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| − | === Introducción, hipótesis inciciales ===
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| − | En el desarrollo de una epidemia, se distinguen dos tipos de individuos. Los que ya han contraído la enfermedad, que llamaremos I(t); y los que son susceptibles de contraerla, a los que llamaremos S(t). Donde t es el tiempo.
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| − | Se dan dos hipótesis para realizar este estudio:
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| − | 1. La población de personas infectadas se altera por el fallecimiento o la cura de las mismas. En ambos casos, la tasa de cambio depende del número de personas infectadas.
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| − | 2. La tasa de individuos que pasan de ser susceptibles a contraer la enfermedad a estar infectados es proporcional a la interacción entre el número de individuos en ambas clases.
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| − | Realizaremos el estudio gracias al siguiente sistema de ecuaciones en el que se muestran las variaciones de ambos individuos respecto al tiempo t:
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| − | \begin{matrix}
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| − | \frac{dS}{dt} = -aSI \\
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| − | \frac{dI}{dt} = aSI-bI-cI
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| − | \end{matrix}
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| − | donde a,b y c son parámetros. Los interpretamos como:
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| − | \frac{dI}{dt} es la variacion de la población infectada. Esta población únicamente se ve alterada por:
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| − | * aSI ( con signo positivo), donde SI es la interacción entre ambas poblaciones.
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| − | * -bI (con signo negativo) que son los que fallecen. Por lo tanto, 'b' es la tasa de fallecimiento.
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| − | * -cI (con signo negativo) que son los que se han curado. Es decir, 'c' es la tasa de curación.
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| − | Para interpretar 'a' observamos el sistema y la segunda hipótesis:
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| − | \frac{dI}{dt} = (aS-b-c)I
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| − | aS serán los individuos susceptibles convertidos en infectados. Por tanto, a es la tasa de contagio en la población susceptible.
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| − | === Resolución del PVI mediante los métodos de Euler y Trapecio ===
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| − | === Resolución del modelo completo mediante Euler ===
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| − | === Resolución del modelo completo mediante Runge-Kutta de orden 4 ===
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| − | {{matlab|codigo=
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| − | %Trabajo Ecuaciones diferenciales
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| − | % Considerando:
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| − | %I(t): Población de individuos infectados
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| − | %S(t: Población susceptible de ser infectada
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| − | %los parámetros a=Tasa de contagio entre S e I,b=Tasa de
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| − | %fallecimiento de personas infectadas,c=Tasa de cura de personas infectadas
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| − | clear all clc
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| − | format long
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| − | S0=input('introduce un valor inicial S0:');
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| − | I0=input('introduce un valor inicial I0:');
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| − | h=input('introduce tamano de paso:');
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| − | a=0.003;
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| − | b=0.3;
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| − | c=0.01;
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| − | %Intervalo de tiempos
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| − | t0=0;
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| − | tN=40;
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| − | %Calculamos número de subintervalos
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| − | N=(tN-t0)/h;
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| − | %Creo un vector t
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| − | t=t0:h:tN;
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| − | %preparo vectores S,I para guardar las soluciones uso el comando zeros(filas,columnas)
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| − | S=zeros(1,N+1);%vector incognita 1
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| − | I=zeros(1,N+1);%vector incognita 2
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| − | S(1)=S0;
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| − | I(1)=I0;
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| − | for i=1:N
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| − | K1=-a*S(i)*I(i);
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| − | K2=-a*(S(i)+(1/2)*K1*h)*(I(i)+(1/2)*K1*h);
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| − | K3=-a*(S(i)+(1/2)*K2*h)*(I(i)+(1/2)*K2*h);
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| − | K4=-a*(S(i)+K3*h)*(I(i)+K3*h);
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| − | S(i+1)=S(i)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);%Runge-Kutta orden 4 para S
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| − | K5=a*S(i)*I(i)-b*I(i)-c*I(i);
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| − | K6=a*(S(i)+(1/2)*K5*h)*(I(i)+(1/2)*K5*h)-b*(I(i)+(1/2)*K5*h)-c*(I(i)+(1/2)*K5*h);
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| − | K7=a*(S(i)+(1/2)*K6*h)*(I(i)+(1/2)*K6*h)-b*(I(i)+(1/2)*K6*h)-c*(I(i)+(1/2)*K6*h);
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| − | K8=a*(S(i)+K7*h)*(I(i)+K7*h)-b*(I(i)+K7*h)-c*(I(i)+K7*h);
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| − | I(i+1)=I(i)+(h/6)*(K5+2*K6+2*K7+K8);%Runge-Kutta orden 4 para I
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| − | end
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| − | [t',S',I']
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| − | hold on
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| − | plot (t,S)
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| − | plot(t,I,'r')
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| − | legend('Susceptibles','Infectados','Location','best');%Optimizar
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| − | hold off
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| − |
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| − | }}
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