Diferencia entre revisiones de «Reacciones con autocatálisis. Grupo D12»

Revisión del 18:26 28 feb 2015

1 Introducción

1.1 Objetivos y metodología

1.2 Ley de acción de masas

Dada una reacción química reversible en equilibrio, a temperatura constante, la ley de acción de masas establece que la relación de concentraciones de los reactivos y productos tiene un valor constante.

1.3 Principio de conservación de la masa

En una reacción química ordinaria la masa permanece constante, siendo la masa consumida de los reactivos igual a la masa obtenida de los productos.

2 Reacción 1

Deducir a partir de la ley de accion de masas y del principio de conservacion de la masa que las concentraciones de A y B deben satisfacer las ecuaciones

[math]x'(t)+y'(t)=0[/math]
[math]y'(t)=k_1x(t)y(t)[/math]

.....................

[math]x'(t)+y'(t)=0\quad\quad(1)[/math]

[math]y'(t)=k_1x(t)y(t)\quad\quad(2)[/math]

Integrando (1) obtenemos (3):

[math]\frac{dx(t)}{dt}+\frac{dy(t)}{dt}=0\quad \Rightarrow \quad x(t)+y(t)=k_2\quad \Rightarrow \quad x(t)=k_2-y(t)\quad\quad(3)[/math]

Sustituyendo (3) en (2), obtenemos (4):

[math]y'(t)=k_1x(t)y(t)\quad \Rightarrow \quad y'(t)=k_1(k_2-y(t))y(t)\quad \Rightarrow \quad y'(t)=k_1k_2y(t)-k_1y^2(t)\quad\quad(4)[/math]

Conocemos las concentraciones iniciales de A y de B, por lo que podemos obtener el valor de k₂:

[math]A:\quad x(0)=1 mol/l;\quad\quad B:\quad y(0)=0,01 mol/l[/math]

[math]x(t)+y(t)=k_2\quad \Rightarrow \quad x(0)+y(0)=k_2\quad \Rightarrow \quad 1+0,01=k_2\quad \Rightarrow \quad k_2=1,01[/math]

Por último, conocemos también el valor de k₁, por lo que podremos plantear a continuación el correspondiente PVI:

En el caso de una ecuación diferencial ordinaria, por ejemplo, puede ser:

[math]\frac{d^2y}{dx^2} + 3 y = 1[/math]

sobre el intervalo [0,1] las condiciones de frontera de Neumann toman la forma:

[math]\begin{cases}\frac{dy}{dx}(0) = \alpha_1 \\ \frac{dy}{dx}(1) = \alpha_2 \end{cases}[/math]

donde [math]\alpha_1[/math] y [math]\alpha_2[/math] son números dados.