Diferencia entre revisiones de «Discusión:Modelos Epidemiológicos Grupo 3A»

Revisión del 14:19 2 mar 2015

1 Introducción, hipótesis inciciales

En el desarrollo de una epidemia, se distinguen dos tipos de individuos. Los que ya han contraído la enfermedad, que llamaremos I(t); y los que son susceptibles de contraerla, a los que llamaremos S(t). Donde t es el tiempo. Se dan dos hipótesis para realizar este estudio: 1. La población de personas infectadas se altera por el fallecimiento o la cura de las mismas. En ambos casos, la tasa de cambio depende del número de personas infectadas. 2. La tasa de individuos que pasan de ser susceptibles a contraer la enfermedad a estar infectados es proporcional a la interacción entre el número de individuos en ambas clases.

Realizaremos el estudio gracias al siguiente sistema de ecuaciones en el que se muestran las variaciones de ambos individuos respecto al tiempo t:

                        \begin{matrix}
\frac{dS}{dt} = -aSI   \\ 
\frac{dI}{dt} = aSI-bI-cI 

\end{matrix}

donde a,b y c son parámetros. Los interpretamos como:

\frac{dI}{dt} es la variacion de la población infectada. Esta población únicamente se ve alterada por:

• aSI ( con signo positivo), donde SI es la interacción entre ambas poblaciones.
• -bI (con signo negativo) que son los que fallecen. Por lo tanto, 'b' es la tasa de fallecimiento.
• -cI (con signo negativo) que son los que se han curado. Es decir, 'c' es la tasa de curación.

Para interpretar 'a' observamos el sistema y la segunda hipótesis:

                         \frac{dI}{dt} = (aS-b-c)I

aS serán los individuos susceptibles convertidos en infectados. Por tanto, a es la tasa de contagio en la población susceptible.

2 Resolución del PVI mediante los métodos de Euler y Trapecio

3 Resolución del modelo completo mediante Euler

4 Resolución del modelo completo mediante Runge-Kutta de orden 4

%Trabajo Ecuaciones diferenciales
% Considerando:
%I(t): Población de individuos infectados
%S(t: Población susceptible de ser infectada
%los parámetros a=Tasa de contagio entre S e I,b=Tasa de
%fallecimiento de personas infectadas,c=Tasa de cura de personas infectadas
clear all clc
format long
S0=input('introduce un valor inicial S0:');
I0=input('introduce un valor inicial I0:');
h=input('introduce tamano de paso:');
a=0.003;
b=0.3;
c=0.01;
%Intervalo de tiempos
t0=0;
tN=40;
%Calculamos número de subintervalos
N=(tN-t0)/h;
%Creo un vector t 
t=t0:h:tN;
%preparo vectores S,I para guardar las soluciones uso el comando zeros(filas,columnas)
S=zeros(1,N+1);%vector incognita 1
I=zeros(1,N+1);%vector incognita 2
S(1)=S0;
I(1)=I0;
for i=1:N
    K1=-a*S(i)*I(i);
    K2=-a*(S(i)+(1/2)*K1*h)*(I(i)+(1/2)*K1*h);
    K3=-a*(S(i)+(1/2)*K2*h)*(I(i)+(1/2)*K2*h);
    K4=-a*(S(i)+K3*h)*(I(i)+K3*h);
    S(i+1)=S(i)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);%Runge-Kutta orden 4 para S
    K5=a*S(i)*I(i)-b*I(i)-c*I(i);
    K6=a*(S(i)+(1/2)*K5*h)*(I(i)+(1/2)*K5*h)-b*(I(i)+(1/2)*K5*h)-c*(I(i)+(1/2)*K5*h);
    K7=a*(S(i)+(1/2)*K6*h)*(I(i)+(1/2)*K6*h)-b*(I(i)+(1/2)*K6*h)-c*(I(i)+(1/2)*K6*h);
    K8=a*(S(i)+K7*h)*(I(i)+K7*h)-b*(I(i)+K7*h)-c*(I(i)+K7*h);
    I(i+1)=I(i)+(h/6)*(K5+2*K6+2*K7+K8);%Runge-Kutta orden 4 para I
end
[t',S',I']
hold on
plot (t,S)
plot(t,I,'r')
legend('Susceptibles','Infectados','Location','best');%Optimizar
hold off

5 Resolución del modelo completo mediante Heun con a(t) una función dependiente del tiempo

%Trabajo Ecuaciones diferenciales
% Considerando:
%I(t): Población de individuos infectados
%S(t: Población susceptible de ser infectada
%los parámetros a=Tasa de contagio,b=Tasa de
%fallecimiento de personas infectadas,c=Tasa de cura de personas infectadas
clear all clc
format long
S0=1600;
I0=40;
h=input('introduce tamano de paso:');
b=0.3;
c=0.01;
%Intervalo de tiempos
t0=0;
tN=40;
%Calculamos número de subintervalos
N=(tN-t0)/h;
%Creo un vector t 
t=t0:h:tN;
%preparo vector y para guardar las soluciones uso el comando zeros(filas,columnas)
S=zeros(1,N+1);%vector incognita 1
I=zeros(1,N+1);%vector incognita 2
S(1)=S0;
I(1)=I0;
for i=1:N
K1=-(0.003./(1+t(i)))*(S(i)*I(i));
K2=-(0.003./(1+t(i))).*(S(i)+K1*h)*(I(i)+K1*h);
K3=(0.003./(1+t(i))).*(S(i)*I(i)-b*I(i)-c*I(i));
K4=(0.003./(1+t(i))).*(S(i)+K3*h)*(I(i)+K3*h)-b*(I(i)+K3*h)-c*(I(i)+K3*h);
S(i+1)=S(i)+(h/2)*(K1+K2);
I(i+1)=I(i)+(h/2)*(K3+K4);
end
[t',S',I']
hold on
plot(t,S);
plot(t,I,'r');
legend('Susceptibles','Infectados','Location','best');%Optimizar
hold off

6 Calibración del parámetro 'a' en base a una experiencia previa

clear clc format long %Defino valores iniciales S0=1600; I0=40; h1=0.0001;%tamaño de paso para intervalo de a a=0.0005:h1:0.002; b=0.3; c=0.01; h=0.1;%tamaño de paso para t %Intervalo de tiempos t0=0; tN=40; %Calculamos número de subintervalos N=(tN-t0)/h; %Creo un vector t t=t0:h:tN; %preparo vector S e I para guardar las soluciones S=zeros(1,N+1);%vector incognita 1 I=zeros(1,N+1);%vector incognita 2 S(1)=S0; I(1)=I0; %preparo vectores m1(máximos de I) m2(tiempos de los máximos) m1=zeros(1,length(a)); m2=zeros(1,length(a)); %Bucle for: calcula valores maximos de I para cada valor 'a' del intervalo y los almacena %junto con su tiempo correspondiente en los vectores m1 y m2 %respectivamente.Metodo numérico de Heun for j=1:length(a) for i=1:N K1=-(a(j))*(S(i)*I(i)); K2=-(a(j)).*(S(i)+K1*h)*(I(i)+K1*h); K3=(a(j)).*(S(i)*I(i)-b*I(i)-c*I(i)); K4=(a(j)).*(S(i)+K3*h)*(I(i)+K3*h)-b*(I(i)+K3*h)-c*(I(i)+K3*h); S(i+1)=S(i)+(h/2)*(K1+K2); I(i+1)=I(i)+(h/2)*(K3+K4); m1(j)=max(I); m2(j)=t(max(I)==I); end %Bucle if: si la diferencia entre el valor de tiempo para el máximo y 5 es %menor o igual que 0.1 muestra el valor de a, maximo de I y tiempo %correspondiente para los que esto sucede if abs(m2(j)-5)<=0.1

   disp('Valor de a para el cual el máximo está mas próximo a 5:');
   disp(a(j));
   disp('Valor máximo de I correspondiente:');
   disp((m1(j)));
   disp('Valor de tiempo correspondiente:');
   disp((m2(j)));

end end %Grafica con los máximos de I y los tiempos correspondientes plot(m2,m1,'*'); legend('Máximos de infectados','Location','best');%Optimizar

}}