Diferencia entre revisiones de «Prueba1»

Revisión del 16:33 4 dic 2014

1 Introducción

{{beta En este trabajo estudiaremos la visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad de la placa plana que ocupa la región comprendida entre estas dos parábolas:

[math]P1: 18y-81x^2-1=0 [/math]

[math]P2: 2y+x^2-1=0 [/math]

Utilizaremos un cambio de coordenadas para hacer más sencilla su representación (sistema de coordenadas adaptado a la geometría dada):

[math]x=uv[/math] [math]y=1/2(u^2-v^2)[/math]

con u,v definidas en el intervalo [1/3,1]x[-1,1]

Comenzaremos dibujando el mallado del sólido, así como sus líneas coordenadas y los vectores de la base natural en cada punto. Conociendo la fórmula de la temperatura de la placa seremos capaces de representar sus curvas de nivel y su gradiente. Después aplicaremos un campo de desplazamientos a nuestro sólido y observaremos como ha variado tras el desplazamiento. Conociendo una fórmula calcularemos el tensor de tensiones y lo representaremos, utilizando este tensor llegaremos a obtener la tensión de Von Mises. Finalmente calcularemos mediante Matlab la masa de la placa.

2 Mallado de los puntos interiores del sólido

Hemos representado el sólido mediante un mallado,

h=1/20;
 u=1/3:h:1;
 v=-1:h:1;
 %mallado de la gráfica
 [uu,vv]=meshgrid(u,v);
 figure(1)
 xx=uu.*vv;
 yy=0.5.*((uu).^2-(vv).^2);
 mesh(xx,yy,0*xx)
 axis([-1,1,-1,1])
 view(2)

2.1 Lineas coordenadas y vectores de la base natural

2.2 Temperatura del sólido

La temperatura del sólido viene dada por la función [math]T(x,y)=e^(-y)[/math].

h=1/20;
 u=1/3:h:1;
 v=-1:h:1;
 %mallado de la gráfica
 [uu,vv]=meshgrid(u,v);
 figure(1)
 xx=uu.*vv;
 yy=0.5.*((uu).^2-(vv).^2);
 T=exp(-yy);
 surf(xx,yy,T)
 axis([-1,1,-1,1])
 view(2)

El gradiente y las curvas de nivel de dicho campo son los siguientes:

h=1/20;
 u=1/3:h:1;
 v=-1:h:1;
 %mallado de la gráfica
 [uu,vv]=meshgrid(u,v);
 figure(1)
 xx=uu.*vv;
 yy=0.5.*((uu).^2-(vv).^2);
 mesh(xx,yy,0*xx)
 axis([-1,1,-1,1])
 view(2) 
  
 T=exp(-yy);
 
 %T2=exp(-0.5.*(uu.^2-vv.^2));
 
 surf(xx,yy,T)
 axis([-1,1,-1,1])
 view(2) 
 
 Tx=-xx.*0;
 % derivada parcial en x
 Ty=-yy.*exp(-yy);
 
 %Tu=-uu.*exp(-0.5*(uu.^2-vv.^2));
 %Tv=vv.*exp(-0.5*(uu.^2-vv.^2));
 
 % derivada parcial en y
 subplot(1,2,1)
 quiver(xx,yy,Tx,Ty)
 axis([-1,1,-1,1])
 % Región del gráfico
 subplot(1,2,2),contour(xx,yy,T,20)
 %dibujo curvas de nivel
 axis([-1,1,-1,1])
 view(2)

3 Masa de la placa

Tengamos la siguiente función de densidad: [math]d(x,y)=|x|e^{(-1/y^2)}[/math] Vamos a calcular la masa total del sólido integrando la función en el área del sólido de manera numérica dividiendo el sólido en pequeños rectángulos y sumando todo al final. Aquí vemos el codigo MatLab utilizado:

h=1/100; %Tomamos un paso de 1/100 para conseguir un resultado mejor aproximado
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5.*((uu).^2-(vv).^2);
f=abs(xx).*exp(-1./yy.^2); %Definimos la función
a=h.^2*f; %Parte diferencial del sólido
masa=sum(sum(a)) %Suma de todas las partes del sólido

Obtenemos una masa total de [math]Masa = 8.029 \cdot 10^-5[/math]

4 Rotacional de u

Vamos a calcular ahora el rotacional de [math]\vec{u}[/math]: [math]\nabla\times\vec{u} = det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix} = det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 4v^3 \sqrt{u^2+v^2} & 4uv^2 \sqrt{u^2+v^2} & 0 \end{pmatrix} =-4v^2(u^2+3v^2)/\sqrt{u^2+v^2} \vec{k} [[Categoría:Teoría de Campos]] [[Categoría:TC14/15]][/math]