Diferencia entre revisiones de «Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A)»
| Línea 19: | Línea 19: | ||
Respondiendo a la primera pregunta el tiempo que tarda en cambiar considerablemente la temperatura para un edificio cerrado esta entre 2 y 4 horas. | Respondiendo a la primera pregunta el tiempo que tarda en cambiar considerablemente la temperatura para un edificio cerrado esta entre 2 y 4 horas. | ||
En este caso particular tomaremos un tiempo t'=3 por lo que la constante k es igual a ⅓, el tiempo a medianoche es t=0 con una To=14, la temperatura exterior M(t) es constante e igual a 8 ºC y el calor generado por las personas H(t) y por la calefaccion U(t) es igual a 0. | En este caso particular tomaremos un tiempo t'=3 por lo que la constante k es igual a ⅓, el tiempo a medianoche es t=0 con una To=14, la temperatura exterior M(t) es constante e igual a 8 ºC y el calor generado por las personas H(t) y por la calefaccion U(t) es igual a 0. | ||
| + | ===Euler Implícito para el problema de valor inicial=== | ||
| + | Tomamos una longitud de paso h=0.01 y nos queda el problema siguiente: | ||
| + | [[Archivo:Jeje3.PNG|centro]] | ||
==Apartado3b== | ==Apartado3b== | ||
A continuación vamos a demostrar que la temperatura media es igual a B2 | A continuación vamos a demostrar que la temperatura media es igual a B2 | ||
Revisión del 14:35 6 mar 2015
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A) |
| Asignatura | Ecuaciones Diferenciales |
| Curso | Curso 2014-15 |
| Autores | María Aguilera, Paula Martínez, Miguel Sánchez, Laura García, Isabel Roselló, Sarah Boufounas |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
1 Introducción
Este trabajo consiste en estudiar, mediante un modelo matématico, el comportamiento de la temperatura interior de un edificio en un periodo de 24 horas. Esta temperatura dependerá del calor generado dentro, de la temperatura exterior y del sistema de calefacción o aire acondicionado. Designaremos estos factores como:
- H(t) → Calor generado por las personas, luces, máquinas...
- M(t) → Temperatura exterior
- U(t) → Calentamiento producido por la calefacción o enfriamiento debido al aire acondicionado
2 Problema de Cauchy
Designando la temperatura del edificio como T(t) el problema de valor inicial queda como:
Donde k es una constante del edificio que depende del número de puertas, ventanas, aislamiento, etc.
2.1 Problema de Cauchy particularizado
Denominamos t'=1/k al tiempo en que el edificio sufre un cambio de temperatura considerable, este tiempo es denominado como la constante de tiempo del edificio o constante de tiempo de transferencia de calor entre el edificio y el exterior. Respondiendo a la primera pregunta el tiempo que tarda en cambiar considerablemente la temperatura para un edificio cerrado esta entre 2 y 4 horas. En este caso particular tomaremos un tiempo t'=3 por lo que la constante k es igual a ⅓, el tiempo a medianoche es t=0 con una To=14, la temperatura exterior M(t) es constante e igual a 8 ºC y el calor generado por las personas H(t) y por la calefaccion U(t) es igual a 0.
2.2 Euler Implícito para el problema de valor inicial
Tomamos una longitud de paso h=0.01 y nos queda el problema siguiente:
3 Apartado3b
A continuación vamos a demostrar que la temperatura media es igual a B2
Suponemos un valor medio de 24 horas:
Seguidamente el ejercio nos pide que demostremos que la temperatura media está muy próxima a la temperatura deseada.
4 APartados 4b y 4c
%Datos del problema
t0=0; tN=24; h=0.001; y0=[20;18]; %Variaremos h dándole como valores 0.1;0.01;0.001
%Definimos la variable independiente
t=t0:h:tN ;
%Preparamos la matriz de la solución
x=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler
%Inicializamos
x(:,1)=y0;
y=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler modificado
%Inicializamos
y(:,1)=y0;
z=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Runge Kutta
%Inicializamos
z(:,1)=y0;
%Aplicamos el método
for i =1:length(t)-1
%Comenzacmos con Euler
x(:,i+1)=x(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-x(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-x(1,i))+1/2*(x(2,i)-x(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-x(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-x(2,i))-1/2*(x(2,i)-x(1,i))];
%Ahora Euler implícito
K=[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-y(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-y(1,i))+1/2*(y(2,i)-y(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-y(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-y(2,i))-1/2*(y(2,i)-y(1,i))];
y(:,i+1)=y(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(y(1,i))+1/2*h*K(1,1))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))+1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))-1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))];
%Ahora Runge-Kutta
K1=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-z(1,i))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-z(1,i))+1/2*(z(2,i)-z(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-z(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-z(2,i))-1/2*(z(2,i)-z(1,i))];
K2=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))];
K3=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))];
K4=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+h*K3(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+h*K3(1)))+1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+h*K3(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+h*K3(2)))-1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1)))];
z(:,i+1)=z(:,i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
%Temperatura exterior
M=2-7*cos(pi*t/12);
%Dibujamos las gráficas
figure (1)
hold on
plot(t,M,'c-*')
plot(t,x(1,:),'y')
plot(t,x(2,:),'m')
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'g')
plot(t,z(1,:),'b')
plot(t,z(2,:),'k')
title('Paso h=0.001')
legend('Tª Exterior','TªA Euler','TªB Euler','TªA Euler implícito','TªB Euler implícito','TªA Runge-Kutta','TªB Runge-Kutta','Location','best')
xlabel('Tiempo en horas')
ylabel('Temperatura A y Temperatura B')
hold off4.1 h=0.1
4.2 h=0.01
4.3 h=0.001
4.4 Apartado 4
El edificio consta ahora de dos zonas A y B. Designaremos a la temperatura en la zona A por Ta(t), y la temperatura en la zona B por Tb(t). Como dato del enunciado sabemos que la temperatura inicial en la zona A es de 20 grados y la de la zona B es de 18 grados. Ha(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona A y Ua(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado. Asi mismo, Hb(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona B y Ub(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado. Sabemos que las constantes de tiempo de transferencia de calor son de 4 h entre A y el exterior, 5 h entre B y el exterior y 2 h entre A y B. Despejando de t=1/k obtenemos : 1/4 , 1/5 y 1/2 respectivamente.
Recordamos que el problema de valor inicial (PVI) o problema de Cauchy es el siguiente sistema de dos ecuaciones :
