Diferencia entre revisiones de «Modelos Epidemológicos Grupo 4-C»

Revisión del 18:43 1 mar 2015

En el desarrollo de una epidemia se distingue dos tipos de individuos: Los que ya han contraido de la enfermedad I, y los que son susceptibles de contraerla por encontrarse en zona de riesgo S. Consideramos las variables: t tiempo, S(t) población de individuos susceptibles a contraer la enfermedad, I(t) población de individuos infectados; y el sistema:: [math]\frac{dS}{dt}=-aSI[/math]: [math]\frac{dI}{dt}=aSI-bI-cI[/math] Los parámetros a, b y c como:

1. "a":Proporción de la interacción entre personas susceptibles a ser infectados y personas ya infectadas.
2. "b":Proporción de personas que superan la enfermedad.
3. "c":Proporción de personas que mueren a causa de la enfermedad.

1 Método de Euler y Trapecio

Consideramos la ecuación: [math]\frac{dI}{dt}=aSI-bI-cI[/math] Con S=0, es decir, [math]\frac{dI}{dt}=-bI-cI[/math]. Conocidos los valores b=0.3y c=0.01, nos queda el problema de valor inicial siguiente: [math]\frac{dI}{dt}=-bI-cI;[/math]: [math]b=0.3 \\ c=0.01 \\ I_{0}=2000[/math] Aplicamos el método de Euler para resolver la ecuación diferencial utilizamos un intervalo de tiempo de 0 a 50 porque a los 41 días el mínimo de infectados se reduce a cero. Según se interpreta en la gráfica(ayudándonos de un bucle while de matlab) se observa que el número de infectados se reduce a la cuarta parte en 4,5 días. El código matlab utilizado es:

Comparación del método de Euler y del Trapecio

t0=0;
tN=50; % consideramos el intervalo de tiempo [0,50] ya que el numero de infectados será cero a los 41 días
I0=2000;
S=0
h=0.1;
N=round((tN-t0)/h); 
t=t0:h:tN;
I=zeros(1,N+1); %euler 
I(1)=I0;
Z=zeros(1,N+1); % Trapecio
Z(1)=I0;
G=zeros(1,N+1); % Vector para cáculo del tiempo que tarda en reducirse I(i) a la cuarta parte
G(1)=I0;
a=0.003;
b=0.3;
c=0.01;
for i=1:N
 I(i+1)=I(i)+h*(a*S.*I(i)-b.*I(i)-c.*I(i)); %euler
 Z(i+1)=(Z(i).*(1+h/2*(-b-c)))/(1+h/2*(b+c)); %trapecio
end
i=1;
tg0=0;
tg(1)=tg0;
while G(i)>(I0/4)
 G(i+1)=G(i)+h*(a*S.*G(i)-b.*G(i)-c.*G(i));%bucle que calcula el tiempo que tarda en reducirse I(i) a la cuarta parte
 tg(i+1)=tg(i)+h;
 i=i+1;
end
%sacamos tabla de resultados
[t',I',Z'] 
hold on
plot(t,I)
plot(t,Z,'r')
hold off
legend('Euler','Trapecio','Location','best');
disp('Tiempo final:')
disp(tg(end))

Consideramos ahora S=100 constante a lo largo del tiempo y a=0,003, hacemos uso de un codigo de Matlab, como el del apartado anterior para resolver esta ecuación y se interpreta en la gráfica que cuanto mayor sea la población susceptible a contraer la enfermedad, mayor sera el tiempo que tarde en erradicarse.

CODIGO Y GRAFICA

Repetimos el proceso para S=200 constante a lo largo del tiempo y vemos en la gráfica que la ecuación ya no es valida para este valor de S debido a que sobrepasa el límite y la enfermedad no podrá ser erradicada.

2 Método Runge-Kutta

Haciendo uso de este método de cuarto orden para resolver la ecuación [math]\frac{dI}{dt}=-bI-cI[/math] Al comparar el resultado con el método de Euler observamos que los resultados para ambos métodos son muy próximos. No es aconsejable usar un metodo implicito como el trapezoidal debido a que es demasiado complejo despejar la ecuación analíticamente. Por tanto se requiere el uso de un código Matlab.

CODIGO Y GRAFICA

3 Método de Heun

Suponemos ahora que [math]a\left ( t \right )=\frac{0.003}{1+t}[/math]