Diferencia entre revisiones de «Circuitos eléctricos RL (grupo 12)»

Revisión actual del 00:20 3 jun 2013

El circuito eléctrico mas simple esta compuesto de una resistencia, un inductor o bobina y una fuente de alimentación.

• En una resistencia R, la Ley de Ohm establece:

 [math]i(t)={V(t)\over R}[/math]

• En un inductor L la Ley de Faraday dice:

[math] V(t)=L\cdot i'(t)[/math] Donde i(t) es la intensidad de corriente, V(t) el voltaje, R la resistencia y L la inductancia o bobina. Las leyes de Kirchoff dicen:

1. Ley de corrientes: En cada nodo, la suma de corrientes que entra es igual a la que sale.
2. Ley de tensiones: En cada ciclo cerrado, la suma de diferenciales de potencias es nula.

1 Apartado1

Escribir la ecuación diferencial que se obtiene de la ley de Kirchoff de voltaje en el circuito de la izquierda en la figura 1 cuando está cerrado.

1.1 Ecuación diferencial

Cuando cerramos el circuito, la cantidad de voltaje total segun la ley de tensiones de Kirchoff será la suma del voltaje que hay en la resistencia y el que hay en la bobina. El de la resistencia será intensidad por resistencia y el de la bobina será el valor de esta por la derivada de la intensidad con respecto al tiempo.

[math]i'(t)+{R\over L}i(t)-{V(t)\over L}=0[/math]

2 Apartado 2

Suponiendo que en el instante t = 0 el circuito pasa de estar abierto a cerrado calcular analíticamente la intensidad en cada instante de tiempo t > 0 y dibujarla en una gráfica. Suponer que la alimentación posee un voltaje constante E(t) = 10V , L = 0.2 y R = 5Ω. Resolver la ecuación diferencial numéricamente con el método de Euler y comparar los resultados. ¿Cómo hay que elegir el paso de discretización temporal para que el método sea estable? Usar el método del trapecio para poder elegir el paso más grande.

2.1 Cálculo analítico

Al suponer que en tiempo 0 cerramos el circuito, estamos definiendo nuestra condición inicial, i(0)=0, convirtiendo la ecuación en un problema de valor inicial. Para representarla, primero debemos resolverla analíticamente, es decir, a mano. Una vez tenemos la solución en función del tiempo, podemos proceder a su representación con el siguiente código matlab.

 [math] i(t)=10/5-2e^{-5/0.2t} [/math]

clear all
t=[0:0.0000001:1];
i= (-10/5)*exp((-5/0.2)*t)+10/5;
plot(t,i,'r*')

2.2 Método de Euler

El método de Euler se basa en aproximar el valor de la función a la tangente en cada punto, cuanto más cercanos cojamos los puntos, mayor será la aproximación al resultado real, haciéndolo más exacto. En matlab tendra el siguiente codigo, definiendo h y observando que por este método la h, es decir, el paso de discretizacion temporal debe ser muy pequeño.

clear all
E=10;
R=5;
L=0.2;
t0=0; tN=1;
h=0.0000001;
N=1/0.0000001;
i0=0;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
ii=ii+h*[(-R/L)*ii + E/L];
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','b*')
% El paso de discretizacion debe ser muy pequeno para que el error no se
% acumule y el metodo sea estable. Sin embargo, un paso de discretizacion
% extremadamente pequeno ralentizaria el programa

2.3 Método del trapecio

Otro método aproximado para la resolución de problemas de valor inicial es el llamado método del trapecio que es mas exacto que el de Euler. Se basa en la aproximación al área de un trapecio y después de hacer los cálculos oportunos (hay que despejar la solución ya que con este método queda de forma implícita).

clear all
R=5; L=0.2; E=10; 
t0=0; tN=1;
i0=0;
N=1/0.0000001; h=(1-0)/N;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
    tn=t0+h*n;
    t(n+1)= tn+h;
    ii=((1-(h*R)/(2*L))*ii+h*E/L)/(1+((h*R)/(2*L)));
    i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','b*')

3 Apartado 3

Suponiendo que el circuito en el instante t = 0 está cerrado con una intensidad i(t)=2A, y que lo abrimos repentinamente, calcular la intensidad en cada instante de tiempo y dibujarla en una gráfica. Interpretar el resultado.

3.1 Resolución

Con las condiciones impuestas por el enunciado, la ecuacion diferencial es la misma que en el apartado anterior. Los valores iniciales también coinciden con los del apartado anterior. Pero en este caso, al perder intensidad, solo habrá que restar a la intensidad inicial la solución de la ecuación diferencial, con la misma constante que el apartado 2.

clear all
E=10
R=5
L=0.2
t=[0:0.0000001:1];
i=2-((-E/R)*exp((-R/L)*t)+E/R);
plot(t,i,'r*')

En la gráfica se observa que la intensidad parte de 2 y va disminuyendo progresivamente realizando una exponencial asintótica en 0.

4 Apartado 4

El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales corresponde al circuito de la derecha en la figura
Interpretar cada ecuación en términos de las leyes de Kirchoff

[math] E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)[/math]

[math] E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)[/math]

[math] i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)[/math]

Escribir el sistema anterior en términos de $i_{2}(t)$ y $i_{3}(t)$, eliminando $i_{1}(t)$. Interpretar las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0. ¿Cómo cambia el sistema de ecuaciones si añadimos un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ e inductor $i_{3}$ (similares a $R_{2}$, $L_{2}$) a la derecha del segundo circuito de la figura 1?

4.1 Resolución

4.1.1 Interpretación de las ecuaciones

La primera ecuación [math] E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)[/math] corresponde a la malla 2 formada por el generador,$R_{1}$,$L_{2}$ y $R_{2}$.

La segunda ecuación [math] E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)[/math] corresponde a la malla 1 formada por elgenerador,$R_{1}$ y $L_{1}$.

La última ecuación [math] i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)[/math] corresponde al nudo A, donde las intensidades se encuentran. Así el sumatorio de las que entran ($i_{1}(t)$) ha de ser igual al sumatorio de las quesalen ($i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$).

4.1.2 Reescritura del sistema

Podemos escribir este sistema en términos de $i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$, usando la tercera ecuación y sustituyendo en las dos primeras
[math] E(t)=R_1{i_2(t)}+R_1{i_3(t)}+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)[/math]
[math] E(t)=R_1{i_2(t) }+R_1{i_3(t)}+L_1i'_3(t) [/math]

Dadas las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0 , tanto $i'_2(t)$ como $i'_{3}(t)$ serían cero.
Además $i_{1}(0)$ = $i_{2}(0)$ + $i_{3}(0)$ = 0 , por lo que no habría corriente por el circuito ni tensión.

4.1.3 Cambios del sistema de ecuaciones al añadir nuevo ciclo

Si añadimos a la derecha del circuito un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ y una inductancia$L_{3}$, nos aparecerían dos nuevas intensidades $i_{4}(t)$ e $i_{5}(t)$. $i_{4}(t)$ circularía por el tramo comúndel nuevo ciclo y el anterior (donde se encuentra $L_{2}$) e $i_{5}(t)$ circularía por el nuevo cicloexclusivamente (donde se encuentran $R_{3}$ y $L_{3}$). No obstante, también se añadirían dosecuaciones: la referida a la malla 3 y la referida al nudo B.
Malla 3: [math] E(t)=R_1{i_1(t)}+R_2{i_2(t)}+R_3{i_5(t)}+L_3i'_5(t)[/math]
Nudo B: [math] i_2(t) = i_4(t)+i_5(t)[/math]De esta forma se han añadido nos nuevas ecuaciones para las dos nuevas incógnitas.

5 Apartado 5

Resolver el sistema anterior para los siguientes parámetros: $R_{1}$ = $R_{2}$ = 6Ω , $L_{1}$ = 0,02H, $L_{2}$= 0,0025H y la fuente de alimentación $E(t)$ = 10V constantes. Usar el método de Euler explícito y el método implícito del trapezoide. Comparar los resultados de las intensidades $i_{1}(t)$ ,$i_{2}(t)$ para diferentes tiempos del intervalo [0,0.3]. Dibujar e interpretar las gráficas de las intensidades.

5.1 Resolución

La resolución del sistema para los parámetros aportados nos da los diferentes valores de las intensidades en función del tiempo. Este comportamiento se puede considerar constante a partir de tiempos mayores a t=0.05 ya que ambas intensidades tienden fuertemente hacia unos valores definidos. Por tanto la variación temporal de la intensidad se producirá antes de dicho valor estabilizándose a partir del mismo.

5.1.1 Método de Euler

clear all
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
    i=i+h*((A*i)+B);
    i3(n+1)=i(1);
    i2(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
    subplot(3,1,1)
    plot(x,i1,'r*')
    subplot(3,1,2)
    plot (x,i2,'b*')
    subplot(3,1,3)
    hold on
    plot (x,i2,'b*')
    plot (x,i1,'r*')
    plot (x,i3,'g*')
hold off
    %i1 es la suma de i2 e i3 por lo que se observa que cuando i3 tiende a
%cero, el valor de i1 e i2 es el mismo y por eso aparecen superpuestas

5.1.2 Método del Trapecio

E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
C=[1 0;0 1];
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
    i=inv(C-(h*A)/2)*((C+(h*A)/2)*i+h*B)
    i3(n+1)=i(1);
    i2(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
    subplot(3,1,1)
    plot(x,i1,'r*')
    subplot(3,1,2)
    plot (x,i2,'b*')
    subplot(3,1,3)
    hold on
    plot (x,i2,'b*')
    plot (x,i1,'r*')
    plot (x,i3,'g*')
hold off

6 Apartado 6

Suponiendo que las intensidades $i_{1}$, $i_{2}$ eran iguales en el tiempo $t$ = 0.3 con valor 1 amperio. ¿Qué valores de las intensidades había inicialmente?

6.1 Resolución

Sabiendo que el circuito a tiempo 0.3 esta cerrado y vale 1A, si abrimos el circuito, se producirá una disminución de la intensidad $i_{1}$ e $i_{2}$ hasta llegar practicamente a 0, es decir, es asintótica en 0.

clear all
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
    i=i+h*((A*i)+B);
    i3(n+1)=i(1);
    i2(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
i11=1-i1;
i22=1-i2;
i33=i11-i22;
subplot(3,1,1)
plot(x,i11,'x')
subplot(3,1,2)
plot(x,i22,'x')
subplot(3,1,3)
plot(x,i33,'x')
 
i33(N)
i22(N)
i11(N)
 
%Como la intensidad es negativa, debemos considerar el sentido contrario al
%que hemos tomado inicialmente

--JaviLozano (discusión) 23:49 4 mar 2013 (CET)