Diferencia entre revisiones de «Nivel piezométrico en acuífero confinado-Grupo 12»

Revisión del 16:25 18 may 2014

El contenido de este artículo plantea la situación del nivel piezométrico, definido como la altura que alcanzaría el agua al realizar un sondeo en un punto de un acuífero confinado entre dos capas de terreno horizontales impermeables al construirse un pozo, de sección circular y radio [math]\rho _{0} [/math] ,provocando que el nivel piezométrico cambie. Las ecuaciones empleadas para el estudio son la ecuación de conservación de la masa junto con la ley de Darcy, que es una ley experimental que modela el flujo de agua en un medio poroso, estableciendo que el flujo de agua [math] q [/math] es proporcional a la diferencia de presión. La ley de Darcy nos proporciona una buena aproximación del comportamiento del agua en un medio poroso siempre que éste sea homogéneo e isótropo.

1 Interpretación

1.1 Hipótesis iniciales

El análisis que sigue es de aplicación al caso de pozos aislados que penetran totalmente el acuífero por lo que el derrame es horizontal. Los supuestos de partida son los siguientes:

• El acuífero es extensivo, homogéneo e isótropo por lo que se cumple la ley de Darcy.
• El acuífero es un medio poroso saturado de agua, ocupando una región infinita y en equilibrio, por tanto [math] h(x,y)= h_{0} [/math] constante para todo [math](x,y)[/math].
• La pérdida de carga de entrada al pozo es despreciable.
• El acuífero se asienta sobre una superficie horizontal.
• El nivel piezométrico antes del bombeo es (casi) horizontal.
• El caudal extraído del acuífero se produce al mismo tiempo que el descenso del nivel piezométrico.
• La sección transversal que atraviesa el agua permanece constante (el espesor del acuífero es constante).
• El flujo de agua tiene simetría radial.

Nivel piezométrico de acuífero confinado en el que se construye un pozo

Un pozo perfora totalmente un acuífero confinado. La situación inicial al bombeo se corresponde a un régimen hidrostático cuyo límite superior es el nivel piezométrico [math] h_\rho [/math]. Una vez que se comienza el bombeo se produce una depresión en dicho nivel de las zonas próximas al pozo, que disminuye gradualmente al aumentar la distancia al pozo. Éste varía con las características del pozo y del acuífero. La presencia del pozo hace que el nivel piezométrico cambie, definido este nivel, [math] h(x,y)[/math], por la altura que alcanzaría el agua al realizar un sondeo en el punto [math](x,y)[/math],por tanto va a depender únicamente de la distancia al pozo debido a la simetría del porblema. El descenso del nivel piezométrico origina un gradiente hidráulico hacia el pozo que hace que el acuífero suministre el caudal q elevado por la bomba. La velocidad del agua es proporcional al gradiente hidráulico por lo que la superficie libre adopta una forma acampanada cuya pendiente se incrementa en la proximidad al pozo.

1.2 Ecuaciones y parámetros

Si tomamos coordenadas cilíndricas de manera que OZ coincide con el eje de simetría del pozo, [math]\ h = h_\rho [/math] donde [math] \rho [/math] [math] = \sqrt{x^2\; +\; y^2\;} [/math] . Trabajamos por tanto en coordenadas polares en el plano [math](\rho ,\theta) [/math].

La primera ecuación con la que podemos determinar [math]\ h = h_\rho [/math] es la de conservación de la masa:

:[math] S ·\frac{ \partial h }{ \partial t } + div q = 0[/math]

siendo S el almacenamiento específico, que expresa la masa de agua extraída (o almacenada) por unidad de volumen de acuífero cuando desciende el nivel piezométrico [math] h [/math].

Para conocer completamente [math]\ h = h_\rho [/math] hace falta combinar con una segunda ecuación la de la conservación de la masa , que en este caso es la que explica la ley de Darcy:

:[math] q = - K ·\nabla h [/math]

siendo K la permeabilidad o conductividad hidraulica y deducida para cada material experimentalmente. El flujo de agua que provoca un cambio de presión será mayor, cuanto mayor sea K.

Combinando ambas ecuaciones tenemos como resultado:

[math] \frac{ \partial h }{ \partial t } - D · \Delta h = 0 [/math][math]\rho \gt [/math] [math]\rho _{0}[/math] [math] \frac{ \partial h }{ \partial t } - D · \Delta h = 0 [/math] [math] \quad θ\in (0,2\pi ) \quad t\gt0 \quad [/math] siendo [math] D=\frac{k}{s}[/math] la difusividad hidráulica que la suponemos constante.

En un caso general , la [math]h[/math] dependería de [math]\rho[/math] y [math]\theta[/math]. Por la definición del Laplaciano, esto quedaría como:[math]\Delta h(\rho,\theta)[/math]. Esta ecuación también se puede obtener si hallamos la divergencia del gradiente de h. Lo primero para hallar q es el gradiente de h (formula gradiente), por tanto q es un campo vectorial. Si se quiere introducir en la ecuación de conservación de la masa, podríamos sustituir el valor de q obtenido dentro de la fórmula que nos obligaría a realizar la divergencia de dicho campo vectorial. Con esto obtendríamos la misma ecuación. Un vez hecho esto para [math]\rho \gt[/math] [math]\rho _{0}[/math] la ecuación diferencial sería:

:[math] \frac{ \partial h }{ \partial t } - D·(\frac{\partial ^2 h}{\partial \rho^2}+ \frac{1}{\rho}·\frac{\partial h}{\partial \rho}+\frac{\partial^2 h}{\partial \theta^2})= 0[/math],

Como queremos imponer que nuestra solución sea radial, obligamos a que [math]h[/math] dependa únicamente de [math]\rho[/math] , por tanto su derivada con respecto a [math]\theta[/math] es igual a cero. La segunda por consiguiente también. Teniendo en cuenta todo esto, obtenemos la siguiente ecuación:

:[math]\frac{\partial h}{\partial t}- D·(\frac{\partial ^2 h}{\partial \rho^2}+ \frac{1}{\rho}·\frac{\partial h}{\partial \rho})[/math]

Ciñéndonos a una región finita, [math]\rho(\rho_{0},20)[/math], y considerando que la altura del pozo se mantiene constante [math]h_{p}[/math], las condiciones de contorno deberían ser :

[math]h(\rho _{0},t) = h _{\rho} \quad \quad h(20,t) = h _{0}[/math] ???????

En nuestro caso para completar el sistema y que éste tenga una única solución, tenemos que imponer la condición inicial que es la que implica el tiempo, por ello hemos supuesto que en un instante inicial [math]t = 0[/math], el nivel piezométrico es [math]h_{0}[/math] o nivel previo a la construcción del pozo, es decir: [math]h(\rho,0) = h _{0}[/math] Teniendo en cuenta todo esto el sistema será el siguiente:

\[\left\{\begin{matrix}\ \frac{\partial h}{\partial t}- D·(\frac{\partial ^2 h}{\partial \rho^2}+ \frac{1}{\rho}·\frac{\partial h}{\partial \rho})=0 , & \\ h(\rho _{0},t)=h _{\rho} \quad \quad h(20,t)=h _{0} & \\ h(\rho,0)=h _{0} & \end{matrix}\right.\]

[math]\h(\rho,t)=h\lt/big\gt\lt/big\gt[/math]

[math]h(20,t)=h\lt/big\gt\lt/big\gt[/math]

[math](\rho,0)=h\lt/big\gt\lt/big\gt[/math]

%ht-D*(hxx+hx/x)=0
%h(0,t)=hp
%h(L,t)=ho
%h(x,0)=ho
clear all
clc
L=20;
T=500;
D=0.01;
hp=35;
ho=40;
dx=1/10;
x0=1;
x=x0:dx:L;
xint=x0+dx:dx:L-dx;
N=length(x)-2; 
K=(1/dx^2)*(diag(2*ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1));
A=(1/(dx*2))*(diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1));
A=diag(1./xint)*A;
h0=(40*ones(N,1));
dt=dx; 
t=0:dt:T;
M=length(t)-1;
F=(zeros(N,1));
F(1)=D*((hp/dx^2)-(hp/(2*dx)*1/xint(1)));
F(N)=D*((ho/dx^2)+ho/(dx*2*xint(N)));
sol(1,:)=[40;h0;40]'; 
h=h0;
for n=1:M
  h=(((eye(N)-(dt*D)*(K-A)))*h+(dt)*(F));
  sol(n+1,:)=[35 h' 40];
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

surf(xx,tt,sol)
title('Nivel piezométrico en función del tiempo y la distancia');
ylabel('Tiempo');
xlabel('Distancia');
zlabel('Nivel piezométrico')
pause

plot(sol(:,21));
title('Nivel piezométrico en función del tiempo para radio 2');
xlabel('Tiempo');
ylabel('Nivel piezométrico');

%ht-D*(hxx+hx/x)=0
%h(0,t)=hp
%h(L,t)=ho
%h(x,0)=ho
clear all
clc
L=20;
T=50;
D=0.01;
hp=35;
ho=40;
dx=1/10;
x0=1;
x=x0:dx:L;
xint=x0+dx:dx:L-dx;
N=length(x)-2; 
K=(1/dx^2)*(diag(2*ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1));
A=(1/(dx*2))*(diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1));
A=diag(1./xint)*A;
h0=(40*ones(N,1));
dt=dx; 
t=0:dt:T;
M=length(t)-1;
F=(zeros(N,1));
F(1)=D*((hp/dx^2)-(hp/(2*dx)*1/xint(1)));
F(N)=D*((ho/dx^2)+ho/(dx*2*xint(N)));
sol(1,:)=[40;h0;40]'; 
h=h0;
for n=1:M
  h=(((eye(N)-(dt*D)*(K-A)))*h+(dt)*(F));
  sol(n+1,:)=[35 h' 40];
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

surf(xx,tt,sol)
title('Nivel piezométrico en función del tiempo y la distancia');
ylabel('Tiempo');
xlabel('Distancia');
zlabel('Nivel piezométrico')
pause

plot(sol(:,21));
title('Nivel piezométrico en función del tiempo para radio 2');
xlabel('Tiempo');
ylabel('Nivel piezométrico');

%ht-D*(hxx+hx/x)=0
%h(0,t)=hp
%h(L,t)=ho
%h(x,0)=ho
clear all
clc
L=20;
T=500;
D=0.01;
hp=35;
ho=40;
dx=1/10;
x0=1;
x=x0:dx:L;
xint=x0+dx:dx:L-dx;
N=length(x)-2; 
K=(1/dx^2)*(diag(2*ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1));
A=(1/(dx*2))*(diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1));
A=diag(1./xint)*A;
h0=(40*ones(N,1));
dt=dx; 
t=0:dt:T;
M=length(t)-1;
F=(zeros(N,1));
F(1)=D*((hp/dx^2)-(hp/(2*dx)*1/xint(1)));
F(N)=D*((ho/dx^2)+ho/(dx*2*xint(N)));
sol(1,:)=[40;h0;40]'; 
h=h0;
for n=1:M
  h=(eye(N)+(dt*D)*(K-A))\(h+(dt)*(F));
  sol(n+1,:)=[35 h' 40];
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

surf(xx,tt,sol)
title('Nivel piezométrico en función del tiempo y la distancia');
ylabel('Tiempo');
xlabel('Distancia');
zlabel('Nivel piezométrico')
pause

plot(sol(:,21));
title('Nivel piezométrico en función del tiempo para radio 2');
xlabel('Tiempo');
ylabel('Nivel piezométrico');