Diferencia entre revisiones de «Modelos epidemiológicos. Grupo C14»

Revisión del 20:12 4 mar 2015

En esta página discutiremos y analizaremos un modelo epidemiológico mediante métodos de cálculo numérico.

El modelo se basa en las siguientes hipótesis:

- El número de personas infectadas sólo se altera por el fallecimiento o cura de éstas, y se ve afectada por el número de contagios entre la población de riesgo.

- La tasa de individuos que pasan de la población de riesgo a estar infectados es proporcional a la interacción entre el número de individuos entre ambas clases.

1 . INTERPRETACIÓN DEL MODELO

Matemáticamente el modelo viene definido por las siguientes ecuaciones:

[math] \left\{\begin{matrix} \frac{dS}{dt}=-aSI\\ \frac{dI}{dt}=aSI-bI-cI \end{matrix}\right. [/math]

Donde:

-La función [math] S [/math] indica la cantidad de personas en riesgo de ser infectadas e [math] I [/math] el número de individuos que ya han contraído la enfermedad.

- El valor de [math] a [/math] es un coeficiente relacionado con la probabilidad de contagio cuando se juntan individuos de la población de riesgo con la de infectados. El coeficiente [math] b [/math] es el porcentaje de infectados que sanan en una unidad de tiempo, en este caso días, y el [math] c [/math] el porcentaje de infectados que fallece cada día.

2 . CASO DE POBLACIÓN DE RIESGO CONSTANTE

Conocido el dato de población de riesgo y siendo éste constante,el problema queda simplificado a una única ecuación diferencial lineal y de coeficientes constantes.
Para resolver dicha ecuación, se han utilizado los métodos de Euler y trapecio, dados los siguientes datos iniciales:

[math] \left\{\begin{matrix} I_{0}=2000\\ a=0.003\\ b=0.3\\ c=0.01 \end{matrix}\right.[/math]

Éste es el programa que resuelve la ecuación mediante el método de Euler:

Esta última parte del programa calcula el tiempo que tarde en reducirse en número de infectados a la cuarta parte por el método de Euler.

Y éste el que lo resuelve por el método del trapecio:

Por el método del trapecio también podemos saber el tiempo que tarda en reducirse I a la cuarta parte.

2.1 . [math] S=0 [/math]

Debido a que la ecuación lineal es de coeficientes constantes, es sencillo obtener la solución de manera analítica, resultando:

[math] I=2000e^{-0.31t}[/math]

Para [math] S=0 [/math] el tiempo que tarda en reducirse el número de infectados a la cuarta parte es

===. [math] S=100 [/math]===

Resuelto analíticamente: [math] I=2000e^{-0.01t}[/math]

Para [math] S=100 [/math] el tiempo es

===. [math] S=200 [/math]===

Al resolver la ecuación de manera analítica [math] I=2000e^{0.29t}[/math]
Podemos demostrar que a partir de [math] S\geq 104 [/math] la evolución de los infectados crecerá exponencialmente.

[math]\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t}= aSI-bI-cI[/math]

Sustituyendo en dicha ecuación los valores iniciales,

[math]\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t}= 0.003SI-0.3I-0.01I[/math]

La ecuación anterior alcanza su punto crítico aproximadamente en [math] S=104 [/math] .

Análogamente para [math] S=200 [/math] el tiempo es

3 . ANÁLISIS DEL SISTEMA POR EL MÉTODO DE EULER

Para este análisis, consideramos el modelo completo, teniendo en cuenta ambas ecuaciones del sistema y utilizando los siguientes datos:

[math]\left\{\begin{matrix} a=0.003\\ b=0.3\\ c=0.01\\ t\epsilon [0,40] \end{matrix}\right.[/math]

Además, se han analizado distintas soluciones a partir de la variación del paso: [math]h=10^{-1}, h=10^{-2}, h=10^{-3}, h=10^{-4}[/math]

3.1 . [math] (S_{0},I_{0})=(800,20) [/math]

3.2 . [math] (S_{0},I_{0})=(10000,40) [/math]

4 . ANÁLISIS DEL SISTEMA POR RUNGE-KUTTA

5 . ANÁLISIS DEL SISTEMA CON PARÁMETRO [math] a [/math] VARIABLE

[math] a(t)=\frac{0.003}{1+t} [/math]

6 . CALIBRACIÓN DEL COEFICIENTE [math] a [/math]