Diferencia entre revisiones de «Prueba1»

Revisión del 17:08 4 dic 2014

1 Introducción

{{beta En este trabajo estudiaremos la visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad de la placa plana que ocupa la región comprendida entre estas dos parábolas:

[math]P1: 18y-81x^2-1=0 [/math]

[math]P2: 2y+x^2-1=0 [/math]

Utilizaremos un cambio de coordenadas para hacer más sencilla su representación (sistema de coordenadas adaptado a la geometría dada):

[math]x=uv[/math] [math]y=1/2(u^2-v^2)[/math]

con u,v definidas en el intervalo [1/3,1]x[-1,1]

Comenzaremos dibujando el mallado del sólido, así como sus líneas coordenadas y los vectores de la base natural en cada punto. Conociendo la fórmula de la temperatura de la placa seremos capaces de representar sus curvas de nivel y su gradiente. Después aplicaremos un campo de desplazamientos a nuestro sólido y observaremos como ha variado tras el desplazamiento. Conociendo una fórmula calcularemos el tensor de tensiones y lo representaremos, utilizando este tensor llegaremos a obtener la tensión de Von Mises. Finalmente calcularemos mediante Matlab la masa de la placa.

2 Mallado de los puntos interiores del sólido

Hemos representado el sólido mediante un mallado,

h=1/20;
 u=1/3:h:1;
 v=-1:h:1;
 %mallado de la gráfica
 [uu,vv]=meshgrid(u,v);
 figure(1)
 xx=uu.*vv;
 yy=0.5.*((uu).^2-(vv).^2);
 mesh(xx,yy,0*xx)
 axis([-1,1,-1,1])
 view(2)

2.1 Lineas coordenadas y vectores de la base natural

2.2 Temperatura del sólido

La temperatura del sólido viene dada por la función [math]T(x,y)=e^(-y)[/math].

h=1/20;
 u=1/3:h:1;
 v=-1:h:1;
 %mallado de la gráfica
 [uu,vv]=meshgrid(u,v);
 figure(1)
 xx=uu.*vv;
 yy=0.5.*((uu).^2-(vv).^2);
 T=exp(-yy);
 surf(xx,yy,T)
 axis([-1,1,-1,1])
 view(2)

El gradiente y las curvas de nivel de dicho campo son los siguientes:

h=1/20;
 u=1/3:h:1;
 v=-1:h:1;
 %mallado de la gráfica
 [uu,vv]=meshgrid(u,v);
 figure(1)
 xx=uu.*vv;
 yy=0.5.*((uu).^2-(vv).^2);
 mesh(xx,yy,0*xx)
 axis([-1,1,-1,1])
 view(2) 
  
 T=exp(-yy);
 
 %T2=exp(-0.5.*(uu.^2-vv.^2));
 
 surf(xx,yy,T)
 axis([-1,1,-1,1])
 view(2) 
 
 Tx=-xx.*0;
 % derivada parcial en x
 Ty=-yy.*exp(-yy);
 
 %Tu=-uu.*exp(-0.5*(uu.^2-vv.^2));
 %Tv=vv.*exp(-0.5*(uu.^2-vv.^2));
 
 % derivada parcial en y
 subplot(1,2,1)
 quiver(xx,yy,Tx,Ty)
 axis([-1,1,-1,1])
 % Región del gráfico
 subplot(1,2,2),contour(xx,yy,T,20)
 %dibujo curvas de nivel
 axis([-1,1,-1,1])
 view(2)

3 Masa de la placa

Tengamos la siguiente función de densidad: [math]d(x,y)=|x|e^{(-1/y^2)}[/math] Vamos a calcular la masa total del sólido integrando la función en el área del sólido de manera numérica dividiendo el sólido en pequeños rectángulos y sumando todo al final. Aquí vemos el codigo MatLab utilizado:

h=1/100; %Tomamos un paso de 1/100 para conseguir un resultado mejor aproximado
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5.*((uu).^2-(vv).^2);
f=abs(xx).*exp(-1./yy.^2); %Definimos la función
a=h.^2*f; %Parte diferencial del sólido
masa=sum(sum(a)) %Suma de todas las partes del sólido

Obtenemos una masa total de [math]Masa = 8.029 \cdot 10^-5[/math]

4 Rotacional de u

Vamos a calcular ahora el rotacional de [math]\vec{u}[/math]: [math]\nabla\times\vec{u} = det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix} = det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 4v^3 \sqrt{u^2+v^2} & 4uv^2 \sqrt{u^2+v^2} & 0 \end{pmatrix} =-4v^2(u^2+3v^2)/\sqrt{u^2+v^2} \vec{k} \ltmath\gt Vemos en su representación que los puntos con mayor rotacional (los de color más amarillo) representarán los puntos del sólido en los que se induce un mayor giro debido a la deformación inducida por el campo \ltmath\gt\vec{u}[/math]

Representación del rotacional del campo

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
figure(1)
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5.*((uu).^2-(vv).^2);
mesh(xx,yy,0*xx)
rot=4*(vv.^2).*sqrt(uu.^2+vv.^2);
surf(xx,yy,rot)
axis([-1,1,-1,1])
view(2)

5 Tensiones

Vamos a ver la representación del tensor de tensiones resultante de aplicar el campo [math]\vec{u}[/math] al sólido. Dicho tensor de tensiones viene dado por la fórmula: [math]\sigma= \lambda \nabla \cdot \vec{u} \bold{1} + 2 \mu \epsilon [/math] donde [math]\epsilon = \frac{(\nabla \vec{u} + \nabla \vec{u}^t}{2}[/math] . [math] \lambda [/math] y [math] \mu [/math] son los parámetros de Lamé que dependen de las propiedades del material, en nuestro caso ambos valen [math] 1 [/math]. Definimos [math]\epsilon [/math] y [math]\sigma[/math] ( la divergencia ya la conocemos): \begin{pmatrix} \frac{4uv^3}{\sqrt{u^2+v^2}} & 10v^2\sqrt{u^2+v^2} \\ 10v^2\sqrt{u^2+v^2} & \frac {4uv(2u^2+3v^2}{\sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} Con la ayuda de MatLab obtenemos las tensiones normales en las direcciones [math]g_u[/math] y [math]g_v [/math]:

Tensiones normales en las direcciones de[math]g_u[/math] y [math]g_v [/math]

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5.*((uu).^2-(vv).^2);
sigmauu=12*uu.*vv.^2./sqrt(uu.^2+vv.^2)+2*4*vv.^3.*uu./sqrt(uu.^2+vv.^2);
sigmavv=12*uu.*vv.^2./sqrt(uu.^2+vv.^2)+2*4*uu.*vv.*(2*uu.^2+3*vv.^2)./sqrt(uu.^2+vv.^2);
sigmauv=12*uu.*vv.^2./sqrt(uu.^2+vv.^2)+2*10*vv.^2.*sqrt(uu.^2+vv.^2);
sigmavu=sigmauv;
subplot(1,2,1)
quiver(xx,yy,sigmauu,sigmauv)
axis([-1,1,-1,1])
subplot(1,2,2)
quiver(xx,yy,sigmauv,sigmavv)
axis([-1,1,-1,1])