Diferencia entre revisiones de «Ecuación Logística (método del trapecio)»
| (No se muestran 8 ediciones intermedias de 3 usuarios) | |||
| Línea 3: | Línea 3: | ||
== Definición == | == Definición == | ||
| − | Usada para simular el crecimiento o decrecimiento de poblaciones, el problema de valor inicial puede definirse como | + | Usada para simular el crecimiento o decrecimiento de poblaciones, el problema de valor inicial puede definirse como |
<math>y' = y\cdot (1-y), \quad t\in(t_0,\infty) </math> | <math>y' = y\cdot (1-y), \quad t\in(t_0,\infty) </math> | ||
<math>y(t_0) = y_0</math> | <math>y(t_0) = y_0</math> | ||
| + | |||
Donde, t es el tiempo, <math>y(t)</math> representa el tamaño de la población y <math>y_0</math> el tamaño de la población en el instante inicial <math>t=t_0</math>. | Donde, t es el tiempo, <math>y(t)</math> representa el tamaño de la población y <math>y_0</math> el tamaño de la población en el instante inicial <math>t=t_0</math>. | ||
| Línea 13: | Línea 14: | ||
== Esquema numérico == | == Esquema numérico == | ||
| − | El método del trapecio se define como | + | El método del trapecio se define como |
<math> y_0, \; t_0 </math> | <math> y_0, \; t_0 </math> | ||
| − | <math>y_{n+1} = y_{n} + | + | <math>y_{n+1} = y_{n} + \frac{h}{2}\left[ f(t_{n},y_{n}) + f(t_{n+1},y_{n+1}) \right]</math> |
| − | + | ||
| − | La ecuación algebraica a resolver sería | + | La ecuación algebraica a resolver sería |
| − | <math>y_{n+1} = y_{n} + | + | <math>y_{n+1} = y_{n} + \frac{h}{2} \left[ y_{n}\cdot(1 - y_{n}) + y_{n+1}\cdot(1 - y_{n+1}) \right]</math> |
| − | == MATLAB | + | == Código en MATLAB == |
{{matlab|codigo= | {{matlab|codigo= | ||
clear all % antes de comenzar | clear all % antes de comenzar | ||
| Línea 40: | Línea 40: | ||
}} | }} | ||
--[[Usuario:Gonzalo|Gonzalo]] ([[Usuario discusión:Gonzalo|discusión]]) 19:57 8 feb 2013 (CET) | --[[Usuario:Gonzalo|Gonzalo]] ([[Usuario discusión:Gonzalo|discusión]]) 19:57 8 feb 2013 (CET) | ||
| + | |||
| + | == Comentarios == | ||
| + | |||
| + | Este artículo tiene comentarios: [[Discusi%C3%B3n:Ecuaci%C3%B3n_Log%C3%ADstica_(m%C3%A9todo_del_trapecio)]]. | ||
| + | |||
| + | [[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]] | ||
| + | [[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]] | ||
Revisión actual del 21:12 19 may 2013
Este artículo explica la resolución de la ecuación logística por el método del trapecio. Este es un método implícito cuya diferencia con el método de Euler es que para obtener el siguiente valor de la aproximación a la solución del problema de valor inicial se debe resolver una ecuación algebraica. Este es el principal inconveniente de los métodos implícitos frente a los explícitos.
1 Definición
Usada para simular el crecimiento o decrecimiento de poblaciones, el problema de valor inicial puede definirse como
[math]y' = y\cdot (1-y), \quad t\in(t_0,\infty) [/math]
[math]y(t_0) = y_0[/math]
Donde, t es el tiempo, [math]y(t)[/math] representa el tamaño de la población y [math]y_0[/math] el tamaño de la población en el instante inicial [math]t=t_0[/math].
2 Esquema numérico
El método del trapecio se define como
[math] y_0, \; t_0 [/math]
[math]y_{n+1} = y_{n} + \frac{h}{2}\left[ f(t_{n},y_{n}) + f(t_{n+1},y_{n+1}) \right][/math]
La ecuación algebraica a resolver sería
[math]y_{n+1} = y_{n} + \frac{h}{2} \left[ y_{n}\cdot(1 - y_{n}) + y_{n+1}\cdot(1 - y_{n+1}) \right][/math]
3 Código en MATLAB
clear all % antes de comenzar
t0=0; tN=4; % el intervalo de tiempo es de 0s a 4s
N=40; h=(tN-t0)/N; %40 intervalos con paso h
y0=1/10; % valor inicial
yy=y0;
y(1)=yy % inicio del bucle
for n=1:N
yy= (1/h)*(0.5*h-1+sqrt((1-0.5*h)^2+4*(h/2)*(yy+0.5*h*yy*(1-yy))));
y(n+1)=yy;
end
t=t0:h:tN;
plot(t,y,'x') % dibujo de la solución--Gonzalo (discusión) 19:57 8 feb 2013 (CET)
4 Comentarios
Este artículo tiene comentarios: Discusión:Ecuación_Logística_(método_del_trapecio).
