el de la especie 2 se estabiliza en torno a y=3,6.
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En este caso también podemos afirmar que se trata de un ecosistema estable, que se estabiliza con el tiempo.
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[[Archivo:Caso3xy.jpg|500px|thumb|centro|Simbiosis Heun. Relación Especie 1- Especie 2]]
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Esta gráfica muestra como la especie 2 que tiende a descender desde un principio, se beneficia ligeramente del crecimiento de la especie 1
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====Competición====
 
====Competición====
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[[Archivo:Caso4.jpg]]
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[[Archivo:Caso4.jpg|500px|thumb|left|Competición Heun]] [[Archivo:Caso4xy.jpg|500px|thumb|centre|Competición Heun. Relación Especie 1- Especie 2]]
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Puede observarse mediante la resolución numérica que el método de Euler sale prácticamente igual y sin grandes diferencias con respecto al método de Heun.
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Observando las gráficas vemos como en el inicio es complicado predecir un modelo, ya que ambas especies parecen salir beneficiadas. Sin embargo, pasado un tiempo se observa con claridad como la especie 1 tiende a expandirse, mientras que la segunda especie comienza a caer. Esto se traduce en un caso de competición entre especies, en la cual la una tiende a eliminar a la otra.
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Este modelo se hace patente mediantes los coeficientes c1 y c2, ambos negativos, lo que quiere decirnos que ambas especies se perjudican la una a la otra.
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 +
Si observamos la gráfica podemos ver como llegan a un cierto equilibrio con el paso del tiempo ya que tienden a estabilizarse y ninguna especie desaparece por completo.
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====Amensalismo====
 
====Amensalismo====
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[[Archivo:Caso5.jpg]]
+
 
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[[Archivo:Caso5.jpg|500px|thumb|left|Amensalismo Heun]] [[Archivo:Caso5xy.jpg|500px|thumb|centre|Amensalismo Heun. Relación Especie 1- Especie 2]]
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En este caso no existe ningún problema con el método de Euler, debido a que sale la misma gráfica que si usamos el método de Heun.
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Observando la gráfica obtenida puede parecer que es un caso de competición, ya que al tiempo que la especie 1 crece, la especie 2 tiende a desaparecer.
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 +
Pero al fijarnos en los valores de los coeficientes c1=0 y c2=-0.2 nos damos cuenta de que una especie afecta negativamente al crecimiento de la otra sin estar influenciada por ella.
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 +
Esto supone que existe una especie inhibidora (especie 1) que produce efectos negativos en la especie amensal (especie 2) sin obtener ningún beneficio.
 +
La especie 1 a partir de t(8) tiende a estabilizarse, con población constante, alcanzando un máximo (25); mientras la especie 2 a partir de t(4) desaparece.
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====Comensalismo====
 
====Comensalismo====
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[[Archivo:Caso6.jpg]]
 
  
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[[Archivo:Caso6.jpg|500px|thumb|left|Comensalismo Heun]] [[Archivo:Caso6xy.jpg|500px|thumb|centre|Comensalismo Heun. Relación Especie 1- Especie 2]]
  
  
  
 +
Al igual que en la mayoría de casos previos, el método de Euler presenta un error muy similar al de Heun siendo los resultados gráficos y numéricos prácticamente iguales.
  
 +
En la última gráfica a analizar interpretamos la solución como un claro ejemplo de comensalismo en el que el crecimiento de una de las especies se ve potenciado por el de la otra mientras que el de el de esta no se altera por el de la primera.
  
 +
A priori no seriamos capaces de identificar en la gráfica la especie que fundamenta su crecimiento en la otra, mas estudiando los coeficientes de la ecuación nos damos cuenta que es la especie 2 la que se beneficia del crecimiento de la especie 1 (c1=0 y c2=0.2).
  
 +
Entendiendo la estabilidad del medio como la mínima o nula variación de las poblaciones a lo largo del tiempo, este ultimo analizado se podría considerar como tal, puesto que una vez que las poblaciones estabilizan su crecimiento de la fase inicial mantienen el número de individuos fijos alcanzándose de esta manera el equilibrio en el medio. 
  
  
Línea 194: Línea 444:
  
  
−
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]  
+
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]  
 
[[Categoría:ED14/15]]
 
[[Categoría:ED14/15]]
 
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
 
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Revisión actual del 23:14 12 mar 2015

Trabajo realizado por estudiantes
Título Logística con umbral. Grupo 24-C
Asignatura Ecuaciones Diferenciales
Curso Curso 2014-15
Autores

Jose Antonio Martinez Montalvo 1494 Jorge Sempere Ruíz 4 Isaac Rebollo Palos 1522 Marta Orellana Jimenez 309 Rodrigo Bellot Rodriguez 1270

Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Objetivos y metodología

El objetivo del trabajo es el estudio de dos problemas poblacionales independientes.

En el primero de ellos trataremos la resolución de una ecuación logística clásica que modeliza una especie de individuos y su dependencia con el medio, lo que se traduce en un problema de valor inicial. Trataremos de resolverlo mediante distintos metodos numericos (Euler, Heun y Runge-Kutta) a la vez que le daremos un sentido tanto numérico como poblacional.

En el segundo analizaremos la evolución de dos especies que ocupan un mismo ecosistema, que actuaran como competidores en el uso de los recursos. Esta situacion sera la equivalente a un sistema de ecuaciones no lineal denominado modelo de competencia y para distintos valores de sus constantes analizaremos el tipo de relacion entre las especies (neutralismo, parasitismo...) asi como algunas propiedades que se pueden derivar de la misma.

2 Dinámica de población dependiente del medio

2.1 Introducción

Considerando el problema del valor inicial; [math] \left\{\begin{matrix} y'=-ry(1-\frac{y}{M1})(1-\frac{y}{M2})\\y=y0 \end{matrix}\right. [/math] nos dispondremos a desarrollar y exponer la resolución del problema, la interpretción de los resultados obtenidos, complementando todo esto con sus gráficas correspondientes para facilitar su entendimiento.

2.2 Resolución

Para la resolución general utilizaremos un numero de individuos iniciales igual a 60 (y0=60).

Resolución de la ecuación diferencial utilizando los métodos de Euler, Heun y RK4


% f(t,y)= -r*yy*(1-yy/m1)*(1-yy/m2)

clf

% Datos
r=0.04;
m1=30;
m2=100;
y0=60;

% Discretizacion tiempo
t0=0;
tf=100;
Paso=[1 0.1 0.01];
h=Paso(1); 
% Cambiando entre 1,2 y 3 elegimos el paso de tiempo que queremos.
% Cuidado que con 0,01 es probable que se cuelgue el ordenador.
N=(tf-t0)/h;
t=t0:h:tf;

% Vector Euler
y=zeros(N+1);
yy=y0;
y(1)=yy;

% Vector Heun
he=zeros(N+1);
hh=y0;
he(1)=hh;

% Vector RK4
rk=zeros(N+1);
rr=y0;
rk(1)=rr;

for k=1:N
% Euler
yy=yy+h*(-r*yy*(1-yy/m1)*(1-yy/m2));
y(k+1)=yy;
% Heun
k1=-r*hh*(1-hh/m1)*(1-hh/m2);
k2=-r*(hh+k1*h)*(1-(hh+k1*h)/m1)*(1-(hh+k1*h)/m2);
hh=hh+0.5*h*(k1+k2);
he(k+1)=hh;
% RK4
% Calculamos k1=f(tn,yn) 
k1=-r*rr*(1-rr/m1)*(1-rr/m2);
% Calculamos k2=f(tn+h/2,yn+1/2*h*k1) % Cambiar yy por (yy+0.5*h*k1)
k2=-r*(rr+1/2*h*k1)*(1-(rr+1/2*h*k1)/m1)*(1-(rr+1/2*h*k1)/m2); % Poniendo "(yy+1/2*h*k1)" en vez de yy
% Calculamos k3=f(tn+h/2,yn+1/2*h*k2) % Cambiar yy por (yy+0.5*h*k2)
k3=-r*(rr+1/2*h*k2)*(1-(rr+1/2*h*k2)/m1)*(1-(rr+1/2*h*k2)/m2); % Poniendo "(yy+1/2*h*k2)" en vez de yy
% Calculamos k4=f(tn+h,yn+h*k3) % Cambiar yy por (yy+h*k3)
k4=-r*(rr+h*k3)*(1-(rr+h*k3)/m1)*(1-(rr+h*k3)/m2); % Poniendo "(yy+h*k3)" en vez de yy
% Meto los datos en el vector
rr=rr+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);
rk(k+1)=rr;
end

hold on

plot(t,y);
plot(t,he,'r');
plot(t,rk,'g');
legend('Euler','Heun','RK4')

grid minor;
xlabel('Tiempo');
ylabel('Poblacion R');


2.3 Interpretación

2.3.1 General

2.3.1.1 Numérica

Todos los métodos dividen el dominio del tiempo en pequeños segmentos h= ∆t y aproximan la solución de la función para el extremo de cada segmento. Al hacer esto surgen tres posibles problemas: la obtención del comienzo de integración, la velocidad de cálculo y los errores generados.

La solución de las Ecuaciones diferenciales por medio de métodos numéricos involucra varios tipos de errores: 

-Error del Método: por la aproximación de una curva mediante una línea recta.

-Local: Es la diferencia que se produce entre el valor real de la función y el aproximado mediante la recta tangente.

-Propagado: Acumulación de errores por las aproximaciones.

-Redondeo/Truncamiento: Resultado del número límite de cifras significativas que puede retener una computadora.

Analizando los tres casos empleados en los cálculos;

El método de Euler se encarga de aproximar la curva y=F(x) por medio de una serie de segmentos en recta.

Debido a que la aproximación de una curva por medio de una línea recta no es exacta, se comete un error derivado del método que se puede disminuir reduciendo el valor de h, pero se obtendrá un mayor número de cálculos y, por consiguiente, un error de redondeo mucho más alto.

Otra fuente fundamental de error en el método de Euler se debe a que la derivada al principio del intervalo se aplica a través del intervalo entero.

Existe una sencilla modificación que ayudan a evitar este inconveniente dando lugar al método de Heun.

La mejora del método consiste en la aproximación a la pendiente mediante la aplicación de dos derivadas del intervalo, una en el punto inicial y otra en el final. La aproximación mejorada de la pendiente será el promedio de las dos derivadas.

Los métodos más sencillos como el de Euler o las mejoras de este procedimiento, tienen dos defectos esenciales: la pequeña precisión del cálculo y el crecimiento sitemático de los errores.

El procedimiento de Runge-Kutta es el que mayor precisión presenta debido a la su exactitud relativamente elevada de la solución aproximada de la ecuación diferencial.

Todo lo expuesto anteriormente queda corroborado en la gráfica adjuntada, donde puede observarse la variaciones de precisión entre los distintos métodos en la representación de las distintas soluciones.

Zoom de la gráfica para observar la diferencia entre los distintos metodos numéricos

Sin embargo, esta no es más que una ampliación de la gráfica dispuesta al inicio del trabajo, en la cual se puede comprobar que, en el caso de que la exigencia en la precisión de los cálculos no sea notoria, cualquiera de los métodos empleados, a grandes rasgos, darán resultados muy similares.

2.3.1.2 Poblacional

En términos de dinámica de poblaciones la ecuación diferencial modeliza una población limitada en 100 individuos, condicionada por distintos factores del medio siendo el más limitativo del crecimiento poblacional la falta de recursos en el ecosistema donde se estudia la población. En el estudio desarrollado a continuación se parte de la base de que con poblaciones inferiores a cierto valor (30 en nuestro caso) estas serán incapaces de adaptarse al medio y prosperar, decreciendo la población de forma continuada hasta la desaparición total de esta.

Interpretamos, en función de los valores dados, que a partir de 30 componentes estas agrupaciones son capaces de diversificar las funciones desarrolladas en el grupo siendo suficientes para que estas permitan el desarrollo del grupo. En el caso limite, consideraríamos que de la totalidad de los individuos se repartiría en funciones esenciales, como la obtención de alimento y la defensa del grupo, lo que permitiría un crecimiento poblacional moderado. Sin embargo, para comunidades mayores la diversificación de tareas, o bien, desarrollándose las mismas de forma más eficiente o pudiendo llegar a surgir otras, y mientras el factor limitativo de los recursos del medio lo permita, el crecimiento será superior al de poblaciones menores en los valores iniciales .

Lo expuesto previamente se cumple hasta valores muy cercanos al límite de individuos en ese espacio, no obstante, en zonas cercanas al valor máximo de individuos de este estudio la pendiente en el crecimiento se ve disminuida dando lugar a un crecimiento más lento de los experimentados previamente. Pudiera interpretarse como que, dado que los recursos empiezan a ser insuficientes, la competencia por ellos se verá incrementada dificultando en mayor medida el desarrollo del censo poblacional.

2.3.2 Casos Particulares

Para un número inicial de individuos igual a 20

Desarrollo de la especie con una poblacion inicial de 20 individuos

Acorde con lo ya explicado, al no superar el número límite de individuos que permitan el desarrollo de la población,esta decrecerá hasta extinguirse.


Para un número inicial de individuos igual a 120

Desarrollo de la especie con una poblacion inicial de 120 individuos

Como ya expusimos, al superar el número de individuos de la población el máximo permitido por el medio, estos desaparecerán hasta alcanzar el valor sostenible del medio.

3 Dinámica de población condicionada por otra especie

3.1 Introducción

Con el objetivo estudiar las interacciones de diversas especies en el medio, asi como su relación con este empleamos el modelo no lineal ;


[math] \left\{\begin{matrix} x'=a1x+b1x^2+c1xy\\y'=a2y+b2y^2+c2xy \end{matrix}\right. [/math]


Dicho sistema modeliza lo que conocemos como los distintos modelos de competencia (neutralismo, simbiosis o cooperación, competición, parasitismo, comensalismo, amesalismo).

Basándonos en dicho modelo y aplicando los distintos métodos numéricos de resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias nos dispondremos a llevar a cabo un estudio de diversos aspectos propios de cada especie estudiada, su interacción con otras y su relación con el medio.

Analizando los resultados obtenidos y apoyándonos en sus representaciones gráficas seremos capaces de deducir cada uno de los modelos de competencia, los extremos poblacionales de cada comunidad, sus tendencias futuras respecto a su supervivencia…

Otro aspecto de gran relevancia es la posibilidad, mediante los grafos de las funciones programadas e interpretación de parámetros, de conocer como influyen una especies sobre otras centrándonos en mayor medida en sus crecimientos. Esta información nos permite, con una vista más global, poder conocer los caracteres de cada ecosistema siendo de especial importancia el análisis de su estabilidad.


3.2 Resolución numérica

3.2.1 Euler

% x' = a1*x+b1*x^2+c1*x*y
% y' = a2*y+b2*y^2+c2*x*y

clear all
clf

% Introduciendo el numero del caso que queremos resolver, el programa nos lo resuelve directamente.
Apartado=1; 

% Datos en forma de matriz
Datos=[-0.3 1.15 0 0 0.08 -0.09 150; ...
        0.16 0.25 -0.04 -0.1 0 0 40; ...
        0.16 0.25 -0.04 -0.1 0.015 0.02 20; ...
        1 1 -0.04 -0.1 -0.015 -0.02 20; ...
        1 1 -0.04 -0.1 0 -0.2 10; ...
        1 1 -0.04 -0.1 0 0.2 20];

% Seleccion de los datos segun el caso que queremos resolver.
D=Datos(Apartado,:); 
a1=D(1);
a2=D(2);
b1=D(3);
b2=D(4);
c1=D(5);
c2=D(6);

% Discretizacion tiempo
t0=0;
tf=D(7);

% Seleccion de tamaño de paso y creacion de vector tiempo.
Paso=[0.1 0.001];
h=Paso(1); % Cambiando el valor entre 1 y 2 elegimos el paso de tiempo que queremos.
N=(tf-t0)/h;
t=t0:h:tf;

y=zeros(1,N+1);
x=zeros(1,N+1);
x(1)=2;
y(1)=7;

% Resolucion con Euler

for k=1:N

x(k+1)=x(k)+h*(a1*x(k)+b1*x(k)^2+c1*x(k)*y(k));
y(k+1)=y(k)+h*(a2*y(k)+b2*y(k)^2+c2*x(k)*y(k));

end

figure(1)
clf
hold on
plot(t,x,'g');
plot(t,y,'r');
legend('Especie 1', 'Especie 2')
grid minor;
xlabel('Tiempo');
ylabel('Poblacion');
hold off

figure(2)
clf
hold on
plot(x,y);
grid minor;
xlabel('Especie 1');
ylabel('Especie 2');
hold off


3.2.2 Heun

% x' = a1*x+b1*x^2+c1*x*y
% y' = a2*y+b2*y^2+c2*x*y

clear all
clf

% Introduciendo el numero del caso que queremos resolver, el programa nos lo resuelve directamente.
Apartado=1; 

% Datos en forma de matriz
Datos=[-0.3 1.15 0 0 0.08 -0.09 150; ...
        0.16 0.25 -0.04 -0.1 0 0 40; ...
        0.16 0.25 -0.04 -0.1 0.015 0.02 20; ...
        1 1 -0.04 -0.1 -0.015 -0.02 20; ...
        1 1 -0.04 -0.1 0 -0.2 10; ...
        1 1 -0.04 -0.1 0 0.2 20];

% Seleccion de los datos segun el caso que queremos resolver.
D=Datos(Apartado,:); 
a1=D(1);
a2=D(2);
b1=D(3);
b2=D(4);
c1=D(5);
c2=D(6);

% Discretizacion tiempo
t0=0;
tf=D(7);

% Seleccion de tamaño de paso y creacion de vector tiempo.
Paso=[0.1 0.001];
h=Paso(1); % Cambiando el valor entre 1 y 2 elegimos el paso de tiempo que queremos.
N=(tf-t0)/h;
t=t0:h:tf;

y=zeros(1,N+1);
x=zeros(1,N+1);
x(1)=2;
y(1)=7;

% Resolucion con Heun
for k=1:N
k1x=a1*x(k)+b1*x(k)^2+c1*x(k)*y(k);
k1y=a2*y(k)+b2*y(k)^2+c2*x(k)*y(k);
k2x=a1*(x(k)+h*k1x)+b1*(x(k)+h*k1x)^2+c1*(x(k)+h*k1x)*(y(k)+h*k1y); % (x(k)+h*k1x)
k2y=a2*(y(k)+h*k1y)+b2*(y(k)+h*k1y)^2+c2*(x(k)+h*k1x)*(y(k)+h*k1y); % (y(k)+h*k1y)
x(k+1)=x(k)+0.5*h*(k1x+k2x);
y(k+1)=y(k)+0.5*h*(k1y+k2y);

end

figure(1)
clf
hold on
plot(t,x,'g');
plot(t,y,'r');
legend('Especie 1', 'Especie 2')
grid minor;
xlabel('Tiempo');
ylabel('Poblacion');
hold off

figure(2)
clf
hold on
plot(x,y);
grid minor;
xlabel('Especie 1');
ylabel('Especie 2');
hold off


3.3 Casos Particulares

3.3.1 Parasitismo

Parasitismo Heun
Parasitismo Euler


Podemos observar que en este primer caso los parametros b1 y b2 son iguales a 0, con lo que nos queda este sistema de ecuaciones:

[math] \left\{\begin{matrix} x'=a1x+c1xy\\y'=a2y+c2xy \end{matrix}\right. [/math] 

                                                               (Con c1 positivo y c2 negativo)

Este es el sistema de ecuaciones del modelo depredador-presa de Lotka-Volterra, por lo que podemos deducir que el modelo de competencia que representa es el parasitismo. También podíamos haberlo deducido observando el crecimiento de las poblaciones en la gráfica, o fijandonos en que los coeficientes c1 y c2 son uno positivo y otro negativo (una especie vive a expensas de la otra (huesped) a la cual produce perjuicios).

Como podemos ver en la gráfica, el método de Euler es inestable para este sistema de ecuaciones, es necesario utilizar Heun para obtener la gráfica.

Se observa que ninguna especie tiende a desaparecer ni a estabilizarse, las especies 1 y 2 oscilan en los intervalos [2,42] y [0,26] respectivamente. Aunque en la gráfica parezca que la especie 2 llega a 0 individuos, esto provocaría la desaparicion de la especie. Teniendo en cuenta que medimos las problaciones en millones de habitantes, lo que a simple vista parece 0 ronda los 30.000 individuos.

Debido al signo de los coeficientes (c1 positivo y c2 negativo), sabemos que la segunda especie influye positivamente sobre la primera, mientras que la primera influye negativamente sobre la segunda.

Parasitismo Heun. Relación Especie 1- Especie 2


Si entendemos la estabilidad de un ecosistema como la tendencia a estabilizar sus poblaciones conforme aumenta el tiempo, al comparar en un gráfico ambas especies observamos que ninguna de ellas se estabiliza porque el comportamiento de ambas es cíclico, así que podemos afirmar que se trata de un ecosistema inestable.

3.3.2 Neutralismo

Neutralismo Heun
Neutralismo Heun. Relación Especie 1- Especie 2


Por el método de Euler no da ningún problema de inestabilidad , se asemeja bastante a la gráfica definida por Heun.

Si intentamos dar una interpretación mirando la gráfica puede haber ambigüedad y es dificil llegar a una solución certera. A simple vista podríamos interpretar que la especie 1 debido a su crecimiento influencia negativamente en el crecimiento de la otra población y llegaríamos a la conclusión de que es amensalismo.

Para llegar a una conclusión mas acertada hay que estudiar las restricciones que se ponen en este apartado: Si nos fijamos en el modelo de competencia y sus restricciones en los coeficientes c1 y c2 , ambos tienen un valor nulo. Esto se interpreta en que ambas especies no se influencian entre si y cada una tendría un crecimiento independiente(neutralismo). Por lo tanto no desaparece ninguna de las especies y ambas se estabilizan en el tiempo .

En el caso de la especie 1, a partir de t(32) la población es constate y máxima de (4)

Y para la especie 2 desde t(21) en adelante la población es constante y mínima de (2.5)

Por tanto podemos afirmar que es un ecosistema estable.


3.3.3 Simbiosis

Simbiosis Heun
Simbiosis Heun. Gráfica ampliada


En este caso tampoco tenemos ningun problema de inestabilidad al utilizar el método de Euler, se obtiene la misma gráfica que utilizando Heun. De nuevo al interpretar este caso observando la gráfica no queda claro de que modelo de competencia se trata.

Si nos fijamos otra vez en los coeficientes c1 y c2 nos damos cuenta de que ambos son positivos (ambas especies se benefician mutuamente), con lo que ahora vemos mucho mas clara la situación. Se trata de una simbiosis entre 2 especies en la que inicialmente una tiende a crecer y otra a decrecer. El aumento de la especie 1 provoca un pequeño aumento final en la población de la especie 2.

Si observamos la gráfica que llega hasta t=50, se puede ver que no desaparece ninguna de las especies y que ambas se estabilizan en el tiempo . En el caso de la especie 1 se estabiliza alrededor de x=5.3, y en el de la especie 2 se estabiliza en torno a y=3,6.

En este caso también podemos afirmar que se trata de un ecosistema estable, que se estabiliza con el tiempo.


Simbiosis Heun. Relación Especie 1- Especie 2

Esta gráfica muestra como la especie 2 que tiende a descender desde un principio, se beneficia ligeramente del crecimiento de la especie 1


3.3.4 Competición

Competición Heun
Competición Heun. Relación Especie 1- Especie 2


Puede observarse mediante la resolución numérica que el método de Euler sale prácticamente igual y sin grandes diferencias con respecto al método de Heun.

Observando las gráficas vemos como en el inicio es complicado predecir un modelo, ya que ambas especies parecen salir beneficiadas. Sin embargo, pasado un tiempo se observa con claridad como la especie 1 tiende a expandirse, mientras que la segunda especie comienza a caer. Esto se traduce en un caso de competición entre especies, en la cual la una tiende a eliminar a la otra. Este modelo se hace patente mediantes los coeficientes c1 y c2, ambos negativos, lo que quiere decirnos que ambas especies se perjudican la una a la otra.

Si observamos la gráfica podemos ver como llegan a un cierto equilibrio con el paso del tiempo ya que tienden a estabilizarse y ninguna especie desaparece por completo.

3.3.5 Amensalismo

Amensalismo Heun
Amensalismo Heun. Relación Especie 1- Especie 2


En este caso no existe ningún problema con el método de Euler, debido a que sale la misma gráfica que si usamos el método de Heun.

Observando la gráfica obtenida puede parecer que es un caso de competición, ya que al tiempo que la especie 1 crece, la especie 2 tiende a desaparecer.

Pero al fijarnos en los valores de los coeficientes c1=0 y c2=-0.2 nos damos cuenta de que una especie afecta negativamente al crecimiento de la otra sin estar influenciada por ella.

Esto supone que existe una especie inhibidora (especie 1) que produce efectos negativos en la especie amensal (especie 2) sin obtener ningún beneficio. La especie 1 a partir de t(8) tiende a estabilizarse, con población constante, alcanzando un máximo (25); mientras la especie 2 a partir de t(4) desaparece.

3.3.6 Comensalismo

Comensalismo Heun
Comensalismo Heun. Relación Especie 1- Especie 2


Al igual que en la mayoría de casos previos, el método de Euler presenta un error muy similar al de Heun siendo los resultados gráficos y numéricos prácticamente iguales.

En la última gráfica a analizar interpretamos la solución como un claro ejemplo de comensalismo en el que el crecimiento de una de las especies se ve potenciado por el de la otra mientras que el de el de esta no se altera por el de la primera.

A priori no seriamos capaces de identificar en la gráfica la especie que fundamenta su crecimiento en la otra, mas estudiando los coeficientes de la ecuación nos damos cuenta que es la especie 2 la que se beneficia del crecimiento de la especie 1 (c1=0 y c2=0.2).

Entendiendo la estabilidad del medio como la mínima o nula variación de las poblaciones a lo largo del tiempo, este ultimo analizado se podría considerar como tal, puesto que una vez que las poblaciones estabilizan su crecimiento de la fase inicial mantienen el número de individuos fijos alcanzándose de esta manera el equilibrio en el medio.

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