Diferencia entre revisiones de «Diferencias finitas para la ecuación de ondas»
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| − | <math> U(t)= \left( \begin{array}{llll} u_1(t) \\ u_2(t) \\ u_3(t) \\ u_4(t) \end{array} \right), | + | <math> U(t)= \left( \begin{array}{llll} u_1(t) \\ u_2(t) \\ u_3(t) \\ u_4(t) \end{array} \right), \qquad K= \left( \begin{array}{cccc} 1 & -1 & 0 & 0 \\-1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \; \end{array} \right), </math> |
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Revisión del 10:52 28 may 2013
1 Planteamiento: ecuación de ondas
Consideramos el siguiente problema
[math]\begin{equation}\label{diferencia1}\left\{ \begin{array}{lll} u_{tt}-u_{xx}=\frac{4e^{-t}}{1+x^2}, \hspace{0.4cm} x \in (0,1), \;\; t\gt0, \\ u_x(0,t)=2te^{-t^2}, \;\; u(1,t)=\frac{t}{1+t^2}, \hspace{0.4cm} t\gt0, \\ u(x,0)=x^2(1-x), \;\; u_t(x,0)=x, \hspace{0.4cm} x \in(0,1). \end{array} \right.\end{equation} [/math] Vamos a aproximar la solución por diferencias finitas en [math] x\in (0,1) [/math] y [math] t \in (0,3) [/math].
2 Discretización espacial
Primeramente introducimos una partición del intervalo [math] x\in (0,1) [/math]. Definimos el número de subintervalos N=5 y consideramos la malla en espacio $x_i=a+idx, \; i=0,1,2,3,4,5$. Llamaremos $dx=\frac{b-a}{N}=\frac{1}{5}$ la distancia entre dos puntos consecutivos de la malla. En los puntos [math] x_i [/math] tenemos
[math] u_{tt}(x_i,t)-u_{xx}(x_i,t)=\frac{4e^{-t}}{1+x_i^2}, \hspace{0.4cm} i=1,2,3,4. [/math]
Reemplazamos [math]-u_{xx}(x_i,t)[/math] por [math]\frac{-u(x_{i-1},t)+2u(x_i,t)-u(x_{i+1}t)}{dx^2},[/math] obteniendo entonces una aproximación de la ecuación en derivadas parciales [math] \begin{equation}\label{diferencia2}u_{tt}(x_i,t)+\frac{-u(x_{i-1,t}+2u(x_i,t)-u(x_{i+1}t)}{dx^2}=\frac{4e^{-t}}{1+x_i^2}, \hspace{0.4cm} i=1,2,3,4.\end{equation} [/math]
Si llamamos $u_i(t)=u(x_i,t), \; i=0,1,2,3,4,5$ el sistema (\ref{diferencia2}) lo podemos escribir en la forma [math]\begin{equation}\label{diferencia3}\left\{ \begin{array}{llll} u''_1(t)+\frac{-u_0(t)+2u_1(t)-u_2(t)}{dx^2}=\frac{4}{1+x_1^2}e^{-t} \\ u''_2(t)+\frac{-u_1(t)+2u_2(t)-u_3(t)}{dx^2}=\frac{4}{1+x_2^2}e^{-t} \\ u''_3(t)+\frac{-u_2(t)+2u_3(t)-u_4(t)}{dx^2}=\frac{4}{1+x_3^2}e^{-t} \\ u''_4(t)+\frac{-u_3(t)+2u_4(t)-u_5(t)}{dx^2}=\frac{4}{1+x_1^2}e^{-t} \end{array} \right.\end{equation} [/math]
No conocemos el valor de $u(0,t)$, solo el valor de la derivada con respecto a $x$,
[math]u_x(0,t)= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{u(0+\Delta x,t)-u(0,t)}{\Delta x}=2te^{-t^2}.[/math]
Tomamos $\Delta x= dx$ y aproximamos $\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{u(0+\Delta x,t)-u(0,t)}{\Delta x}$ por $\frac{u(dx,t)-u(0,t)}{d x}$. Entonces
[math]2te^{-t^2}=\frac{u(dx,t)-u(0,t)}{d x}=\frac{u(x_1,t)-u(0,t)}{d x}=\frac{u_1(t)-u_0(t)}{d x} \Rightarrow u_0(t)= u1(t)-2te^{-t^2}dx,[/math]
y el sistema \ref{diferencia3} podemos escribirlo en la forma [math]\begin{equation}\label{diferencia4b}\left\{ \begin{array}{llll} u''_1(t)+\frac{-u_1(t)+2te^{-t^2}dx+2u_1(t)-u_2(t)}{dx^2}=\frac{4}{1+x_1^2}e^{-t} \\ u''_2(t)+\frac{-u_1(t)+2u_2(t)-u_3(t)}{dx^2}=\frac{4}{1+x_2^2}e^{-t} \\ u''_3(t)+\frac{-u_2(t)+2u_3(t)-u_4(t)}{dx^2}=\frac{4}{1+x_3^2}e^{-t} \\ u''_4(t)+\frac{-u_3(t)+2u_4(t)-\frac{t}{1+t^2}}{dx^2}=\frac{4}{1+x_1^2}e^{-t} \end{array} \right.\end{equation}[/math] o en forma equivalente [math]\begin{equation}\label{diferencia4}\left\{ \begin{array}{llll} u''_1(t)+\frac{-u_1(t)+2u_1(t)-u_2(t)}{dx^2}=\frac{4}{1+x_1^2}e^{-t} -\frac{2te^{-t^2}}{dx} \\ u''_2(t)+\frac{-u_1(t)+2u_2(t)-u_3(t)}{dx^2}=\frac{4}{1+x_2^2}e^{-t} \\ u''_3(t)+\frac{-u_2(t)+2u_3(t)-u_4(t)}{dx^2}=\frac{4}{1+x_3^2}e^{-t} \\ u''_4(t)+\frac{-u_3(t)+2u_4(t)}{dx^2}=\frac{4}{1+x_1^2}e^{-t}+\frac{t}{1+t^2} \frac{1}{dx^2} \end{array} \right.\end{equation}[/math]
Si llamamos
[math] U(t)= \left( \begin{array}{llll} u_1(t) \\ u_2(t) \\ u_3(t) \\ u_4(t) \end{array} \right), \qquad K= \left( \begin{array}{cccc} 1 & -1 & 0 & 0 \\-1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \; \end{array} \right), [/math]
[math] F(t)=\left( \begin{array}{llll} \frac{4}{1+x_1^2}e^{-t} -\frac{2te^{-t^2}}{dx} \\ \frac{4}{1+x_2^2}e^{-t} \\ \frac{4}{1+x_3^2}e^{-t} \\ \frac{4}{1+x_4^2}e^{-t} +\frac{t}{1+t^2} \frac{1}{dx^2} \end{array} \right), [/math]
el sistema \ref{diferencia4}, junto con la condici\'on inicial, puede escribirse en la forma
[math]\begin{equation}\label{diferencia5}\left\{ \begin{array}{ll} U''(t)=-KU(t)+F(t) \\ U(0)=\left( \begin{array}{llll} x_1^2(1-x_1) \\ x_2^2(1-x_2) \\ x_3^2(1-x_3) \\ x_4^2(1-x_4) \end{array} \right) , \;\; U'(0)=\left( \begin{array}{llll} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array} \right) \end{array} \right. .\end{equation}[/math]
