Diferencia entre revisiones de «Campos en Elasticidad»

Revisión del 19:25 5 dic 2014

Para este análisis y representación de campos escalares en elasticidad nos situaremos en el contexto de una placa plana que ocupa la región comprendida entre las parábolas :

• [math]P1: 18y -81x^{2}-1=0 [/math]
• [math]P2: 2y +x^{2}-1=0 [/math]

Para representar la placa se utilizará un sistema de coordenadas curvilíneas tal que:

• [math]x=uv[/math]
• [math] y = \dfrac{1}{2}(u^2-v^2)[/math]

En nuestro análisis, el dominio de [math]u[/math] y [math]v[/math] comprenderá: [math](u,v) \in [1/3,1]*[-1,1][/math]

1 º Situación inicial de la placa

Primero comenzaremos el estudio de la placa en cuestión planteando su representación gráfica mediante un mallado, utilizando, en el código, la conversión a coordenadas curvilíneas de [math]u[/math] y [math]v[/math]. El intervalo en el que representaremos comprende::

[math](x,y) \in [-1,1]*[-1,1][/math]

Para discretizar los vectores [math]u[/math] y [math]v[/math] utilizaremos un paso [math] h = \dfrac{1}{20}[/math].

h=1/20;                             % Paso de muestreo.
u=1/3:h:1;                          % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1;                           % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v);              % Matrices de datos.
xx=uu.*vv;                          % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2));        % Parametrización Y.
plot(xx,yy);                        % Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx)                    % Mallado.
axis([-1,1,-1,1])                   % Selecciona la región a dibujar.
view(2)                             % Ver imagen desde arriba.

Los resultados de la representación se ven en la imagen:

Mallado que representa la superficie de la placa comprendida entre las parábolas [math]P1[/math] y [math]P2[/math].

Por otro lado, cuando se hace uso de cambio de coordenadas a ciertas coordenadas curvilíneas, es útil para el entendimiento de la transformación la representación de las Líneas Coordenadas. Las líneas coordenadas son aquellas que se obtienen variando una de las coordenadas de la transformación ([math]u[/math] o [math]v[/math]) y manteniendo fija la restante. En este estudio hemos representado varias líneas coordenadas a base de dar un valor concreto a [math]u[/math] o a [math]v[/math], dentro de sus respectivos intervalos:

xx11=uu.*0.5 ;xx12=uu.*-0.5;xx13=uu.*1;xx14=uu.*-1;
xx15=uu.*0.75;xx16=uu.*-0.75;xx17=uu.*0;                                % Parametrización X fijando vv (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y variando uu.
yy11=(1/2).*((uu.^2)-(0.5.^2));yy12=(1/2).*((uu.^2)-((-0.5).^2));
yy13=(1/2).*((uu.^2)-(1.^2));yy14=(1/2).*((uu.^2)-((-1).^2));
yy15=(1/2).*((uu.^2)-(0.75.^2));yy16=(1/2).*((uu.^2)-((-0.75).^2));     
yy17=(1/2).*((uu.^2)-(0.^2));                                           % Parametrización Y fijando vv (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y variando uu.
xx21=vv.*0.5;xx22=vv.*0.4;xx23=vv.*1;xx24=vv.*0.9;xx25=vv.*0.75;
xx26=vv.*0.65;xx27=vv.*(1/3);                                           % Parametrización X fijando uu (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y variando vv.
yy21=(1/2).*((0.5.^2)-(vv.^2));yy22=(1/2).*((0.4.^2)-(vv.^2));
yy23=(1/2).*((1.^2)-(vv.^2));yy24=(1/2).*((0.9.^2)-(vv.^2));
yy25=(1/2).*((0.75.^2)-(vv.^2));yy26=(1/2).*((0.65.^2)-(vv.^2));
yy27=(1/2).*(((1/3).^2)-(vv.^2));                                       % Parametrización X fijando uu (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y variando vv.
subplot(1,2,1);                                                         % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on                                                                 % Inicio superposición de gráficos
mesh(xx11,yy11,0*xx);mesh(xx12,yy12,0*xx);mesh(xx13,yy13,0*xx);
mesh(xx14,yy14,0*xx);mesh(xx15,yy15,0*xx);mesh(xx16,yy16,0*xx);
mesh(xx17,yy17,0*xx);                                                   % Mallados.
axis([-1,1,-1,1])                                                       % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2)                                                                 % Ver imagen desde arriba.
hold off                                                                % Fin superposición de gráficos
subplot(1,2,2);                                                         % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on                                                                 % Inicio superposición de gráficos
mesh(xx21,yy21,0*xx);mesh(xx22,yy22,0*xx);mesh(xx23,yy23,0*xx);
mesh(xx24,yy24,0*xx);mesh(xx25,yy25,0*xx);mesh(xx26,yy26,0*xx);
mesh(xx27,yy27,0*xx);                                                   % Mallados.
axis([-1,1,-1,1])                                                       % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2)                                                                 % Ver imagen desde arriba.
hold off                                                                % Fin superposición de gráficos.

A continuación se muestra las gráficas resultantes:

Líneas coordenadas fijando la variable [math]v[/math] y [math]u[/math], respectivamente.

1.1 Base Natural

Cuando se realiza una transformación a coordenadas curvilíneas (de [math]x[/math] e [math]y[/math] a [math]u[/math] y [math]v[/math]), el vector de posición [math] \vec{r_o}[/math] se expresa como:

[math] \vec{r_o}=x\hat{e_1} +y \hat{e_2} =uv\hat{e_1} +\dfrac{1}{2}(u^2-v^2) \hat{e_2} [/math]

La base natural [math]\vec{g_u}, \vec{g_v}[/math] es la que tiene por vectores el resultado de derivar el vector posición [math] \vec{r_o}[/math] según las nuevas coordenadas [math]u[/math] y [math]v[/math]. Dado que es un problema sobre una placa plana, estamos en una situación de dos dimensiones en la que para cualquier base, sólo se requieren dos vectores, ([math]\vec{g_u}, \vec{g_v}[/math]). No obstante, para cuestiones que trataremos posteriormente será necesario considerar una tercera coordenada (por ejemplo, para el cálculo del rotacional), por ello, incluiremos en nuestra base natural el vector [math]\vec{g_w}[/math].

• [math] \vec{g_u}=v\hat{e_1} +u \hat{e_2}[/math]
• [math] \vec{g_v}=u\hat{e_1} -v \hat{e_2}[/math]

El código de Matlab utilizado para hallar los vectores [math]\vec{g_u}, \vec{g_v}[/math] es :

plot(xx,yy);               % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on                    % Inicio superposición de gráficos.
mesh(xx,yy,0*xx)           % Mallado completo.
quiver(xx,yy,vv,uu);       % Representación del primer vector de la base natural en cada punto.
quiver(xx,yy,uu,-vv);      % Representación del segundo vector de la base natural en cada punto. 
axis([-1,1,-1,1])          % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2)                    % Ver imagen desde arriba.
hold off                   % Fin superposición de gráficos.

La imagen que se obtiene con este código es:

Representación de los vectores de la base natural [math]\vec{g_u}[/math] y [math]\vec{g_v}[/math]

Resulta coherente porque los vectores dibujados son tangentes a las líneas coordenadas (Recordamos que [math]\vec{g_u}[/math] y [math]\vec{g_v}[/math] se obtienen al derivar el vector de posición [math] \vec{r_0}[/math] con respecto a [math]u[/math] y [math]v[/math]).

2 º Acción de la temperatura en la placa

2.1 Influencia de un foco de calor

La temperatura proviene de un foco de calor dada por el campo escalar [math]T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2} [/math]

T=(8-yy.^2+yy.*2).*exp(-(xx.^2));    % Función Temperatura.
subplot(1,2,1);                      % Muestra varias imágenes. 1ª Imagen.
contour(xx,yy,T,20);                 % Define 20 líneas de nivel.
axis([-1,1,-1,1])                    % Selecciona la región a dibujar.
view(2)                              % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2);                      % Muestra varias imágenes. 2ª Imagen.
surf(xx,yy,T); colorbar;             % Visualización de superficie en 3D más leyenda en color.
axis([-1,1,-1,1])                    % Selecciona la región a dibujar.
view(2)                              % Ver imagen desde arriba.
max(max(T))                          % Valor máximo de la temperatura en toda la región.

Al ejecutar el código se obtienen estas gráficas:

Gráficas de la variación de la temperatura en la placa.

2.2 Gradiente de T y curvas de nivel

El gradiente de una función escalar expresa la dirección en la cual el campo crece más rápido. Por otra parte,las curvas de nivel expresan los puntos que se encuentran a la misma altura, en nuestro caso, aquellos que tienen la misma temperatura. Por tanto, si tenemos dos curvas de nivel y estamos en un punto de la menor, el gradiente será el vector de mínima distancia a la otra curva de nivel, siendo por tanto perpendicular a ambas. [math]\nabla T(x,y)= \frac{\partial T}{\partial x} \hat{e_1}+\frac{\partial T}{\partial y}\hat{e_2}=[-2xe^{-x^2}(8-y^2+2y)]\hat{e_1}+[(-2y+2)e^{-x^2}]\hat{e_2}[/math]

h=1/20;                                               % Paso de muestreo.
u=1/3:h:1;                                            % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1;                                             % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v);                                % Matrices.
xx=uu.*vv;                                            % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2));                          % Parametrización Y.
f=(8-yy.^2+yy.*2).*exp(-(xx.^2));                     % Función Temperatura.
fx =(-2.*xx).*(exp(-(xx.^2))).*(8-yy.^2+2.*yy);       % Derivada con respecto a x de la función Temperatura.
fy=(exp(-(xx.^2))).*(-2.*yy+2);                       % Derivada con respecto a y de la función Temperatura.
hold on                                               % Fin superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,fx,fy)                                   % Representación de los vectores gradiente. 
contour(xx,yy,f,20);colorbar;                         % Visualización de superficie en 3D más leyenda en color.
view(2)                                               % Ver imagen desde arriba.
hold off                                              % Fin superposición de gráficos.

3 º Acción de una fuerza sobre sólido

3.1 Campo de desplazamientos

Una fuerza determinada aplicada sobre nuestro sólido ha provocado un desplazamiento del mismo que viene dado por [math] \vec{u}(x,y) [/math] . Este vector será [math]\vec u(u,v)=\vec a(\vec b\cdot\vec r_{o})[/math] siendo :: [math] \vec{a}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}=\frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}\qquad \vec{b}=-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}=-4\frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}[/math].

Como hemos hallado anteriormente [math]\vec{g_u}=v \vec{e_1} +u \vec{e_2} [/math]. Tomaremos:: [math]\vec{r_o}= x\vec {e_1}+y\vec {e_2}= uv\vec {e_1}+ \frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec {e_2}[/math].

Con todo esto: [math]\vec{u}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}(-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|} \vec{r_o})= \frac{\vec{g_u}}{|\vec{g_u}|^2}(-4 \vec{g_u}\cdot\vec{r_o})=\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2} \vec{g_u}=\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v \vec{e_1} +u \vec{e_2})[/math] La representación del campo de desplazamiento [math]\vec{u}[/math] será la siguiente:

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante [math]t_{0}[/math] debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector [math]\vec u[/math]: [math]\vec u(u,v)=\vec a(\vec b\cdot\vec r_{o})[/math]

3.2 Divergencia de un campo

La divergencia de un campo vectorial [math]\vec{u}[/math] se halla por la expresión::

[math]\nabla\cdot\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \frac{\partial [\sqrt{g} u^{i}] }{\partial u^i}[/math]

La divergencia controla la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial (sobre la superficie que rodea a un volumen de control), con lo cual, si la divergencia es positiva, el campo tiene "fuentes" , y si la divergencia es negativa se dice que tiene "sumideros" .

Por su parte, el campo [math]\vec{u}[/math] , en este caso está definido por la expresión [math]\vec u(u,v)=\vec a(\vec b\cdot\vec r_{o})[/math], donde::

[math] \vec{a}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}= \frac{v\hat{e_1} +u \hat{e_2}}{\sqrt{u^2+v^2}}\qquad \vec{b}=-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}= -4\frac{v\hat{e_1} +u \hat{e_2}}{\sqrt{u^2+v^2}}\qquad \vec{r_0}=x\hat{e_1} +y \hat{e_2} =uv\hat{e_1} +\dfrac{1}{2}(u^2-v^2) \hat{e_2} [/math]

Dado que [math]{|\vec{g_u}|}=\sqrt{u^2+v^2}[/math] y operando la expresión del campo de desplazamientos [math]\vec{u}[/math] queda:

[math]\vec{u}=\frac{-4uv^2 -2u(u^2-v^2)}{ u^2+v^2 }(v\hat{e_1} +u \hat{e_2})[/math]

En el cálculo de la divergencia necesito las componentes contravariantes [math]u^u,u^v,u^w[/math] del campo. Éstas se calculan por la expresión [math]u^i=\vec{u}{g^i}[/math]. Recordando que [math]{g^i}[/math] son las componentes contravariantes de la base natural [math]\{\vec{g_u},\vec{g_v}\}=\{ v\hat{e_1} +u \hat{e_2} , u\hat{e_1} -v \hat{e_2}\}[/math], éstas se hallan a partir de [math]{g^i}=G^{ij}g_j[/math] siendo [math]G^{ij}[/math] la matriz inversa de la matriz de Gram de la base natural [math]G_{ij}[/math]:

[math]G_{ij}=\begin{bmatrix} \vec{g_u}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_u}\cdot\vec{g_v} \\ \vec{g_v}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_v}\cdot\vec{g_v}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} u^2+v^2 & 0 \\ 0 & u^2+v^2\end{bmatrix}\qquad G^{ij}=G^{-1}_{ij}[/math]

Operando la anterior expresión se calculan las [math]g^{i}[/math]:

• [math]g^{u}=\frac{1}{ u^2+v^2 }(v\hat{e_1} +u \hat{e_2}) [/math]
• [math]g^{v}=\frac{1}{ u^2+v^2 }(u\hat{e_1} -v \hat{e_2}) [/math]

De esta manera, las componentes contravariantes del campo quedan:

• [math]u^u=-4uv^2 -2u(u^2-v^2)[/math]
• [math]u^v=0[/math]

Y ya se pueden sustituir todos los términos en la expresión de la divergencia. El resultado final es [math]\nabla\cdot\vec u = -2\frac{3u^2+v^2}{u^2+v^2}[/math]. Dado que el resultado es negativo se puede concluir que existen sumideros en el flujo que atraviesa el campo vectorial [math]\vec{u}[/math]. Ésa es la expresión que se utilizará en el código de Matlab.

3.3 Cálculo del rotacional de un campo vectorial

La expresión del rotacional de un campo vectorial [math]\vec{u}[/math] se halla por la siguiente expresión: [math]\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} \vec{g_u} & \vec{g_v} & \vec{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_{u} &u_{v}&u_{w}\end{bmatrix}[/math]

De nuevo necesitaremos definir una tercera componente [math]\vec{g_w}[/math] para el cálculo de ese determinante :

• [math] \vec{g_u}=v\hat{e_1} +u \hat{e_2}[/math]
• [math] \vec{g_v}=u\hat{e_1} -v \hat{e_2}[/math]
• [math] \vec{g_w}=\hat{e_3}[/math] (suponiendo una tercera componente en la transformación [math] z=w[/math]).

El término [math]g[/math] es el determinante de la matriz de Gram [math]G[/math]de la base natural:

[math]G=\begin{bmatrix} \vec{g_u}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_u}\cdot\vec{g_v} & \vec{g_u}\cdot\vec{g_w} \\ \vec{g_v}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_v}\cdot\vec{g_v} & \vec{g_v}\cdot\vec{g_w} \\ \vec{g_w}\cdot\vec{g_u} &\vec{g_w}\cdot\vec{g_v}&\vec{g_w}\cdot\vec{g_w}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} u^2+v^2 & 0 & 0 \\ 0 & u^2+v^2 & 0 \\ 0 &0&1\end{bmatrix}[/math]

De modo que [math]g=(u^2+v^2)^2[/math]

Por su parte, el campo [math]\vec{u}[/math] había quedado definido por la expresión:

[math] \vec {u}(u,v)= \vec{a} (\vec{b}\cdot{r_{o}})=\frac{-4uv^2 -2u(u^2-v^2)}{ u^2+v^2 }(v\hat{e_1} +u \hat{e_2})[/math]

Volviendo al Rotacional, necesitamos, por último hallar las componentes covariantes [math]u_{u},u_{v},u_{w}[/math] del campo. Éstas se calculan por la expresión:

[math]u_{i}=\vec{u}{g_{i}}[/math]

De esta manera:

• [math]u_{u}=-4uv^2 -2u(u^2-v^2)[/math]
• [math]u_{v}=0[/math]
• [math]u_{w}=0[/math]

Y ahora se tienen todos los términos para sustituir en la expresión del rotacional:

[math]\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} v\hat{e_1} +u \hat{e_2} & u\hat{e_1} -v \hat{e_2} & \hat{e_3} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ -4uv^2 -2u(u^2-v^2) &0&0\end{bmatrix}=0[/math]

Dado que el el valor de [math]\nabla \times\vec{u}=0[/math] no hay nada que representar ni hallar numéricamente. Él significado físico de esta situación se traduce en que el campo vectorial [math]\vec{u}[/math] no tiene tendencia a rotar sobre ningún punto.

4 º Tensiones sobre la placa

4.1 Tensor de tensiones

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones [math]σij[/math] a través de la fórmula [math]σ=λ\nabla·\vec{u}1+2μ\epsilon[/math] siendo:

• [math]\epsilon (\vec{u})[/math] la parte simétrica del tensor gradiente de [math]\vec{u}[/math], [math]\nabla\vec{u}[/math]::

[math]\epsilon (\vec{u})=\frac{\nabla\vec{u}+ \nabla\vec{u}^t}{2}[/math]

• [math]λ[/math] y [math]μ[/math] los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

Se utilizarán estas expresiones para dibujar las tensiones normales en la dirección que marca [math]\vec{g_u}[/math] y la dirección que marca [math]\vec{g_v}[/math], es decir:

[math]\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}[/math]

Bajo estas instrucciones se empieza a definir [math]σij[/math]:

1. Tomaremos [math]λ=μ=1[/math].

2. Se calcula el tensor gradiente de [math]\vec{u}[/math], [math]\nabla\vec{u}[/math]:

[math]\nabla\vec{u}= \begin{bmatrix} \frac{\partial u_{u}}{\partial u} & \frac{\partial u_{u}}{\partial v} & \frac{\partial u_{u}}{\partial w} \\ \frac{\partial u_{v}}{\partial u} & \frac{\partial u_{v}}{\partial v} & \frac{\partial u_{v}}{\partial w} \\ \frac{\partial u_{w}}{\partial u} &\frac{\partial u_{w}}{\partial v}&\frac{\partial u_{w}}{\partial w}\end{bmatrix}[/math] Reutilizando las componentes covariantes de [math]\vec{u}[/math]:

• [math]u_{u}=-4uv^2 -2u(u^2-v^2)[/math]
• [math]u_{v}=0[/math]
• [math]u_{w}=0[/math]

[math]\nabla\vec{u}= \begin{bmatrix} -6u^2-2v^2 & -4uv & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 &0&0\end{bmatrix}[/math]

3. Parte simétrica del tensor gradiente [math]\nabla\vec{u}[/math], [math]\epsilon (\vec{u})[/math] :

[math]\epsilon (\vec{u})=\frac{\nabla\vec{u}+ \nabla\vec{u}^t}{2}=\begin{bmatrix} -6u^2-2v^2 & -2uv & 0 \\ -2uv & 0 & 0 \\ 0 &0&0\end{bmatrix} [/math]

4. Cálculo de [math]σ[/math]: Se recuerda que la divergencia de [math]\vec{u}[/math] es [math]\nabla\cdot\vec u = -2\frac{3u^2+v^2}{u^2+v^2}[/math]

[math]σ=λ\nabla·\vec{u}1+2μЄ=\begin{bmatrix} \frac{-6u^2-2v^2}{u^2+v^2}-12u^2-4v^2 & -4uv & 0 \\ -4uv & \frac{-6u^2-2v^2}{u^2+v^2} & 0 \\ 0 &0&\frac{-6u^2-2v^2}{u^2+v^2}\end{bmatrix}[/math]

Por último ,para la representación de las tensiones normales en la dirección de [math]\vec{g_u}[/math] y la dirección de [math]\vec{g_v}[/math], se necesita definir

• [math]\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}= \frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}[/math]
• [math]\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}=\frac{u\vec {e_1}-v\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}[/math]

Sabiendo esto, se puede proceder en Matlab al cálculo de las matrices que permitirán posteriormente la representación de las tensiones normales en la dirección que marca [math]\vec{g_u}[/math] y la dirección de [math]\vec{g_v}[/math]:

• [math]\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}[/math]
• [math]\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}[/math]

4.2 Tensión de Von Mises

sigma1=(-14*uu.^2-6*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2);                                        % Autovalor 1.
sigma2=(-10*uu.^2-2*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2);                                        % Autovalor 2.
sigma3=(-6*uu.^2-2*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2);                                         % Autovalor 3.
Misses=sqrt(((sigma1-sigma2).^2+(sigma2-sigma3).^2+(sigma3-sigma1).^2)./2);       % Fórmula de Von Misses.
surf(xx,yy,Misses);                                                               % Visualización de superficie en 3D.
axis([-1,1,-1,1])                                                                 % Selecciona la región a dibujar.

5 º Masa de la placa

En último lugar procedemos al cálculo de la masa de la placa. Para ello partimos de una función de densidad que nos dan en el enunciado siendo ésta [math]xye^{-1/(x^2)}[/math]. Para hallar el área de la placa, utilizaremos un proceso numérico basado en el Método del Trapecio para la aproximación de integrales. El cálculo se basa en evaluar la función en cada punto y obtener una matriz con el valor de la densidad en cada punto evaluado de la malla. Una vez hallada la matriz multiplicándola por un vector fila y columna se suman todos los elementos de la matriz.

Como [math]x[/math] e [math]y[/math] pueden ser valores negativos, puede resultar que la función densidad sea negativa en algunos puntos de la placa. Para evitar este absurdo, los resultados finales se obtendrán a partir de convertir todos los valores de la matriz de densidades a su valor absoluto, multiplicándolos posteriormente por los pasos y sumándolos todos entre sí.

N1=200; N2=200;                          % Número de puntos.
a=1/3; b=1; c=-1; d=1;                   % Extremos de los intervalos.
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2;                % Pasos.
u=a:h1:b; v=c:h2:d;                      % Intervalos.
[uu,vv]=meshgrid(u,v);                   % Matrices.
xx=uu.*vv;                               % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2));             % Parametrización Y.
d=(xx.*yy).*(exp(-1./(xx.^2)));          % Función Densidad.
D=abs(d);                                % Función Densidad en valor absoluto.
w1=ones(N1+1,1);                         % Matriz de N1+1 elementos unidad.
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;                   % Primer y último de la matriz w. 
w2=ones(N2+1,1);                         % Matriz de N2+1 elementos unidad.
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;                   % Primer y último de la matriz w. 
result=h1*h2*w2'*D*w1                    % Masa obtenida con la función densidad D.