Diferencia entre revisiones de «Trabajo Ecuaciones 4»

Revisión actual del 00:31 3 jun 2013

1 Apartado 1

1. Interpretar los diferentes parámetros en la ecuación de acuerdo a las hipótesis:

La variación de susceptibles toma un valor negativo porque está en función del tiempo, es decir, a medida que pasa el tiempo el número de susceptibles es menor, mientras que aumenta el número de infectados.

[math] dS/dt = -aSI [/math]

Sin embargo la variación de infectados será el número de susceptibles que han pasado a infectados (aSI) menos el número de individuos que han sido curados o han muerto (-bI-cI)

[math] dI/dt = aSI - bI - cI [/math]

2 Apartado 2

2. Tomar : a=0.003, b=0.3 y c=0.2. Usar el método de EULER para resolver el sistema con los datos finales (S0,I0)=(700,1) y (S0,I0)=(5000,5) y el tiempo tϵ[0,30] días. Tomar como paso de discretización temporal h=10-1, h=10-2, h=10-3, h=10-4.

t0=0; tN=30;
a=0.003; b=0.3;
c=0.2;
y0=[700;1];
h=10^-1;
N=(tN-t0)/h;
y=y0; y1(1)=y(1);
y2(1)=y(2);
    for n=1:N
       y1(n+1)=y1(n)-h*a*y1(n)*y2(n);
       y2(n+1)=y2(n)+h*a*y1(n)*y2(n)-h*b*y2(n)-h*c*y2(n);
    end
x=t0:h:tN;
plot(x,y1,'x r');
hold on;
plot(x,y2,'x g');

• 

  Gráfica para valores iniciales So=700, Io=1

t0=0; tN=30;
a=0.003; b=0.3;
c=0.2;
y0=[5000;5];
h=10^-1;
N=(tN-t0)/h;
y=y0; y1(1)=y(1);
y2(1)=y(2);
    for n=1:N
        y1(n+1)=y1(n)-h*a*y1(n)*y2(n);
        y2(n+1)=y2(n)+h*a*y1(n)*y2(n)-h*b*y2(n)-h*c*y2(n);
    end
x=t0:h:tN;
plot(x,y1,'x r');
hold on;
plot(x,y2,'x g');

• 

  Gráfica para valores iniciales So=5000, Io=5

3 Apartado 3

3. Elegir otro datos iniciales (S0,I0) e interpretar los resultados

(So,Io)=(5,5000)

• 

  Gráfica para valores iniciales So=5, Io=5000

Como en los anteriores casos hemos usado valores de individuos susceptibles mucho mayores que valores de individuos infectados (5000,5), implica que todavía quedan muchos individuos que pueden infectarse y por ello vemos como la función crece. Nuestro trabajo propone la alternativa inversa; que el número de infectados sea mucho mayor que el numero de susceptibles (5,5000), que quiere decir que la mayoría de los individuos están infectados y los susceptibles a infectarse son despreciables frente a la función.

Por ejemplo: si tenemos un 95% de infectados como máximo la variación de los nuevos infectados va a ser de un 5%, por lo tanto una variación muy pequeña, y en el caso opuesto la variación podría ser de hasta un 95%.

4 Apartado 4

4. Usar el método de RUNGE-KUTTA de cuarto orden para resolver la ecuación. Comparar con el método de EULER para diferentes tiempos. ¿Qué dificultad hay en el uso de un método implícito como el método trapezoidal?

t0=0;tN=30;
a=0.003;b=0.3;c=0.2;
y0=[700;1];
h=10^-1;N=(tN-t0)/h;
y=y0; 
y1(1)=y(1);y2(1)=y(2);
     for n=1:N
        k1(n)=-a*(y1(n)*y2(n));
        q1(n)= a*(y1(n)*y2(n))+(-b-c)*y2(n);
        k2(n)=-a*(y1(n)+(h/2)*k1(n))*(y2(n)+(h/2)*k1(n));
        q2(n)=a*(y1(n)+(h/2)*q1(n))*(y2(n)+(h/2)*q1(n))+((-b-c)*(y2(n)+(h/2)*q1(n)));
        k3(n)=-a*(y1(n)+(h/2)*k2(n))*(y2(n)+(h/2)*k2(n));
        q3(n)=a*(y1(n)+(h/2)*q2(n))*(y2(n)+(h/2)*q2(n))+((-b-c)*(y2(n)+(h/2)*q2(n)));
        k4(n)=-a*(y1(n)+h*k3(n))*(y2(n)+h*k3(n));
        q4(n)=a*(y1(n)+h*q3(n))*(y2(n)+h*q3(n))+((-b-c)*(y2(n)+h*q3(n)));
        y1(n+1)=y1(n)+(h/6)*(k1(n)+(2*k2(n))+(2*k3(n))+k4(n));
        y2(n+1)= y2(n)+(h/6)*(q1(n)+(2*q2(n))+(2*q3(n))+q4(n));
     end
x=t0:h:tN;
plot(x,y1,'x r');
hold on; 
plot(x,y2,'x g');

• 

  Gráfica para valores iniciales So=700, Io=1

Comparar con el método de EULER para diferentes tiempos.

• 

  Gráfica para valores iniciales So=700, Io=1

Ambos métodos explícitos de aproximación son viables para calcular este sistema, aunque sabemos que el método de RUNGE-KUTTA es más preciso que el de EULER al ser de cuarto orden, porque tomamos más valores que nos aproximan a la función.

¿Qué dificultad hay en el uso de un método implícito como el método trapezoidal?

Cuando es un método implícito hay que despejar manualmente el sistema de ecuaciones y tener en cuenta la dependencia de las funciones.

5 Apartado 5

5. Si después de 15 días de detectar la infección el número de infectados es de 300 en una población susceptible de 20.000. ¿Cuántos infectados había en el momento de detectar la enfermedad?

t0=15; tN=0;
a=0.003; b=0.3; c=0.2;
y0=[20000;300];
h=10^-2; N=(t0-tN)/h;
y=y0; y1(1)=y(1); y2(1)=y(2);
    for n=1:N
       y1(n+1)=y1(n)-h*a*y1(n)*y2(n);

       y2(n+1)=y2(n)+h*a*y1(n)*y2(n)-h*b*y2(n)-h*c*y2(n);
    end
x=t0:-h:tN;
plot(x,y1,'x r');
hold on;
plot(x,y2,'x g');

• 

  Gráfica para valores iniciales So=20000, Io=300

Puesto que los datos que nos dan sobre los infectados y susceptibles pasados 15 días están demasiado dispersos, los datos iniciales se van a desviar demasiado hasta llegar a cero el número de infectados, valor que no debería darse al iniciar el estudio. Por lo tanto vamos a plantear el ejercicio tomando como referencia una ya hecha. Calculamos, para aquella en la que los datos de susceptibles e infectados al iniciar el estudio son 700 y 1 respectivamente, los datos que tiene pasados 10 días y nos da que los susceptibles serán 13.5 y los infectados 51.2.

t0=10; tN=0;
a=0.003; b=0.3; c=0.2;
y0=[13.573;51.153];
h=10^-2; N=(t0-tN)/h;
y=y0; y1(1)=y(1); y2(1)=y(2);
for n=1:N
y1(n+1)=y1(n)+h*a*y1(n)*y2(n);
y2(n+1)=y2(n)-h*a*y1(n)*y2(n) +h*b*y2(n)+h*c*y2(n);
end
x=t0:-h:tN;
plot(x,y1,'x r');
hold on; 
plot(x,y2,'x g');

• 

  Gráfica 2, apartado 5

Respondiendo a la pregunta inicial de cuantos infectados habría al iniciar el estudio para el ejercicio planteado por nosotras sería de 0.56. Se desvía un poco de los datos de partida debido a que es un método aproximado.

6 Componentes del Grupo de trabajo nº4 2ºB

Belén Martín Lozano, Aurora Garrido Fernandez, Itziar Fernandez Ortega, María Romero Sanchez-Brunete, Cristina De Guzmán Esteban Carla Vazquez Gomara.