Diferencia entre revisiones de «Calor Placa Anillo (18B)»

Revisión del 13:53 17 may 2014

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1 Introducción

Anillo circular entre los radios \(\rho=1\) y \(\rho=6\)

El problema nos pide considerar una placa plana en forma de anillo o corona circular, comprendida entre los radios \(\rho=1\) y \(\rho=6\), dividida en diferentes franjas circulares (sectores), cuya temperatura varía según la dirección radial.

Disponemos de la función que determina la temperatura inicial de la placa, que abarca distintos valores del radio \(\rho\):

\[ \begin{array}{c} \\u(\rho,0)=\begin{cases} 100(\rho - 1) & \text{ si } \rho \epsilon (1,2) \\ 100 & \text{ si } \rho \epsilon (2,5) \\ 90(6-\rho)+10 & \text{ si } \rho \epsilon (5,6) \end{cases} &&&(1) \end{array} \]

Los extremos de la placa están en contacto con objetos que, por diversas razones físicas, hacen que el límite interior de la placa se encuentre a \(0ºC\), mientras que el exterior está, de un modo similar, a \(10ºC\). Estas temperaturas se mantienen constantes con el paso del tiempo, es decir, durante \(t>0\).

Analizando la situación, podemos ver que se trata de un problema que se puede representar mediante la ecuación del calor y su distribución a lo largo del tiempo para los diferentes intervalos representados anteriormente \((1)\).

OBSERVACIÓN: Tal como indica el enunciado, se hace preciso trabajar con la ayuda de una parametrización en coordenadas polares por la facilidad práctica que supone. Sin embargo, la temperatura no varía en función de \(\theta\) (siendo \(\theta\) el ángulo girado con respecto al eje de abcisas y centro en el origen de coordenadas), razón por la cual asemejaremos este problema al de una varilla de longitud comprendida entre \(x\epsilon [1,6]\), cuya función de temperatura depende del tiempo y de la distancia \(\rho\) al extremo interior \(\rho=1\).

Considerando \(u(\rho,t)\) como la función que determinará el calor de la placa, las condiciones iniciales y de frontera, serán las siguientes:

• Para \(\rho=1\), tenemos una temperatura constante de \(0ºC\).
• Para \(\rho=6\), tenemos una temperatura constante de \(10ºC\).

2 Planteamiento del sistema de ecuaciones

Suponemos que la temperatura u de la placa en forma de anillo depende solo de la cordenada radial \(\rho\) y del tiempo t es decir \[

u = u(\rho,t) \]

y que satisface la ecuacion del calor \[

u_t - \Delta u =0 \]

El sistema de ecuaciones que satisface \( u = u(\rho,t)\) es el siguiente: \[

\begin{array}{c} u_t - u_{\rho\rho} =0 &  \rho  \epsilon (1,6)& y & t>0 \\ u(1,t)=0 ,  u(6,t)=10 & t>0 \\u(\rho,0)=\begin{cases} 100(\rho - 1) && \text{ si }  \rho   \epsilon (1,2) \\ 100 && \text{ si } \rho \epsilon (2,5) \\ 90(6-\rho) && \text{ si }  \rho \epsilon (5,6) \end{cases} \end{array}

\]

3

4 Representación de la temperatura en el tiempo para p=3

clear all 
h=0.1; 
a=2; b=5; 
x=a:h:b 
N=(b-a)/h; 
%El vector x tiene N+1 elementos 
% matriz K 
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1)); 
% término F y valor inicial 
xx=x(2:N); %quitamos primer y último elemento de x 
F=0*xx; 
U=100*ones(size(xx)); %valor inicial 
 
% discretización en t 
j= 0.5*h^2; % paso en t. Menor h2 para estabilidad con Euler. 
t=0:j:10; 
M=length(t); %número de puntos de t 
 
sol(1,:)=[0,U,10]; 
U=U'; 
for k=1:M-1 
 U= U + j*(-K*U +F'); 
 sol(k+1,:)=[0,U',10]; 
 end 
plot(t,sol(:,11)) %la columna 11 es la correspondiente a p=3

Varriacion de la temperatura en los 10 primeros segundos para \(\rho=3\)

5

6

Ahora colocamos en la frontera exterior de la placa (� = 6) una pieza aislante (en lugar de un objeto con temperatura constante 10). El aislante hace que no haya p�erdida de calor en ese extremo, es decir, el ujo de temperatura en la dirección�on radial es nulo. >Cual es el valor estacionario de la temperatura de la placa? >Cuanto tarda la temperatura en alcanzar el estado estacionario con un error del 5%?

clear all 
h=0.1; 
a=1; b=2; c=5; d=6;
N=(d-a)/h;
x=a:h:d;
K=(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
K(N-1,N-1)=2/3; 
K(N-1,N-2)=-2/3; 
K=1/h^2*K;
xx=x(2:N)
F=0*xx; 
xx1=x(2:10);
xx2=x(11:41);
xx3=x(42:50);
U1 = 100*(xx1-1)
U2 =100*ones(size(xx2)) %valor inicial 
U3 =((90*(6-xx3))+10)
j= 0.5*h^2; % paso en t. Menor h2 para estabilidad con Euler. 
t=0:j:10; 
M=length(t); %número de puntos de t 
U=[U1,U2,U3]
sol(1,:)=[0,U,((-U(4)+U(5))/3)]
U=U'; 
for k=2:M
 U= U + j*(-K*U +F'); 
 sol(k,:)=[0,U',((-U(4)+U(5))/3)]; 
end
[Mx,Mt]=meshgrid(x,t);
mesh(Mx,Mt,sol)

7 Transformación del problema en disco

Disco circular de radio \(\rho<6\)

Considerando que la placa ocupa todo el disco \(\rho<6\), aproximaremos las soluciones usando el método de Fourier. De nuevo, la solución dependerá sólo de \(\rho\) y \(t\), y tomaremos ahora como condición frontera \(u(6;t) = 0\).

7.1 Problema de autovalores

7.2 Función de Bessel

7.3 Aproximación de la solución