Revisión del 13:05 6 mar 2015

1 Interpretación del problema

Debido a la alta demanda de un determinado mineral, se ha decidido explotar un yacimiento de una region estudiada. Los estudios han concluido que la cantidad total extraíble (K) de dicho mineral es de 10875 toneladas. Se estima un crecimiento muy rápido de la producción (toneladas/año) durante los 25 años, tras los cuales, a causa de dificultades técnicas y la caída de la demanda, decrecerá la producción lentamente. Para estudiar este problema vamos a tomar diferentes modelos matemáticos (aproximaciones numéricas computacionales a partir de los datos obtenidos en el trabajo de campo).

La relación entre la producción (P) y la cantidad extraída (Q) es una relación diferencial. P será la derivada de Q respecto del tiempo.

2 Modelo logístico de Gompertz

Un posible modelo que relaciona la producción con la cantidad extraída es el modelo logístico de Gompertz, basado en la siguiente ecuación::

[math]P(Q) = \frac{dQ}{dt} = rQ\log\left(\frac{K}{Q}\right) [/math]

Tras estudios previos se obtuvo una produccion máxima de 240 toneladas/año (máximo relativo de la función). Derivando nuestra ecuación respecto de Q e igualandola a 0 obtenemos la siguiente ecuación::

[math]P'=0=rlog(\frac{K}{Q})-r=r(log(\frac{K}{Q})-1)[/math]

Despejamos Q y obtenemos::

[math]Q = \frac{K}{e}[/math]

Introduciendo el valor de Q obtenido en los estudios, y el valor de P=240, despejamos la ecuación y obtenemos el coeficiente r::

[math]240=r\frac{K}{e}log(\frac{K}{\frac{K}{e}})=r\frac{K}{e} → r=\frac{240e}{K}=0.0599[/math]

k=10875;                      %Cantidad total extraible en toneladas
Q=0:1:10875;                  %Vector con la cantidad de toneladas extraídas
n=length(Q);                  %Tamaño del vector Q
P=zeros(1,n);                 %Vector de ceros de una fila y N columnas
r=240*exp(1)/10785;           %coeficiente r

for i=1:n                     %Realizamos el bucle 
    P(i)=r*Q(i)*log(k/Q(i));  %Definimos la funcion P(Q) 
end 

plot(Q,P,'k')                     %Gráfica de Q (abcisas) y P (ordenadas) en color negro.
xlabel('cantidad (ton)')       
ylabel('produccion (ton/año)')