Diferencia entre revisiones de «Modelos Epidemiológicos Grupo 3A»

Revisión del 23:49 5 mar 2015

1 Introducción e hipótesis iniciales

En el desarrollo de una epidemia, se distinguen dos tipos de individuos. Los que ya han contraído la enfermedad(infectados), que llamaremos I(t); y los que son susceptibles de contraerla, a los que llamaremos S(t). Donde t es la variable temporal. Se dan dos hipótesis para realizar este estudio:

1. La población de personas infectadas se altera por el fallecimiento o la cura de las mismas. En ambos casos, la tasa de cambio depende del número de personas infectadas.

2. La tasa de individuos que pasan de ser susceptibles a contraer la enfermedad a estar infectados es proporcional a la interacción entre el número de individuos en ambas clases.

Mediante el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales se muestran las variaciones de ambas poblaciones respecto al tiempo t:

\begin{matrix}

\frac{dS}{dt} = -aSI   \\ 
\frac{dI}{dt} = aSI-bI-cI 

\end{matrix}

donde a,b y c son parámetros. Los interpretamos como:

\frac{dI}{dt} es la variacion de la población infectada. Esta población únicamente se ve alterada por:

• aSI ( con signo positivo), donde SI es la interacción entre ambas poblaciones, que depende de a
• -bI (con signo negativo) que son los que fallecen. Por lo tanto, 'b' es la tasa de fallecimiento.
• -cI (con signo negativo) que son los que se han curado. Es decir, 'c' es la tasa de curación.

Para interpretar 'a' observamos el sistema y la segunda hipótesis:

  [math] \frac{dI}{dt} = aSI-bI-cI[/math]

Como los individuos que pasan de ser susceptibles a estar infectados son proporcionales a su interacción(SI), 'a' es la tasa de contagio en la población susceptible.

2 Resolución del PVI mediante los métodos de Euler y Trapecio

Antes de pasar a la resolución completa del sistema, lo simplificaremos asignando el valor "cero" a la variable que representa a los sujetos susceptibles de contraer la enfermedad (S=0). Con ello, reducimos el sistema a una única ecuación:

                                                         \frac{dI}{dt}=-bI-cI

Mediante sentencias Matlab y la asignación a la variable "I" (sujetos infectados), y a los coeficientes "b" y "c" de los valores deseados, resolvemos la ecuación diferencial simplificada aplicando los métodos de Euler y Trapecio (para ello se ha utilizado, en ambos métodos, una espaciación de 0.1 unidades). Procedemos, en primer lugar, a la aproximación de nuestra función por el método de Euler:

Aproximación del sistema simplificado a una única ecuación mediante Euler

%I(t): Población de individuos infectados
%S(t): Población susceptible de ser infectada
%los parámetros a=Tasa de contagio entre S e I,b=Tasa de
%fallecimiento de personas infectadas,c=Tasa de cura de personas infectadas
clear all clc
h=0.1;
format long
%Inicializo los vectores t,i e y asignando a la primera posición los valores
%y0 ,t0
t0=0;
y0=2000;
t(1)=t0;
y(1)=y0;
i=1;
%Defino las ctes b y c
b=0.3;
c=0.01;
%Bucle while: calculara valores de y(i) mientras y(i)>500
  while y(i)>500
    y(i+1)=y(i)+h*(-y(i)*(b+c));%Euler
    t(i+1)=t(i)+h;
    i=i+1;
  end
[t',y']
disp('Tiempo final:')
disp(t(end));
plot(t,y);
legend('Población infectada(Euler)','Location','best');%Optimizar

Resolvemos de nuevo la ecuación simplificada, en este caso, mediante el método del trapecio:

Aproximación del sistema simplificado a una única ecuación por el método del Trapecio

%Método del Trapecio
%I(t): Población de individuos infectados
%S(t: Población susceptible de ser infectada
%los parámetros a=Tasa de contagio,b=Tasa de
%fallecimiento de personas infectadas,c=Tasa de cura de personas infectadas
clear all clc
format long
h=0.1;
%Inicializo los vectores t,i,z asignando a la primera posición los valores
%z0 ,t0
t0=0;
z0=2000;
t(1)=t0;
z(1)=z0;
i=1;
%Defino las ctes.b,c
b=0.3;
c=0.01;
%Bucle while: calculara valores de z(i) mientras z(i)>500
  while z(i)>500
    z(i+1)=(z(i)*(1-(h/2)*(b+c)))/(1+h/2*(b+c));%trapecio
    t(i+1)=t(i)+h;
    i=i+1;
  end
[t',z']
disp('Tiempo final:')
disp(t(end));
plot(t,z,'r');
legend('Población infectada(Trapecio)','Location','best');%Optimizar

Es observable que en ambas gráficas se ha empleado el mismo valor inicial de sujetos infectados (I=2000) y que dicha representación de la gráfica finaliza en un valor para el tiempo de t=4.5, el cual se identifica con una reducción de la población inicial de sujetos infectados a la cuarta parte (I=500), ya sea por defunción o por cura de la patología (el carácter descendente de la función quedó precisado mediante la definición de los coeficientes "b" y "c" al inicio del artículo).

Como adelantábamos al principio de este apartado, se va a proceder a la resolución del sistema en su conjunto, con el matiz de que en este caso ninguna ecuación se anulará, ya que tomamos como valor "S" de los sujetos susceptibles de ser infectados un valor constante de "cien" (S=100). La resolución, al igual que en caso anterior, se ejecutará mediante los métodos de Euler y del Trapecio respectivamente:

Aproximación del sistema por el método de Euler

%Método de Euler
%I(t): Población de individuos infectados
%S(t): Población susceptible de ser infectada
%los parámetros a=Tasa de contagio,b=Tasa de
%fallecimiento de personas infectadas,c=Tasa de cura de personas infectadas
clear all clc
format long
h=0.1;
%Inicializo los vectores t,i e y asignando a la primera posición los valores
%y0 ,t0
i=1;
t0=0;
y0=2000;
t(1)=t0;
y(1)=y0;
%Defino las ctes. S,a,b,c
S=input('Introduce población susceptible de contagio:');
a=0.003;
b=0.3;
c=0.01;
%Bucle while: calculara valores de y(i) mientras y(i)>500
  while y(i)>500
    y(i+1)=y(i)+h*(-y(i)*(b+c-S*a));%Euler
    t(i+1)=t(i)+h;
    i=i+1;
  end
[t',y']
disp('Tiempo final:')
disp(t(end));
plot(t,y);

Utilizamos ahora el método del trapecio:

Aproximación del sistema por el método del Trapecio

%Método del Trapecio
%I(t): Población de individuos infectados
%S(t): Población susceptible de ser infectada
%los parámetros a=Tasa de contagio,b=Tasa de
%fallecimiento de personas infectadas,c=Tasa de cura de personas infectadas
clear all clc
format long
h=0.1;
%Inicializo los vectores t,i y z asignando a la primera posición los valores
%z0 ,t0
t0=0;
z0=2000;
t(1)=t0;
z(1)=z0;
i=1;
%Defino las ctes. S,a,b,c
S=input('Introduce población susceptible de contagio:');
a=0.003;
b=0.3;
c=0.01;
%Bucle while: calculara valores de z(i) mientras z(i)>500
  while z(i)>500
    z(i+1)=(z(i)*(1-(h/2)*(b+c-S*a)))/(1+h/2*(b+c-S*a));%trapecio
    t(i+1)=t(i)+h;
    i=i+1;
  end
[t',z']
disp('Tiempo final:')
disp(t(end));
plot(t,z,'r');
legend('Población infectada(Trapecio)','Location','best');%Optimizar

3 Resolución del modelo completo mediante Euler

En este apartado resolveremos el sistema completo y analizaremos las gráficas para diferentes valores de las variables. Los valores iniciales que tomamos son (S₀, I₀)=(800, 20) y (S₀, I₀)=(10000, 40); el tiempo estará en el intervalo [0,40] y como pasos de discretización temporal (h) 10^-1, 10^-2, 10^-3, 10^-4. El código de matlab utilizado en este apartado para resolverlo por el método de Euler:

%Metodo de Euler
% Considerando:
%I(t): Población de individuos infectados
%S(t): Población susceptible de ser infectada
%los parámetros a=Tasa de contagio,b=Tasa de
%fallecimiento de personas infectadas,c=Tasa de cura de personas infectadas
clear all clc
format long
h=input('Introduce tamaño de paso:');
S0=input('introduce un valor inicial S0:');
I0=input('introduce un valor inicial I0:');
a=0.003;
b=0.3;
c=0.01;
%Intervalo de tiempos
t0=0;
tN=40;
%Calculamos número de subintervalos
N=(tN-t0)/h;
%Creo un vector t 
t=t0:h:tN;
%preparo vectores S,I para guardar las soluciones
S=zeros(1,N+1);%vector incognita 1
I=zeros(1,N+1);%vector incognita 2
S(1)=S0;
I(1)=I0;
   for i=1:N
       S(i+1)=S(i)+h*(-a*S(i)*I(i));%Euler para S
       I(i+1)=I(i)+h*(a*S(i)*I(i)-b*I(i)-c*I(i));%Euler para I
   end
[t',S',I']
hold on
plot (t,S)
plot(t,I,'r')
legend('Susceptibles','Infectados','Location','best');%Optimizar
hold off

Como hemos dicho aquí, están las ocho gráficas referentes a los distintos valores. Podemos observar que en las gráficas que tienen como valores iniciales (S₀, I₀)=(1000, 40) no apreciamos como descienden y ascienden los susceptibles y los infectados. Todo los contrario pasa con las gráficas que tienen como valores iniciales (S₀, I₀)=(800, 20), en ellas si que podemos observar que cuando aumenta el número de infectados, disminuye el número de susceptibles. Otra observación que hacemos, es que el paso de discretización personal no nos afecta a la hora de visualización de las gráficas, todas tienen el mismo aspecto, cada uno referido a sus valores iniciales.

Por lo tanto, a la hora de analizar las gráficas, lo podemos hacer metiendo en un grupo a las gráficas que tengan como valores iniciales (S₀, I₀)=(800, 20) y un segundo grupo donde los valores iniciales son (S₀, I₀)=(1000, 40).

En las primeras vemos que la curva de los susceptibles es una curva descendente, la cual desciende con gran rapidez, ya que pasado el día cinco está muy próxima al cero. En cambio la curva de los infectados es ascendente hasta casi el día cinco, donde va a tener un máximo, y luego empieza a descender con gran rapidez. Al descender ambas curvas, se encontrarán aproximadamente sobre el día 20, donde las dos tienen una asíntota en y=0, y por lo tanto ambas tienden a cero.

En las segundas podemos decir que la curva de los infectados es descendente, pero no podemos decir nada acerca de la curva de los susceptibles, ya que no la apreciamos. En ese segundo grupo no podemos hablar de los máximos y mínimos que tienen las curvas, solo que ambas tienden a cero. Podemos destacar la primera gráfica con estos datos iniciales, donde podemos observar como en los primeros cinco días aproximadamente, las dos curvas suben y bajan sin constancia. Observamos en este con gran claridad cual es el punto mínimo de los susceptibles y el máximo de los infectados; pero por el contrario, no podemos ver cual es el máximo de los susceptibles y el mínimo de los infectados ya que una curva se monta en la otra. Como en las otras gráficas, al final, las dos curvas tienden a cero. Una importante apreciación de esta gráfica es que nos salen personas negativas, lo que es físicamente imposible. Esto nos indica que el método de Euler no es un buen método para la aproximación de estas ecuaciones con los valores iniciales (S₀, I₀)=(1000, 40) y h=0.1.

4 Resolución del modelo completo mediante Runge-Kutta de orden 4

En esta sección se pretende resolver de nuevo el mismo problema que en el apartado anterior, sin embargo, esta vez lo haremos con el método de Runge-Kutta de cuarto orden con el objetivo de compararlo con los resultados obtenidos mediante el método de Euler.El código matlab correspondiente queda expuesto a continuación:

%Trabajo Ecuaciones diferenciales
% Considerando:
%I(t): Población de individuos infectados
%S(t: Población susceptible de ser infectada
%los parámetros a=Tasa de contagio entre S e I,b=Tasa de
%fallecimiento de personas infectadas,c=Tasa de cura de personas infectadas
clear all clc
format long
S0=input('introduce un valor inicial S0:');
I0=input('introduce un valor inicial I0:');
h=input('introduce tamano de paso:');
a=0.003;
b=0.3;
c=0.01;
%Intervalo de tiempos
t0=0;
tN=40;
%Calculamos número de subintervalos
N=(tN-t0)/h;
%Creo un vector t 
t=t0:h:tN;
%preparo vectores S,I para guardar las soluciones uso el comando zeros(filas,columnas)
S=zeros(1,N+1);%vector incognita 1
I=zeros(1,N+1);%vector incognita 2
S(1)=S0;
I(1)=I0;
for i=1:N
    K1=-a*S(i)*I(i);
    K2=-a*(S(i)+(1/2)*K1*h)*(I(i)+(1/2)*K1*h);
    K3=-a*(S(i)+(1/2)*K2*h)*(I(i)+(1/2)*K2*h);
    K4=-a*(S(i)+K3*h)*(I(i)+K3*h);
    S(i+1)=S(i)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);%Runge-Kutta orden 4 para S
    K5=a*S(i)*I(i)-b*I(i)-c*I(i);
    K6=a*(S(i)+(1/2)*K5*h)*(I(i)+(1/2)*K5*h)-b*(I(i)+(1/2)*K5*h)-c*(I(i)+(1/2)*K5*h);
    K7=a*(S(i)+(1/2)*K6*h)*(I(i)+(1/2)*K6*h)-b*(I(i)+(1/2)*K6*h)-c*(I(i)+(1/2)*K6*h);
    K8=a*(S(i)+K7*h)*(I(i)+K7*h)-b*(I(i)+K7*h)-c*(I(i)+K7*h);
    I(i+1)=I(i)+(h/6)*(K5+2*K6+2*K7+K8);%Runge-Kutta orden 4 para I
end
[t',S',I']
hold on
plot (t,S)
plot(t,I,'r')
legend('Susceptibles','Infectados','Location','best');%Optimizar
hold off

A continuación, comparamos las gráficas obtenidas con (S₀, I₀)=(800, 20) entre Runge-Kutta y Euler(izquierda:Aproximación mediante Runge-Kutta,derecha:Aproximación mediante Euler):

Ambas gráficas son prácticamente idénticas, se observa que el total de personas susceptibles baja drásticamente en los primeros 5 días hasta ser prácticamente nulo, consecuentemente se observa que el número de infectados aumenta rápidamente en ese periodo hasta alcanzar su máximo(650 infectados aprox.)para luego descender. Finalmente, cuando el tiempo es de 20 días ambas poblaciones son muy próximas a cero.

Al trabajar con los valores (S₀, I₀)=(10000, 40) las aproximaciones mediante Euler y RK4 muestran gráficas incongruentes con la evolución de personas susceptibles e infectadas observada hasta ahora, en las aproximaciones anteriores hemos obtenido gráficas de tipo exponencial con un máximo de infectados y un descenso gradual de ambas poblaciones cuando el tiempo toma valores altos, sin embargo, en este caso mediante Euler hemos obtenido gráficas con una sucesión de máximos y mínimos en intervalos de tiempo muy pequeños( en cuestión de 1 día las cifras de infectados oscilan entre pocos cientos y más de 10000 alternativamente) y además las personas susceptibles adquieren valores negativos(Físicamente imposible) lo cual nos indica que el método de Euler es inadecuado para la aproximación requerida, seguramente debido a la inestabilidad que presenta en la resolución de sistemas.Con el método de Runge-Kutta se obtiene de la misma manera un resultado desconcertante con respecto a las gráficas expuestas anteriormente, ofreciendo aproximaciones que no son equiparables a una evolución epidemiológica real. Otro posible motivo del error en las gráficas es la incompatibilidad de la pareja de valores iniciales con la aproximación de una epidemia expuesta en este trabajo, es decir, para valores muy altos de S(t) la modelización de una epidemia no puede ser aproximada por un sistema de ecuaciones diferenciales como el proporcionado para este trabajo(Obtenemos valores que no concuerdan con la realidad).

A modo de aclaración(y curiosidad) se adjuntan dichas gráficas(izquierda:Aproximación mediante Runge-Kutta,derecha:Aproximación mediante Euler):

Por otro lado, en métodos de aproximación como el trapezoidal o trapecio dado por la expresión:

\begin{matrix}

y_{0}  &  &  &  & \\ 
y_{n+1}  =  h/2  (f(t_{n},y_{n}) + f(t_{n+1},y_{n+1})) 

\end{matrix}

La dificultad a la hora de resolver un sistema de ED como el arriba expuesto radica en que las variables incógnita de nuestro sistema (S e I) quedan implícitas en ambas ecuaciones y requieren despeje. Al comenzar a operar observaríamos que el despeje único es sumamente complicado o imposible, ya que las dos variables incógnita están acopladas simultáneamente en ambas ecuaciones y además multiplicadas entre sí y otros factores, es decir, al despejar completamente una de las dos variables, la otra queda incluida al otro lado de la igualdad y viceversa.

5 Resolución del modelo completo mediante Heun con a(t) una función dependiente del tiempo

Hasta ahora, el coeficiente a ( tasa de contagio en población susceptible) ha sido dada como un coeficiente constante. Ahora 'a' es una función dependiente del tiempo t (coeficiente variable) dada por:

                                     [math] a(t)=\frac{0.003}{1+t}[/math]

Solución con el método de Heun

%Trabajo Ecuaciones diferenciales
% Considerando:
%I(t): Población de individuos infectados
%S(t: Población susceptible de ser infectada
%los parámetros a=Tasa de contagio,b=Tasa de
%fallecimiento de personas infectadas,c=Tasa de cura de personas infectadas
clear all clc
format long
S0=1600;
I0=40;
h=input('introduce tamano de paso:');
b=0.3;
c=0.01;
%Intervalo de tiempos
t0=0;
tN=40;
%Calculamos número de subintervalos
N=(tN-t0)/h;
%Creo un vector t 
t=t0:h:tN;
%preparo vector y para guardar las soluciones uso el comando zeros(filas,columnas)
S=zeros(1,N+1);%vector incognita 1
I=zeros(1,N+1);%vector incognita 2
S(1)=S0;
I(1)=I0;
for i=1:N
K1=-(0.003./(1+t(i)))*(S(i)*I(i));
K2=-(0.003./(1+t(i))).*(S(i)+K1*h)*(I(i)+K1*h);
K3=(0.003./(1+t(i))).*(S(i)*I(i)-b*I(i)-c*I(i));
K4=(0.003./(1+t(i))).*(S(i)+K3*h)*(I(i)+K3*h)-b*(I(i)+K3*h)-c*(I(i)+K3*h);
S(i+1)=S(i)+(h/2)*(K1+K2);
I(i+1)=I(i)+(h/2)*(K3+K4);
end
[t',S',I']
hold on
plot(t,S);
plot(t,I,'r');
legend('Susceptibles','Infectados','Location','best');%Optimizar
hold off

Visualización de a(t) en t=[0,40]

a(t) se trata de una función no definida en t=-1. Esto no nos importa, ya que t es el tiempo, que siempre es positivo y concretamente toma valores entre 0 y 40. Como la t>=0 siempre:

                                           [math] \lim_{t\to \infty } a(t)=0[/math]

. Esto quiere decir que a medida que va pasando el tiempo, el coeficiente a(t) va a ir disminuyendo progresivamente hacia cero. Por tanto, la tasa de contagio disminuirá con el tiempo.

En la gráfica inferior se muestra cómo varia la misma población ( 40 infectados en 1640 individuos) con diferentes coeficientes a(t):

• Uno constante e igual a 0.003 como en apartados anteriores.

• Otro variable variable que es [math] a(t)=\frac{0.003}{1+t}[/math]

Comparación de poblaciones según la tasa de contagio 'a'

La función a(t) alcanza su máximo en el intervalo t= [0,40] en t=0. Coincidiendo en este punto con el coeficiente constante. Esto es, a=0.003. Esto significa que en t=0, ambas poblaciones son iguales. Teniendo en cuenta que ambas poblaciones parten del mismo inicio, se aprecia claramente como la población de infectados que depende de un coeficiente variable a(t) es en todo momento en el intervalo t=[0,40] inferior a la población de infectados con un coeficiente a=0.003 constante a lo largo del tiempo.

Por otro lado, en lo que se refiere a la población de susceptibles, en la gráfica queda reflejado que cuando hablamos de a=0.003 constante a lo largo del tiempo, la población susceptible se ve reducida antes que cuando hablamos de a(t) variable. Esto tiene lógica porque si a(t) va disminuyendo a lo largo del tiempo, la tasa de contagio va disminuyendo, y menos cantidad de susceptibles se transforman en infectados en un determinado intervalo de tiempo . Por ejemplo, en t=2, la población de susceptibles con a=0.003 constante es prácticamente nula, lo que no ocurre con a variable donde aún queda cantidad de susceptibles apreciable ( no se contagia el mismo número de individuos porque la tasa de contagio es menor).

6 Calibración del parámetro 'a' en base a una experiencia previa

En este apartado cogemos los mismos datos del apartado anterior, con la diferencia que el parámetro a deja de ser una función y se convierte en un vector comprendido entre 0.0005 y 0.002, de donde iremos cogiendo valores equidistribuidos hasta agotarlos. El objetivo final es encontrar de todos los valores que ha ido cogiendo el parámetro a, el que más infectados tenga estando lo más cerca del quinto día. La aproximación la hemos hecho de nuevo mediante el método de Heun.

clear clc
format long
%Defino valores iniciales
S0=1600;
I0=40;
h1=0.0001;%Tamaño de paso para intervalo de a
a=0.0005:h1:0.002;
b=0.3;
c=0.01;
h=0.1;%tamaño de paso para t
%Intervalo de tiempos
t0=0;
tN=40;
%Calculamos número de subintervalos
N=(tN-t0)/h;
%Creo un vector t 
t=t0:h:tN;
%preparo vector S e I para guardar las soluciones 
S=zeros(1,N+1);%vector incognita 1
I=zeros(1,N+1);%vector incognita 2
S(1)=S0;
I(1)=I0;
%preparo vectores m1(máximos de I)  m2(tiempos de los máximos)
m1=zeros(1,length(a));
m2=zeros(1,length(a));
%Bucle for: calcula valores maximos de I para cada valor 'a' del intervalo y los almacena
%junto con su tiempo correspondiente en los vectores m1 y m2
%respectivamente.Metodo numérico de Heun
for j=1:length(a)
for i=1:N    
K1=-(a(j))*(S(i)*I(i));
K2=-(a(j)).*(S(i)+K1*h)*(I(i)+K1*h);
K3=(a(j)).*(S(i)*I(i)-b*I(i)-c*I(i));
K4=(a(j)).*(S(i)+K3*h)*(I(i)+K3*h)-b*(I(i)+K3*h)-c*(I(i)+K3*h);
S(i+1)=S(i)+(h/2)*(K1+K2);
I(i+1)=I(i)+(h/2)*(K3+K4);
m1(j)=max(I);
m2(j)=t(max(I)==I);
end
%Bucle if: si la diferencia entre el valor de tiempo para el máximo y 5 es
%menor o igual que 0.1 muestra el valor de a, maximo de I y tiempo
%correspondiente para los que esto sucede
if abs(m2(j)-5)<=0.1
    disp('Valor de a para el cual el máximo está mas próximo a 5:');
    disp(a(j));
    disp('Valor máximo de I correspondiente:');
    disp((m1(j)));
    disp('Valor de tiempo correspondiente:');
    disp((m2(j)));
end
end
%Grafica con los máximos de I y los tiempos correspondientes
plot(m2,m1,'*');
legend('Máximos de infectados','Location','best');%Optimizar

En la siguiente gráfica se muestran los máximos valores de infectados y los tiempos correspondientes para los que se produce el máximo según los parámetros a equidistribuidos del vector inicial.El objetivo es encontrar el más próximo al tiempo 5. Se observa que conforme vamos tomando sucesivos valores de 'a' cada vez mayores, los máximos de infectados son más pequeños y ocurren en un tiempo mayor. Para nuestro caso, hay un valor de 'a' para el cual el tiempo del máximo es exactamente 5, siendo 1192 el máximo de infectados como queda reflejado en el gráfico y en el recuadro.