Diferencia entre revisiones de «Desintegración Radioactiva (G.2A)»

Revisión del 11:48 5 mar 2015

Se conoce la propensión de algunos compuestos e isótopos a transformarse en otros mas estables con el paso del tiempo, como es el caso de Carbono 14, objeto de este trabajo. Partiendo de una concentración inicial de dicho isotopo con cierta inestabilidad frente al tiempo, sabemos que se producirá una perdida de cantidad del material con el paso del tiempo, llegando un punto en el que el material se haya convertido en su totalidad en compuestos mas estables.

El Carbono14 es un isótopo presente en estado de desintegración en muestras arqueológicas, y es comúnmente utilizado para, en función del grado de disociación en el que se encuentre, fechar la muestra que lo porta.

De esta manera, sabiendo que M(t) representa la cantidad en función del tiempo, expresaremos la velocidad de desintegración como la derivada con respecto a [math]t[/math] ; [math]\frac{\operatorname dM(t)}{\operatorname dt} = M'(t) [/math] y la expresaremos como [math]M'(t) = -k M(t)[/math] donde [math]k=1,24e^-4[/math] es la contaste de desintegración característica del Carbono 14.

1 Datación de Muestras Arqueológicas

Habiéndose realizado la prueba del Carbono 14 en una muestra, se obtiene una concentración M de este elemento del 8% del total que es natural en un ser vivo, habiendose desintegrado por lo tanto un 92% de la cantidad de Carbono 14 original. Conocida la concentración del isotopo presente en la muestra, se procede a calcular su edad (el tiempo que ha tardado en desintegrarse el 92% del contenido de Carbono 14). Para ello se utiliza la ecuación diferencial ya expresada y se resuelve mediante el método numérico de Euler.

derecha

clear all
%Datos iniciales del problema
y0=0.08;
h=input('Introducir tamaño del paso: ');
h=-h;
t0=0;
i=1;
y(1)=y0;
t(1)=t0;
k=1.24*10^-4;
%Bucle generación vector 't' y método Euler
while y(i)<1
   tN=t0+i*h;
   t=t0:h:tN;
   y(i+1)=y(i)+h*(-k*y(i));
   i=i+1;
end
   a=length(y);
  
   y(a)
   z=t(a-1);
   z=-z
   plot(t,y,'r')
   legend('Cantidad de C14 (Método de Euler)','Location','Best')

2 Previsión de desintegración de Carbono 14

Con la ecuación diferencial ya comentada, no solo se puede calcular la antiguedad de una muestra, sino que también permite hacer una estimación de cuando se llegará a un nivel de Carbono 14 concreto. El próximo cálculo realizado determinará cuanto tiempo tarda la muestra de Carbono 14 restante (8%) en reducirse hasta el 8% (es decir, el 0,64% del total). Para ello se utiliza el método del trapecio (Método implícito).

derecha

clear all
%Datos iniciales del problema
y0=0.08;
h=input('Introducir tamaño del paso: ');
t0=0;
i=1;
y(1)=y0;
t(1)=t0;
k=1.24*10^-4;
%Bucle generación vector 't' y método trapecio
while y(i)>0.0064
   tN=t0+i*h;
   t=t0:h:tN;
   y(i+1)=(y(i)-(h/2)*k*y(i))/(1+(h/2)*k);
%Expresión obtenida de despejar y sub(n+1)
% de la fórmula del método del trapecio
   i=i+1;
end
   a=length(y);
   y(a)
   z=t(a-1)
   plot(t,y,'r')
   legend('Cantidad de C14','Location','Best')

3 Periodo de Semidesintegración

En física nuclear se conoce como periodo de semidesintegración al espacio de tiempo que se requiere para que se desintegren la mitad de los núcleos de una muestra inicial de radioisotopos. Utilizando el método de Runge-Kutta, y teniendo en cuenta que no se conoce el valor final del intervalo de tiempo (puesto que es la incognita que buscamos), se ejecuta un bucle while que se interrumpe cuando la cantidad de C14 presente en la muestra se ha reducido a la mitad

derecha

clear all
%Datos iniciales del problema
y0=1;
h=input('Introducir tamaño del paso: ');
t0=0;
i=1;
y(1)=y0;
t(1)=t0;
k=1.24*10^-4;
%Bucle generación vector 't' y método RK-4
while y(i)>0.5
   tN=t0+i*h;
   t=t0:h:tN;
   K1=-k*y(i);
   K2=-k*(y(i)+(1/2)*K1*h);
   K3=-k*(y(i)+(1/2)*K2*h);
   K4=-k*(y(i)+K3*h);
   y(i+1)=y(i)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
   i=i+1;
end
   a=length(y);
   y(a)
   z=t(a-1);
   z
   plot(t,y,'r')
   legend('Cantidad de C14','Location','Best')

4 Descomposición Compuesta

4.1 euler

La ecuación del calor fue propuesta por Fourier en 1807, pero no sería hasta 1822 cuando la academia decidió publicarla. Esta ecuación es un modelo matemático que describe la evolución de la temperatura en un cuerpo sólido en función del tiempo y del espacio. En matemáticas representa una ecuación parabólica, dada por una ecuación en derivadas parciales lineales de segundo orden y de coeficientes constantes:

donde a=-1; e=1; b=c=d=f=0. Consideramos una varilla de longitud L de un cierto material, de grosor constante. Está orientada en la dirección del eje x, desde x=0 a x=L. La varilla es conductora de calor,por lo que entre dos zonas de ella a diferente temperatura hay un intercambio de energía térmica en forma de calor. En nuestro caso, consideramos una varilla delgada de longitud L=3, y cuyos extremos est�an colocados sobre objetos que mantienen una temperatura constante de 0 y 10 grados respectivamente. Inicialmente la temperatura de la varilla viene dada por u 0 ( x ) = 10 x= 3 salvo en su tercio central donde la temperatura ha subido hasta los 100 grados. Se Suponemos que la varilla es delgada y tiene su superficie lateral aislada t ́ermicamente. Podemos entonces pensar que todas las cantidades t ́ermicas son constantes a los largo de cada secci ́on transversal, y ver la varilla como un objeto unidimensional. La energ ́ıa t ́ermica de la varilla va a depender entonces de x ∈ [0 , L ] y t . Designamos por u ( x, t ) la temperatura de la secci ́on de la varilla que dista x ≥ 0 del extremos x = 0 cuando ha pasado un tiempo t ≥ 0. Tomemos un trozo de varilla entre las secciones x y x + ∆ x , que des- ignaremos por [ x, x + ∆ x ]. Pensamos en ∆ x , que mide la anchura del trozo de varilla, como una cantidad muy peque ̃na. Vamos a ver la cantidad de energ ́ıa t ́ermica que hay en el trozo de la varilla [ x, x + ∆ x ] INSERTAR SISTEMA

derecha

%Datos iniciales
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
N=round((tN-t0)/h);
y0=[1;0];
%Generación del vector de tiempo 't' e 'y'
t=t0:h:tN;
y=zeros(2,N+1);
y(:,1)=y0;
c(1)=0;
A=[-5 0;5 -2]; %Matriz de coeficientes del sistema
%Bucle Euler
for i=1:N
    y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));
    c(i+1)=1-y(1,i)-y(2,i);
end
plot(t,y(1,:))
hold on
plot(t,y(2,:),'r')
plot(t,c,'g')
legend('[A]','[B]','[C]','location','best')

4.2 trapecio

MAS COSAS

derecha

%Datos iniciales
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
N=round((tN-t0)/h);
y0=[1;0];
%Generación del vector de tiempo 't' e 'y'
t=t0:h:tN;
y=zeros(2,N+1);
y(:,1)=y0;
c(1)=0;
A=[-5 0;5 -2]; %Matriz de coeficientes del sistema
%Bucle trapecio
for i=1:N
    Z=eye(2)-(h/2)*A;
    y(:,i+1)=inv(Z)*(y(:,i)+(h/2)*A*y(:,i));
    c(i+1)=1-y(1,i)-y(2,i);
end
plot(t,y(1,:))
hold on
plot(t,y(2,:),'r')
plot(t,c,'g')
legend('[A]','[B]','[C]','location','best')

5 Cambio de las k1 y k2

5.1 euler

MAS COSAS

derecha

%Datos iniciales
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
N=round((tN-t0)/h);
y0=[1;0];
%Generación del vector de tiempo 't' e 'y'
t=t0:h:tN;
y=zeros(2,N+1);
y(:,1)=y0;
c(1)=0;
A=[-2 0;2 -5]; %Matriz de coeficientes del sistema
%Bucle Euler
for i=1:N
    y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));
    c(i+1)=1-y(1,i)-y(2,i);
end
plot(t,y(1,:))
hold on
plot(t,y(2,:),'r')
plot(t,c,'g')
legend('[A]','[B]','[C]','location','best')

5.2 trapecio

MAS COSAS

derecha

%Datos iniciales
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
N=round((tN-t0)/h);
y0=[1;0];
%Generación del vector de tiempo 't' e 'y'
t=t0:h:tN;
y=zeros(2,N+1);
y(:,1)=y0;
c(1)=0;
A=[-2 0;2 -5]; %Matriz de coeficientes del sistema
%Bucle trapecio
for i=1:N
    Z=eye(2)-(h/2)*A;
    y(:,i+1)=inv(Z)*(y(:,i)+(h/2)*A*y(:,i));
    c(i+1)=1-y(1,i)-y(2,i);
end
plot(t,y(1,:))
hold on
plot(t,y(2,:),'r')
plot(t,c,'g')
legend('[A]','[B]','[C]','location','best')