Diferencia entre revisiones de «Desintegración Radioactiva (G.2A)»

Revisión actual del 21:58 6 mar 2015

EMPLEO DE MÉTODOS NUMÉRICOS PARA LA OBTENCIÓN DE EDADES SEGÚN LA CANTIDAD DE CARBONO 14 EN UNA MUESTRA DADA.

Se conoce la propensión de algunos compuestos e isótopos a transformarse en otros mas estables con el paso del tiempo, como es el caso de Carbono 14, objeto de este trabajo. Partiendo de una concentración inicial de dicho isotopo con cierto grado de inestabilidad, sabemos entonces que se producirá una perdida de cantidad del material con el paso del tiempo, llegando un punto en el que el material se haya convertido en su totalidad en compuestos mas estables.

El Carbono14 es un isótopo presente en estado de desintegración en muestras arqueológicas, y es comúnmente utilizado para, en función del grado de disociación en el que se encuentre, fechar la muestra que lo porta.

De esta manera, sabiendo que M(t) representa la cantidad en función del tiempo, expresaremos la velocidad de desintegración como la derivada con respecto a [math]t[/math] de dicha función; [math]\frac{\operatorname dM(t)}{\operatorname dt} = M'(t) [/math] y la expresaremos como [math]M'(t) = -k M(t)[/math] donde [math]k=1,24×10^(-4)[/math] es la constante de desintegración característica del Carbono 14.

Un isótopo de C14 convirtiéndose en otro más estable

1 Datación de Muestras Arqueológicas

Habiéndose realizado la prueba del Carbono 14 en una muestra, se obtiene que ésta posee una concentración M de este elemento del 8% del total que es natural en un ser vivo, habiendose desintegrado por lo tanto un 92% de la cantidad de Carbono 14 original. Conocida la concentración del isotopo presente en la muestra, se procede a calcular su edad (el tiempo que ha tardado en desintegrarse el 92% del contenido de C14). Para ello se utiliza la ecuación diferencial ya expresada y se resuelve mediante el método numérico de Euler.

gráfica de la desintegración con paso h=0.1 (método de Euler)

gráfica de la desintegración con paso h=0.01 (método de Euler)

clear all
%Datos iniciales del problema
y0=0.08;
h=input('Introducir tamaño del paso: ');
h=-h;
t0=0;
i=1;
y(1)=y0;
t(1)=t0;
k=1.24*10^-4;
%Bucle generación 
%vector 't' y método Euler
while y(i)<1
   tN=t0+i*h;
   t=t0:h:tN;
   y(i+1)=y(i)+h*(-k*y(i));
   i=i+1;
end
   a=length(y);
  
   y(a)
   z=t(a-1);
   z=-z
   plot(t,y,'r')
   legend('Cantidad de C14 (Método de 
   Euler)','Location','Best')

Tras ejecutar nuestro programa observamos que el carbono 14 ha llegado al 8% tras un periodo de 20.369 años. Esto queda reflejado en la gráfica adjunta.

Cronograma de la Prehistoria

El punto azul orienta sobre la situación en que se ha fechado la muestra

Para estudiar la estabilidad del problema, se tomó un valor inicial próximo al dado y se volvió a ejecutar el mismo programa. El hecho de que el resultado no variara prácticamente nos garantiza que no habrá una amplificación del error y, apoyándonos en estos resultados, podemos afirmar que el problema dado es estable.

2 Previsión de desintegración de Carbono 14

Con la ecuación diferencial ya comentada, no solo se puede calcular la antiguedad de una muestra, sino que también permite hacer una estimación de cuando se llegará a un nivel de Carbono 14 concreto. El próximo cálculo realizado determinará cuanto tiempo tarda la muestra de Carbono 14 restante (8%) en reducirse hasta el 8% (es decir, el 0,64% del total). Para ello se utiliza el método del trapecio (Método implícito).

Gráfica expresando la desintegración desde el 8% a su 8% (0,64%)

clear all
%Datos iniciales del problema
y0=0.08;
h=input('Introducir tamaño del paso: ');
t0=0;
i=1;
y(1)=y0;
t(1)=t0;
k=1.24*10^-4;
%Bucle generación vector 't' y método trapecio
while y(i)>0.0064
   tN=t0+i*h;
   t=t0:h:tN;
   y(i+1)=(y(i)-(h/2)*k*y(i))/(1+(h/2)*k);
%Expresión obtenida de despejar y sub(n+1)
% de la fórmula del método del trapecio
   i=i+1;
end
   a=length(y);
   y(a)
   z=t(a-1)
   plot(t,y,'r')
   legend('Cantidad de C14','Location','Best')

El resultado de este código nos muestra que el tiempo de descomposición hasta llegar al 0.64% del total es prácticamente el mismo que en el caso anterior (20368)

Ésto ocurre por conceptos de desintegracion atómica, en los que se explica que el tiempo que tarda en descomponerse una cantidad de un elemento, se produce en función de, exclusivamente el porcentaje de materia desintegrada, sin tener en cuenta cual fuese la cantidad de la que se parte para este proceso. Esto significa que si originalmente (a día de hoy) tenemos 8% de la cantidad del animal vivo hace 20.000, ésta ha tardado una cantidad T de años. Y por esa misma razón si de una cantidad 8% desintegramos un nuevo 8% estamos actuando como si la cantidad a dia de hoy fuese un nuevo total a desintegrar. Demostrandose entonces que independientemente de la masa de la que se parta, un porcentaje dado a disociar tarda siempre la misma cantidad de tiempo T.

3 Periodo de Semidesintegración

En física nuclear se conoce como periodo de semidesintegración al espacio de tiempo que se requiere para que se desintegren la mitad de los núcleos de una muestra inicial de radioisotopos. Utilizando el método de Runge-Kutta, y teniendo en cuenta que no se conoce el valor final del intervalo de tiempo (puesto que es la incognita que buscamos), se ejecuta un bucle while que se interrumpe cuando la cantidad de C14 presente en la muestra se ha reducido a la mitad

En la gráfica se observa como la cantidad se reduce al 50% de la cantidad inicial en t=5589 años.

clear all
%Datos iniciales del problema
y0=1;
h=input('Introducir tamaño del paso: ');
t0=0;
i=1;
y(1)=y0;
t(1)=t0;
k=1.24*10^-4;
%Bucle generación vector 't' y método RK-4
while y(i)>0.5
   tN=t0+i*h;
   t=t0:h:tN;
   K1=-k*y(i);
   K2=-k*(y(i)+(1/2)*K1*h);
   K3=-k*(y(i)+(1/2)*K2*h);
   K4=-k*(y(i)+K3*h);
   y(i+1)=y(i)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
   i=i+1;
end
   a=length(y);
   y(a)
   z=t(a-1);
   z
   plot(t,y,'r')
   legend('Cantidad de C14','Location','Best')

La vida media del elemento radiactivo es 5589 años. Con este resultado apreciamos que el tiempo de desintegración no es lineal, ya que en los primeros años se reduce mucho más rápido. Éste fenómeno lo apreciamos al notar que tarda en deshacerse a la mitad aproximadamente 1/4 del tiempo que tarda en deshacerse casi completamente, 5589 años frente a los 20.000 del apartado anterior.

4 Descomposición Compuesta

Existen casos en los que la reacción de desintegración de un elemento A a otro C se produce a través de un elemento intermedio B. Esta reacción compuesta se puede asimilar a un sistema de ecuaciones diferenciales planteado a partir de la ecuación de desintegración ya conocida. El sistema expresado de forma matricial será:

[math]M'(x) = \begin{Bmatrix} M'(x)_A\\ M'(x)_B \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} -k_1 & 0 \\ -k_1 & -k_2 \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} M_A\\ M_B \end{Bmatrix} ;\qquad \mathbf{X}(0) = \begin{Bmatrix} 1\\ 0 \end{Bmatrix}[/math]

Siendo [math]k_1[/math] y [math]k_2[/math] las constantes de desintegración de las correspondientes reacciones.

Podemos observar en los programas de creación de estas soluciones que la creación de la cantidad de C frente al tiempo se obtiene suponiendo que no hay perdida de materia y que toda la materia original se encuentra en estado A B o C, y por tanto obtenemos C como la diferencia entre la cantidad total y la suma de cantidades de A y B.

4.1 euler

Resolveremos nuestra aproximación numérica, primero por el método de euler:

Evolución de los tres isótopos frente al tiempo

%Datos iniciales
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
N=round((tN-t0)/h);
y0=[1;0];
%Generación del vector de tiempo 't' e 'y'
t=t0:h:tN;
y=zeros(2,N+1);
y(:,1)=y0;
c(1)=0;
%Matriz de coeficientes del sistema
A=[-5 0;5 -1]; 
%Bucle Euler
for i=1:N
    y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));
    c(i+1)=1-y(1,i)-y(2,i);
end
plot(t,y(1,:))
hold on
plot(t,y(2,:),'r')
plot(t,c,'g')
legend('[A]','[B]','[C]',
'location','best')

4.2 trapecio

Y a continuación con el método del trapecio

Evolución de los tres isótopos frente al tiempo

%Datos iniciales
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
N=round((tN-t0)/h);
y0=[1;0];
%Generación del vector de tiempo 't' e 'y'
t=t0:h:tN;
y=zeros(2,N+1);
y(:,1)=y0;
c(1)=0;
%Matriz de coeficientes del sistema
A=[-5 0;5 -1];
%Bucle trapecio
for i=1:N
    Z=eye(2)-(h/2)*A;
    y(:,i+1)=inv(Z)*(y(:,i)+(h/2)*A*y(:,i));
    c(i+1)=1-y(1,i)-y(2,i);
end
plot(t,y(1,:))
hold on
plot(t,y(2,:),'r')
plot(t,c,'g')
legend('[A]','[B]','[C]',
'location','best')

Expuestas nuestras gráficas observamos que el proceso comienza con A desintegrándose, creando B y también apareciendo poco a poco C. En t=1 vemos que A se ha reducido a cero y que B continúa desintegrándose hacia el compuesto C. Estudiando las dos gráficas apreciamos una pequeña variación de resultados, por ejemplo, el máximo del compuesto B es mayor con el método de Euler.

comparación de las dos aproximaciones numéricas

5 Cambio de las k1 y k2

A continuación estudiaremos la variación de los resultados si las constantes de desintegración se intercambiasen entre sí, esto es [math]k_1=1[/math] y [math]k_2=5[/math]

5.1 Euler

De esta manera y con las nuevas constantes:

Evolución de los isótopos frente al tiempo

%Datos iniciales
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
N=round((tN-t0)/h);
y0=[1;0];
%Generación del
% vector de tiempo 't' e 'y'
t=t0:h:tN;
y=zeros(2,N+1);
y(:,1)=y0;
c(1)=0;
%Matriz de coeficientes del sistema
A=[-1 0;1 -5]; 
%Bucle Euler
for i=1:N
    y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));
    c(i+1)=1-y(1,i)-y(2,i);
end
plot(t,y(1,:))
hold on
plot(t,y(2,:),'r')
plot(t,c,'g')
legend('[A]','[B]','[C]',
'location','best')

5.2 Trapecio

Finalmente resolviendolo también por el método del trapecio:

Evolución de los isótopos frente al tiempo

%Datos iniciales
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
N=round((tN-t0)/h);
y0=[1;0];
%Generación del vector 
%de tiempo 't' e 'y'
t=t0:h:tN;
y=zeros(2,N+1);
y(:,1)=y0;
c(1)=0;
%Matriz de coeficientes del sistema
A=[-1 0;1 -5]; 
%Bucle trapecio
for i=1:N
    Z=eye(2)-(h/2)*A;
    y(:,i+1)=inv(Z)*(y(:,i)+(h/2)*A*y(:,i));
    c(i+1)=1-y(1,i)-y(2,i);
end
plot(t,y(1,:))
hold on
plot(t,y(2,:),'r')
plot(t,c,'g')
legend('[A]','[B]','[C]',
'location','best')

Como en el apartado anterior, el elemento A se desintegra en B, hasta que empieza a decaer la cantidad de éste también a la vez que paulatinamente se va creando materia del elemento C. Observamos como varía la creación y desintegración de los elementos, en especial en B, puesto que su pico se produce a una cantidad menor que con las constantes que se tenían en el apartado anterior. También se notará la mayor precisión que nos facilita el metodo del trapecio frente a Euler.

Comparación de las nuevas evoluciones del material