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El estudio de placas bidimensionales es de gran importancia en teoría de elasticidad. Este es un estudio gráfico de una placa sometida a un campo de temperaturas y a una fuerza con el programa OCTAVE.

1 Representación de la placa

Se considera una placa plana que ocupa el área comprendida entre dos elipses concéntricas. Su geometría sugiere el uso de coordenadas elípticas para su definición:

[math] \begin{cases} x=cosh(u)cos(v) \\ y=sinh(u)sin(v) \end{cases} [/math]

Con [math] (u,v)\in [1/2; 2] \times [0; 2\pi)[/math].

1.Mallado de una placa plana con forma elíptica.

u=linspace(0.5,2,15);
v=linspace(0,2*pi,62);
[U,V]=meshgrid(u,v);
x=cosh(U).*cos(V);
y=sinh(U).*sin(V);
mesh(x,y,0*x)
view(2)

Gráficamente se comprueba el interés del uso de estas coordenadas, ya que se aprecia como las líneas del mallado corresponden exactamente con las elipses concéntricas y los radios de estas que conforman la placa.

Este mallado servirá a continuación para estudiar la placa mediante la aproximación que supone estudiarla en los puntos de esta malla, ya que la placa es un sólido continuo y mediante OCTAVE se procede a un estudio discreto. Esta es otra razón que justifica pues el uso de estas coordenadas, ya que no solo ofrecen facilidad desde el punto de vista geométrico y visual, sino que además con ellas se dispone de un conjunto de puntos eficazmente repartidos por el sólido.

Una vez definido el soporte del estudio, se procede a calcular la base natural en cada punto de la red.

[math] \begin{cases} \vec{\mathbf{g_u}}=(sinh(u)cos(v);cosh(u)sin(v)) \\ \vec{\mathbf{g_v}}=(-cosh(u)sin(v);sinh(u)cos(v)) \end{cases} [/math]

De esta manera el estudio en cada punto se puede expresar en la base local de ese mismo punto.

Cabe destacar el hecho de que los vectores de la base siguen los radios de las elipses o son tangentes a ellas.

2.Base natural asociada a las coordenadas elípticas en cada punto de la placa.

u=linspace(0.5,2,15);
v=linspace(0,2*pi,62);
[U,V]=meshgrid(u,v);
x=cosh(U).*cos(V);
y=sinh(U).*sin(V);
gu1=sinh(U).*cos(V);
gu2=cosh(U).*sin(V);
gv1=-sin(V).*cosh(U);
gv2=cos(V).*sinh(U);
hold on
mesh(x,y,0*x)
view(2)
quiver(x,y,gu1,gu2);
quiver(x,y,gv1,gv2);
hold off

2 Estudio de la temperatura en la placa

2.1 El campo de temperaturas

3.Representación del campo de temperaturas de la placa. Se aprecia un foco puntual de calor en la parte central superior.

Se sabe que la placa está sometida a un campo de temperaturas cuya expresión es:

[math] T(x,y)=e^{-(x^2+(y-2)^2)} [/math]

Su representación gráfica sugiere que la placa esta bajo la influencia de un foco puntual de calor en su parte superior, que es donde se encuentra localizado el punto más caliente de la placa. Alrededor de dicho punto la temperatura decrece en todas las direcciones.

u=linspace(0.5,2,15);  
v=linspace(0,2*pi,62);    
[U,V]=meshgrid(u,v);  
xx=cosh(U).*cos(V);    
yy=sinh(U).*sin(V);
f=exp(-xx.*xx-(yy-2).^2);              
p=pcolor(xx,yy,f);
set(p,'EdgeColor','none');

2.2 Curvas de nivel y gradiente del campo

4.Curvas de nivel del campo de temperaturas sobre el mallado del sólido.

5.Detalle de las curvas de nivel de la temperatura.

Las gráficas 4 y 5 se han obtenido con el mismo código OCTAVE. Las dos muestran las curvas de nivel del campo de temperaturas de la placa, corroborando la interpretación dada a la representación con colores en 3.

u=linspace(0.5,2,15);  
v=linspace(0,2*pi,62);    
[U,V]=meshgrid(u,v); 
xx=cosh(U).*cos(V);    
yy=sinh(U).*sin(V);
hold on
contour(xx,yy,z,15,'k')
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold off

u=linspace(0.5,2,15);  
v=linspace(0,2*pi,62);    
[U,V]=meshgrid(u,v); 
xx=cosh(U).*cos(V);    
yy=sinh(U).*sin(V);
fx=-2*xx.*exp(-xx.^2-(yy-2).^2);
fy=(-2*yy+4).*exp(-xx.^2-(yy-2).^2);
z=exp(-xx.*xx-(yy-2).^2);
hold on
contour(xx,yy,z,15,'k');
mesh(xx,yy,0*xx);
quiver(xx,yy,fx,fy);
view(2)
hold off

3 Estudio de la deformación de la placa causada por una fuerza

6. Campo de los desplazamientos de los puntos de la placa debido a una fuerza.

Se supone la placa sometida a una fuerza desconocida, provocando una deformación que se traduce en un campo vectorial de desplazamientos de los puntos de esta.

u=linspace(0.5,2,15);  
v=linspace(0,2*pi,62);    
[U,V]=meshgrid(u,v); 
xx=cosh(U).*cos(V);    
yy=sinh(U).*sin(V);
uu=(U-0.5)./(cosh(U).^2-cos(V).^2);
gv1=-sin(V).*cosh(U);
gv2=cos(V).*sinh(U);
hold on
mesh(xx,yy,0*xx);
quiver(xx,yy,uu.*gv1,uu.*gv2)
view(2)
hold off

Para visualizar mejor el efecto de estos desplazamientos, se realiza una gráfica comparativa de los estados de la placa antes y después de la deformación.

7. Comparación de la placa antes y después de la deformación.

u=linspace(0.5,2,15);  
v=linspace(0,2*pi,62);    
[U,V]=meshgrid(u,v); 
xx=cosh(U).*cos(V);    
yy=sinh(U).*sin(V);
uu=(U-0.5)./(cosh(U).^2-cos(V).^2);
gv1=-sin(V).*cosh(U);
gv2=cos(V).*sinh(U);
subplot(2,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx);
view(2)
subplot(2,2,2)
mesh(xx+uu.*gv1,yy+uu.*gv2,0*xx);
view(2)

8. Representación de la divergencia del campo de deformaciones de la placa.

u=linspace(0.5,2,15);  
v=linspace(0,2*pi,62);    
[U,V]=meshgrid(u,v); 
xx=cosh(U).*cos(V);    
yy=sinh(U).*sin(V);
uu=(U-0.5)./(cosh(U).^2-cos(V).^2);
gv1=-sin(V).*cosh(U);
gv2=cos(V).*sinh(U);
uxu=-sin(V).*cosh(U).*(cosh(U).^2-cos(V).^2-((U-0.5).*sinh(2*U)))./(cosh(U).^2-cos(V).^2).^2;
uyv=-(U-0.5).*sinh(U).*sin(V).*(cosh(U).^2-cos(V).^2)./(cosh(U).^2-cos(V).^2).^2;
div=uxu+uyv;
p=pcolor(xx,yy,div);
set(p,'EdgeColor','none');

Démonstration :