Diferencia entre revisiones de «Reacciones con Autocatálisis (A5)»

Revisión del 14:47 26 feb 2015

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Reacciones con Autocatálisis. Grupo 5A
Asignatura	Ecuaciones Diferenciales
Curso	Curso 2014-15
Autores	Javier Blanco Villarroel Marta Cavero Guillén Alba Bringas Gil Irene Bendala Sugrañes Paula Botella Andreu
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

Consideraremos una reacción química irreversible en una solución bien mezclada.
Supondremos que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes.
Al inicio se encuentran dos reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C,

[math] A + B \rightarrow C [/math]

Supondremos también que se satisface la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos. En nuestro caso analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero suponiendo que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este proceso como una reacción bimolecular

[math] A + B \rightarrow k . 2B [/math]

en la que B hace al mismo tiempo papel de reactivo y producto.

Llamaremos:

[math] x= A+B[/math]
[math] y= 2B[/math]

Despejando el sistema obtenemos que:
[math] B=\frac{y}{2}[/math]
[math] A=x-\frac{y}{2}[/math]

A partir del principio de conservación de masas sabemos que [math] x+y= cte [/math] por lo que [math] x'+ y' = 0[/math] , quedando demostrada la primera ecuación.

La velocidad de reacción [math] v= k.A.B[/math] y además sabemos que [math]v= y' = -x'[/math]
Del sistema anterior obtenemos que [math] AB=\frac{y}{2}. (x-\frac{y}{2})[/math], sustituyendo:
[math]y' = k.\frac{y}{2}.(x-\frac{y}{2}) [/math]

Gráficaque relaciona la concentración y el tiempo hecha mediante el método de Euler.

%Ejercicio 2.2 Euler
t0=0
tn=10
n=100
h=(tn-t0)/n;
t=t0:h:tn;

y0=1
y=zeros(1,n+1);
y(1)=y0;
yy=y0;

k=1

x0=0.01
x=zeros(1,n+1);
x(1)=x0;
xx=x0;

for i=1:n
   yy=yy+h*(-k*xx.*yy);
   xx=xx+h*k*(xx.*yy);
   y(i+1)=yy;
   x(i+1)=xx;
   end

plot(t,y,'g','linewidth',2) 
title('Concentración - Tiempo','FontName','Berlin sans FB','FontSize', 20);
xlabel('Tiempo (s)','FontSize', 11);
ylabel('Concentración (mol/L)','FontSize', 11);
legend('Concentración de B','Concentración de A','location','east')

Gráfica que relaciona la concentración y el tiempo hecha mediante el método del trapecio.

%Ejercicio 2.3 trapecio
t0=0
tn=10
n=100
h=(tn-t0)/n;
t=t0:h:tn;

y0=1
y=zeros(1,n+1);
y(1)=y0;
yy=y0;

k=1

x0=0.01;
x=zeros(1,n+1);
x(1)=x0;
xx=x0;

for i=1:n
   yy=(((2*yy)/(-k*h))+xx.*yy)/((-2/(k*h))+(-k*xx));
   xx=(((2*xx)/(k*h))+xx.*yy)/((2/(k*h))-(k*yy));
   y(i+1)=yy;
   x(i+1)=xx;
   end

plot(t,x,'k','linewidth',2)
hold on
plot(t,y,'c','linewidth',2) 

title('Concentración - Tiempo (Trapecio)','FontName','Berlin sans FB','FontSize', 20);
xlabel('Tiempo (s)','FontSize', 11);
ylabel('Concentración (mol/L)','FontSize', 11);
legend('Concentración de B','Concentración de A','location','best'

Gráfica que relaciona la concentración y el tiempo hecha mediante el método de Runge-Kutta.

%Ejercicio 2.3 Runge Kutta
t0=0
tn=10
n=100
h=(tn-t0)/n;
t=t0:h:tn;

y0=1
y=zeros(1,n+1);
y(1)=y0;
yy=y0;

k=1

x0=0.01
x=zeros(1,n+1);
x(1)=x0;
xx=x0;

for i =1:n

 k1A=(-k*xx.*yy);
 k1B=(k*xx.*yy);
 y1=yy+h*k1A/2;
 x1=xx+h*k1B/2
 
 k2A=(-k*x1.*y1);
 k2B=(k*x1.*y1);
 y2=yy+h*k2A/2;
 x2=xx+h*k2B/2;
 
 k3A=(-k*x2.*y2);
 k3B=(k*x2.*y2);
 y3=yy+h*k3A/2;
 x3=xx+h*k3B/2;
 
 k4A=(-k*x3.*y3);
 k4B=(k*x3.*y3);
 
 yy=yy+((h/6)*(k1A+2*k2A+2*k3A+k4A));
 xx=xx+((h/6)*(k1B+2*k2B+2*k3B+k4B));
 y(i+1)=yy;
 x(i+1)=xx;
 end

figure(1)   
plot(t,x,'y','linewidth',2)
hold on
plot(t,y,'m','linewidth',2) 

title('Concentración - Tiempo (Runge-Kutta)','FontName','Berlin sans FB','FontSize', 20);
xlabel('Tiempo (s)','FontSize', 11);
ylabel('Concentración (mol/L)','FontSize', 11);
legend('Concentración de B','Concentración de A','location','best')

Línea con sangría

1 Apartado 4

Gráfica que relaciona relaciona la variación de la concentración de los dos compuestos de la mezcla con el tiempo.

t0=0; tf=10;
w0=[1;0.01];
h=0.1; N=(tf-t0)/h;
t=t0:h:tf;
w=zeros(2,N+1); %las filas es el número de  incógnitas en el sistema
w(:,1)=w0;
ww=w0;

%Euler

for n=1:N
    
    F=[-1*ww(1)*ww(2);1*ww(1)*ww(2)];
    
    ww=ww+h*F;
    w(:,n+1)=ww;
end

subplot(1,2,1)
plot(t,w,'*'); %MATLAB dibuja una grágica para cada columna, NO poner color para que nos ponga cada una de un colo
legend('Concentración de A','Concentración de B', 'location','best')
xlabel('Tiempo (s)','FontSize', 11);
ylabel('Concentración (mol/L)','FontSize', 11);
title('Concentración - Tiempo (Euler)','FontName','Berlin sans FB','FontSize', 10);

%Runge Kutta

z0=[1;0.01]; %para volver a empezar
z=zeros(2,N+1); %las filas es el número de  incógnitas en el sistema
z(:,1)=z0;
zz=z0;

for n=1:N
    
    F=[-1*zz(1)*zz(2);1*zz(1)*zz(2)];
     
    k1=F;
    
    z1=F+(1/2)*k1*h;
    k2=z1;
    
    z2=F+(1/2)*k2*h;
    k3=z2;
    
    z3=F+k3*h;
    k4=z3;
    
    zz=zz+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);
    z(:,n+1)=zz;

end

subplot(1,2,2)
plot(t,z,'o')
legend('Concentración de A','Concentración de B', 'location','best')
xlabel('Tiempo (s)','FontSize', 11);
ylabel('Concentración (mol/L)','FontSize', 11);
title('Concentración - Tiempo (Runge-Kutta)','FontName','Berlin sans FB','FontSize', 10);

h=0.01

2 Apartado 6

t0=0; 
tf=200;
h=0.01; 
N=(tf-t0)/h;
t=t0:h:tf;
A0=5; 
X0=5*(10^-4); 
Y0=10^(-5); 
B0=0;

A=zeros(1,N+1); 
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);

A(1)=A0; 
X(1)=X0; 
Y(1)=Y0; 
B(1)=B0;


K1=0.1; K2=K1; K3=K1/2;

for i=1:N
X(i+1)=X(i)+h*(K1*A(i)*X(i)-K2*X(i)*Y(i));
Y(i+1)=Y(i)+h*(K2*X(i)*Y(i)-K3*Y(i));
B(i+1)=B(i)+h*(K3*Y(i));
A(i+1)= A(i)+h*(-K1*A(i)*X(i));
end

hold on
plot(t,A,'-r'); 
plot(t,X,'-g');
plot(t,Y,'-y');
plot(t,B,'-');
hold off

xlabel('Tiempo (s)','FontSize', 11);
ylabel('Concentración (mol/L)','FontSize', 11);
title('Concentración - Tiempo (Euler)','FontName','Berlin sans FB','FontSize', 20);
legend('Concentración de A','Concentración de X', 'Concentración de Y', 'Concentración de B', 'location','east')

t0=0; 
tf=200;
h=0.001; 
N=(tf-t0)/h;
t=t0:h:tf;
A0=5; 
X0=5*(10^-4); 
Y0=10^(-5); 
B0=0;

A=zeros(1,N+1); 
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);

A(1)=A0; 
X(1)=X0; 
Y(1)=Y0; 
B(1)=B0;


K1=0.1; K2=K1; K3=K1/2;

for i=1:N
X(i+1)=X(i)+h*(K1*A(i)*X(i)-K2*X(i)*Y(i));
Y(i+1)=Y(i)+h*(K2*X(i)*Y(i)-K3*Y(i));
B(i+1)=B(i)+h*(K3*Y(i));
A(i+1)= A(i)+h*(-K1*A(i)*X(i));
end

hold on
plot(t,A,'-r'); 
plot(t,X,'-g');
plot(t,Y,'-y');
plot(t,B,'-');
hold off

xlabel('Tiempo (s)','FontSize', 11);
ylabel('Concentración (mol/L)','FontSize', 11);
title('Concentración - Tiempo (Euler)','FontName','Berlin sans FB','FontSize', 20);
legend('Concentración de A','Concentración de X', 'Concentración de Y', 'Concentración de B', 'location','east')

3 Apartado 7

Gráfica que relaciona relaciona la variación de la concentración de los cuatro compuestos de la mezcla con el tiempo.

t0=0; tf=200;
h=0.01; N=(tf-t0)/h;
t=t0:h:tf;

A0=5; X0=5*(10^-4); Y0=10^(-5); B0=0;

A=zeros(1,N+1); 
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);

A(1)=A0; X(1)=X0; Y(1)=Y0; B(1)=B0;
aa=A0; xx=X0; yy=Y0; bb=B0;

K1=0.1; K2=K1; K3=K1/2;

for n=1:N
    
   K1A=-K1*aa*xx;
   K2A=K1A+K1A*h;
   
   K1X=K1*aa*xx-K2*xx*yy;
   K2X=K1X+K1X*h;
   
   K1Y=K2*xx*yy-K3*yy;
   K2Y=K1Y+K1Y*h;
   
   K1B=K3*yy;
   K2B=K1B+K1B*h;
    
    
   aa=aa+0.5*h*(K1A+K2A);
   xx=xx+0.5*h*(K1X+K2X);
   yy=yy+0.5*h*(K1Y+K2Y);
   bb=bb+0.5*h*(K1B+K2B);
   
   A(n+1)=aa;
   X(n+1)=xx;
   Y(n+1)=yy;
   B(n+1)=bb;

end


plot(t,A,'*r'); 
hold on
plot(t,X,'*g');
plot(t,Y,'*y');
plot(t,B,'*');
hold off

xlabel('Tiempo (s)','FontSize', 11);
ylabel('Concentración (mol/L)','FontSize', 11);
title('Concentración - Tiempo (Heun)','FontName','Berlin sans FB','FontSize', 20);
legend('Concentración de A','Concentración de X', 'Concentración de Y', 'Concentración de B', 'location','best')

@@ Línea 1: / Línea 1: @@
 {{ TrabajoED | Reacciones con Autocatálisis. Grupo 5A | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] |Javier Blanco Villarroel<br />Marta Cavero Guillén<br />Alba Bringas Gil<br />Irene Bendala Sugrañes<br />Paula Botella Andreu}}
-Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos que la reacción ocurre para un volumen y temperatura
+Consideraremos una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. <br />
-constantes. Al inicio se encuentran dos reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se
+Supondremos que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. <br />
+Al inicio se encuentran dos reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se
 conoce como una reacción bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C,<br />
-A + B \rightarrow C:<br />
+<math> A + B \rightarrow C </math> <br />
 Supondremos también que se satisface la ley de acción de masas que establece que la velocidad de
 reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.
-En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero suponiendo
+En nuestro caso analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero suponiendo
 que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este proceso como una
-reacción bimolecular<br />
+reacción bimolecular <br />
+<math> A + B \rightarrow k . 2B </math><br />
+en la que B hace al mismo tiempo papel de reactivo y producto.<br />
+Llamaremos:<br />
+<math> x= A+B</math><br />
+<math> y= 2B</math><br />
+Despejando el sistema obtenemos que:<br />
+<math> B=\frac{y}{2}</math><br />
+<math> A=x-\frac{y}{2}</math><br />
+A partir del principio de conservación de masas sabemos que <math> x+y= cte </math> por lo que <math> x'+ y' = 0</math> , quedando demostrada la primera ecuación.<br />
-A + B \rightarrow k1*2B;<br />
+La velocidad de reacción <math> v= k.A.B</math> y además sabemos que <math>v= y' = -x'</math><br />
+Del sistema anterior obtenemos que <math> AB=\frac{y}{2}. (x-\frac{y}{2})</math>, sustituyendo:<br />
+<math>y' = k.\frac{y}{2}.(x-\frac{y}{2}) </math><br />
-en la que B hace al mismo tiempo papel de reactivo y producto
-[[Archivo:2.2b.png|500px|thumb|best|Gráfica que relaciona la concentración y el tiempo hecha mediante el método de Euler.]]
+[[Archivo:2.2b.png|500px|thumb|best|Gráficaque relaciona la concentración y el tiempo hecha mediante el método de Euler.]]
 {{matlab|codigo=
 %Ejercicio 2.2 Euler
@@ Línea 218: / Línea 242: @@
 }}
-[[Archivo:Apartado61.png|marco|h=0.01]]
+[[Archivo:Apartado61.png|miniaturadeimagen|h=0.01]]
 == Apartado 6 ==
 {{matlab|codigo=
@@ Línea 265: / Línea 288: @@
 }}
 ----------------------------
-[[Archivo:Apartado62.png|marco|h=0.001]]
 {{matlab|codigo=
 t0=0;

Diferencia entre revisiones de «Reacciones con Autocatálisis (A5)»

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