Diferencia entre revisiones de «Modelos epidemiológicos. Grupo C14»

Revisión del 20:49 4 mar 2015

En esta página discutiremos y analizaremos un modelo epidemiológico mediante métodos de cálculo numérico.

El modelo se basa en las siguientes hipótesis:

- El número de personas infectadas sólo se altera por el fallecimiento o cura de éstas, y se ve afectada por el número de contagios entre la población de riesgo.

- La tasa de individuos que pasan de la población de riesgo a estar infectados es proporcional a la interacción entre el número de individuos entre ambas clases.

1 . INTERPRETACIÓN DEL MODELO

Matemáticamente el modelo viene definido por las siguientes ecuaciones:

[math] \left\{\begin{matrix} \frac{dS}{dt}=-aSI\\ \frac{dI}{dt}=aSI-bI-cI \end{matrix}\right. [/math]

Donde:

-La función [math] S [/math] indica la cantidad de personas en riesgo de ser infectadas e [math] I [/math] el número de individuos que ya han contraído la enfermedad.

- El valor de [math] a [/math] es un coeficiente relacionado con la probabilidad de contagio cuando se juntan individuos de la población de riesgo con la de infectados. El coeficiente [math] b [/math] es el porcentaje de infectados que sanan en una unidad de tiempo, en este caso días, y el [math] c [/math] el porcentaje de infectados que fallece cada día.

2 . CASO DE POBLACIÓN DE RIESGO CONSTANTE

Conocido el dato de población de riesgo y siendo éste constante,el problema queda simplificado a una única ecuación diferencial lineal y de coeficientes constantes.
Para resolver dicha ecuación, se han utilizado los métodos de Euler y trapecio, dados los siguientes datos iniciales:

[math] \left\{\begin{matrix} I_{0}=2000\\ a=0.003\\ b=0.3\\ c=0.01 \end{matrix}\right.[/math]

Éste es el programa que resuelve la ecuación mediante el método de Euler:
programa

Esta última parte del programa calcula el tiempo que tarde en reducirse en número de infectados a la cuarta parte por el método de Euler.
programa tiempo

Y éste el que lo resuelve por el método del trapecio:
programa

Por este método también se puede saber el tiempo que tarda en reducirse a la cuarta parte.
programa tiempo

2.1 . [math] S=0 [/math]

Debido a que la ecuación lineal es de coeficientes constantes, es sencillo obtener la solución de manera analítica, resultando:

[math] I=2000e^{-0.31t}[/math]
La gráfica obtenida es:
imagen

Para [math] S=0 [/math] el tiempo que tarda en reducirse el número de infectados a la cuarta parte es: tiempo

2.2 . [math] S=100 [/math]

Resuelto analíticamente: [math] I=2000e^{-0.01t}[/math]
La gráfica devuelta es:
imagen

Para [math] S=100 [/math] el tiempo en reducirse es: tiempo

2.3 . [math] S=200 [/math]

Al resolver la ecuación de manera analítica [math] I=2000e^{0.29t}[/math]
La gráfica resultante es:
imagen
Se demuestra que a partir de [math] S\geq 104 [/math] la evolución de los infectados crecerá exponencialmente.

[math]\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t}= aSI-bI-cI[/math]

Sustituyendo en dicha ecuación los valores iniciales,

[math]\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t}= 0.003SI-0.3I-0.01I[/math]

La ecuación anterior alcanza su punto crítico aproximadamente en [math] S=104 [/math] .

Análogamente para [math] S=200 [/math] el tiempo que tarda es: tiempo

3 . ANÁLISIS DEL SISTEMA POR EL MÉTODO DE EULER

Para este análisis, consideramos el modelo completo, teniendo en cuenta ambas ecuaciones del sistema y utilizando los siguientes datos:

[math]\left\{\begin{matrix} a=0.003\\ b=0.3\\ c=0.01\\ t\epsilon [0,40] \end{matrix}\right.[/math]

Además, se han analizado distintas soluciones a partir de la variación del paso: [math]h=10^{-1}, h=10^{-2}, h=10^{-3}, h=10^{-4}[/math]

Éste ha sido el programa utilizado:
Insertar programa

3.1 . [math] (S_{0},I_{0})=(800,20) [/math]

Insertar gráficas para las distintas h
El programa además, devuelve el valor máximo de enfermos esperados y el momento en el que ésto ocurrirá. Se tienen en cuenta los datos devueltos por el programa con el menor paso, ya que serán los más exactos.

3.2 . [math] (S_{0},I_{0})=(10000,40) [/math]

Insertar gráficas para las distintas h
Se puede observar, que a partir del paso [math]h=?[/math], el resultado obtenido por la gráfica es incongruente, debido a que el valor del número de personas en riesgo desciende rápidamente. Ésto ocurre porque el número inicial de personas infectadas [math]I_{0}[/math] es muy elevado y al aumentar el valor del paso, el programa se hace cada vez mas inexacto, provocando que la derivada en el tramo sea muy grande, influyendo por tanto en la pendiente de la gráfica.

4 . ANÁLISIS DEL SISTEMA POR RUNGE-KUTTA

A continuación se resuelve la ecuación por el método de Runge-Kutta, de cuarto orden.
programa
Se puede comparar este método con Euler para diferentes tiempos.
programa?
Usar el método trapezoidal, o cualquier otro método implícito, conlleva excesivo trabajo matemático y operativo producido por su alta complejidad y duración. Esto conlleva que la utilización de métodos como Euler o Runge-Kutta sea predominante a la hora de resolver este tipo de sistemas.

5 . ANÁLISIS DEL SISTEMA CON PARÁMETRO [math] a [/math] VARIABLE

[math] a(t)=\frac{0.003}{1+t} [/math]

6 . CALIBRACIÓN DEL COEFICIENTE [math] a [/math]