Diferencia entre revisiones de «Carga crítica de una columna (Grupo 7B)»
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Vamos a estudiar la estabilidad de la columna en función de la carga P aplicada. Por definición, se dice que una columna es estable si la única solución posible de la función elástica '''<math>y(x)</math>''' es la trivial, '''<math>y(x)=0</math>'''. | Vamos a estudiar la estabilidad de la columna en función de la carga P aplicada. Por definición, se dice que una columna es estable si la única solución posible de la función elástica '''<math>y(x)</math>''' es la trivial, '''<math>y(x)=0</math>'''. | ||
| − | Suponer E = 1, la sección de la columna circular de radio constante '''<math>R=1 m.</math>''', su densidad es '''<math> | + | Suponer '''<math>E=1</math>''', la sección de la columna circular de radio constante '''<math>R=1 m.</math>''', su densidad es '''<math>\rho=1 Kg/m3</math>''' y '''<math>L=10 m.</math>'''Cuales son los valores P en los que la columna es estable? |
= Dibujar la función que a cada radio R 2 [1; 5] le asocia el valor más pequeño de Pcr para el cual la columna deja de ser estable. El valor Pcr se conoce como carga crítica (obtenido por primera vez por L. Euler)(3) = | = Dibujar la función que a cada radio R 2 [1; 5] le asocia el valor más pequeño de Pcr para el cual la columna deja de ser estable. El valor Pcr se conoce como carga crítica (obtenido por primera vez por L. Euler)(3) = | ||
Revisión del 13:22 14 may 2014
| Trabajo realizado por estudiantes | |
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| Título | Carga crítica de una columna. Grupo 7B |
| Asignatura | Ecuaciones Diferenciales |
| Curso | Curso 2013-14 |
| Autores | María Ramírez
Ignacio Posada Antonio López-Mateos Pablo Bueno |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
1 Introducción
En este proyecto numérico hemos estudiado la estabilidad y deflexión de una columna vertical, sometida a una carga constante P.
La base de la teoría de las columnas es la formula de Euler, que fue publicada en 1757 por Leonardo Euler, un matemático suizo. Esta formula es válida solamente para columnas largas. También tenemos que suponer que esta columna es recta, homogénea, y de sección transversal constante en toda su longitud. Se aplica la ley de Hooke y los esfuerzos son inferiores al limite de proporcionalidad del material, para evitar fracturas en la estructura de la columna.
La carga critica de pandeo es la carga axial máxima que una columna puede soportar cuando esta a punto de pandearse.
Un esquema representativo sería:
2 Planteamiento matemático (LISTO)
Examinando los datos iniciales del problema, nos encontramos ante una columna vertical larga y esbelta de sección transversal uniforme, y de longitud total igual a L. Su eje de simetría, por tanto, ocupa el intervalo espacial [math]x \epsilon [0, L][/math], donde [math]x=0[/math] corresponde al extremo superior de la columna, donde se aplica la carga, y [math]x=L[/math] al extremo inferior de la columna. Sea [math]y(x)[/math] la función elástica o función que expresa la curvatura del eje de la columna al aplicarle una fuerza vertical de compresión o carga [math]P[/math], en su extremo superior (ver figura Apartado 1). Al comparar los momentos flectores en cualquier punto de la columna se obtiene:
\begin{matrix} y(x)=\frac{M(x)}{E I(x)} \end{matrix}
Siendo:
· [math]E[/math]: módulo de elasticidad de Young.
· [math]I(x)[/math]: momento de inercia de una sección trasversal respecto a una recta vertical por el centro.
· [math]M(x)[/math]: momento flector.
En el caso de la columna, el momento depende de la deflexión, de manera que: [math]M(x)=-Py(x)[/math].
Por tanto, sustituyendo la fórmula del momento flector en la ecuación inicial: \[\begin{array}{crl}
\\
y(x)=\frac{M(x)}{E I(x)} \Longrightarrow y(x)=\frac{-Py(x)}{E I(x)} \Longrightarrow y(x)+\frac{Py(x)}{E I(x)}=0 \\
\\
\end{array}\] Para poder resolver este problema de contorno faltarían las condiciones de contorno que serían: [math] \left\{\begin{matrix} y(0)=0 \\ y(L)=0\\ \end{matrix}\right. [/math] ya que en los extremo de la viga: [math]x=0[/math] y [math]x=L[/math] tiene deflexión cero.
Por tanto, el problema de contorno planteado para resolver el ejercicio sería:
[math] \left\{\begin{matrix} y''(x)+\frac{Py(x)}{E I(x)}=0 \\ y(0)=0 \\ y(L)=0\\ \end{matrix}\right. [/math]
3 Estabilidad de la columna
Vamos a estudiar la estabilidad de la columna en función de la carga P aplicada. Por definición, se dice que una columna es estable si la única solución posible de la función elástica [math]y(x)[/math] es la trivial, [math]y(x)=0[/math].
Suponer [math]E=1[/math], la sección de la columna circular de radio constante [math]R=1 m.[/math], su densidad es [math]\rho=1 Kg/m3[/math] y [math]L=10 m.[/math]Cuales son los valores P en los que la columna es estable?
