Revisión del 20:11 6 mar 2015

1 Interpretación del problema

Debido a la alta demanda de un determinado mineral, se ha decidido explotar un yacimiento de una region estudiada. Los estudios han concluido que la cantidad total extraíble (K) de dicho mineral es de 10875 toneladas. Se estima un crecimiento muy rápido de la producción (toneladas/año) durante los 25 años, tras los cuales, a causa de dificultades técnicas y la caída de la demanda, decrecerá la producción lentamente. Para estudiar este problema vamos a tomar diferentes modelos matemáticos (aproximaciones numéricas computacionales a partir de los datos obtenidos en el trabajo de campo).

La relación entre la producción (P) y la cantidad extraída (Q) es una relación diferencial. P será la derivada de Q respecto del tiempo.

2 Modelo logístico de Gompertz

Un posible modelo que relaciona la producción con la cantidad extraída es el modelo logístico de Gompertz, basado en la siguiente ecuación::

[math]P(Q) = \frac{dQ}{dt} = rQ\log\left(\frac{K}{Q}\right) [/math]

Tras estudios previos se obtuvo una produccion máxima de 240 toneladas/año (máximo relativo de la función). Derivando nuestra ecuación respecto de Q e igualandola a 0 obtenemos la siguiente ecuación::

[math]P'=0=rlog(\frac{K}{Q})-r=r(log(\frac{K}{Q})-1)[/math]

Despejamos Q y obtenemos::

[math]Q = \frac{K}{e}[/math]

Introduciendo el valor de Q obtenido en los estudios, y el valor de P=240, despejamos la ecuación y obtenemos el coeficiente r::

[math]240=r\frac{K}{e}log(\frac{K}{\frac{K}{e}})=r\frac{K}{e} → r=\frac{240e}{K}=0.0599[/math]

• Modelo computacional de Gompertz en MATLAB :

k=10875;                      %Cantidad total extraible en toneladas
Q=0:1:10875;                  %Vector con la cantidad de toneladas extraídas
n=length(Q);                  %Tamaño del vector Q
P=zeros(1,n);                 %Vector de ceros de una fila y N columnas
r=240*exp(1)/10785;           %coeficiente r

for i=1:n                     %Realizamos el bucle 
    P(i)=r*Q(i)*log(k/Q(i));  %Definimos la funcion P(Q) 
end 

plot(Q,P,'k')                     %Gráfica de Q (abcisas) y P (ordenadas) en color negro.
xlabel('cantidad (ton)')       
ylabel('produccion (ton/año)')

Curva de la función P(Q

Analizando la gráfica obtenida por MATLAB, podemos observar que la pendiente (en valor absoluto) inicial de la curva es mayor a la del final, como indicaba el estudio previo. La curva muestra un cambio de pendiente en el valor de Q=240 toneladas (máximo) y un fin de producción en el valor de cantidad total extraída de 10875 toneladas.

3 Modelo logístico de Verhulst

Otro posible modelo logístico es el de Verhulst, definido por la siguiente ecuación::

[math]Q'=rQ(1-\frac{Q}{k})[/math]

Para obtener el nuevo coeficiente r, procedemos de la misma forma que en el modelo de Gompertz::

[math]P'=0=r(1-\frac{2Q}{K})[/math]

Despejamos Q y obtenemos::

[math]\frac{2Q}{K}=1→ Q=\frac{K}{2}=5437.5[/math]

Introduciendo el valor de Q obtenido en la ecuación, y el valor de P=240, obtenemos el coeficiente r::

[math]240=r\frac{K}{2}(1-\frac{\frac{K}{2}}{K})=r\frac{K}{4} → r=\frac{960}{K}=0.088[/math]

• Modelo computacional de Verhulst en MATLAB :

Con los datos obtenidos creamos un programa en MATLAB para obtener una gráfica del modelo de Verhulst y poder compararlo con el de Gompertz:

k=10875; %Cantidad maxima extraible
rG=240*exp(1)/k; %Tasa intrinseca de creciemiento (Gompertz)
rV=960/k; %Tasa intrinseca de creciemiento (Verhulst)
Q=0:1:k; 
n=length(Q);
for i=1:n 
    PGom(i)=rG*Q(i)*log(k/Q(i)); %Gompertz
    PVer(i)=rV*Q(i)*(1-Q(i)/K); %Verhulst
end                                     
subplot(1,2,1)
plot(Q,PVer,'g') %Gráfica modelo de Verhulst
xlabel('cantidad (ton)')         
ylabel('produccion (ton/año)')  
subplot(1,2,2)
plot(Q,PGom,'r') %Gráfica modelo de Gompertz
xlabel('cantidad')             
ylabel('produccion')          
hold on %Superponemos las dos gráficas
plot(Q,PVer,'g') %Gráfica modelo de Verhulst
xlabel('cantidad (ton)')        
ylabel('produccion (ton/año)')  
legend('Modelo Gompertz','Modelo Verhulst','Location','best') 
hold off