Diferencia entre revisiones de «Plantilla:Ecuación»
| Línea 1: | Línea 1: | ||
| − | La ecuación del calor | + | La ecuación del calor fue propuesta por Fourier en 1807, pero no sería hasta 1822 cuando la academia decidió publicarla. Esta ecuación es un modelo matemático que describe la evolución de la temperatura en un cuerpo sólido en función del tiempo y del espacio. En matemáticas representa una ecuación parabólica, dada por una ecuación en derivadas parciales lineales de segundo orden y de coeficientes constantes: |
donde a=-1; e=1; b=c=d=f=0. | donde a=-1; e=1; b=c=d=f=0. | ||
| + | Consideramos una varilla de longitud L de un cierto material, de grosor constante. Está orientada en la dirección del eje x con \quad x\in(0,\3) </math> | ||
| + | |||
| + | . La varilla es conductora de calor, (conducci ́on t ́ermica), en el sentido | ||
| + | de que entre dos zonas de ella a diferente temperatura hay un intercambio | ||
| + | de energ ́ıa t ́ermica en forma de calor. | ||
| + | Recordamos que el calor es una cantidad de energ ́ıa, (energ ́ıa t ́ermica), | ||
| + | expresi ́on del movimiento de las mol ́eculas que componen el cuerpo. La | ||
| + | temperatura es la medida del calor del cuerpo, (y no la cantidad de calor | ||
| + | que este contiene). Intetemos ver con un ejemplo la diferencia entre calor y | ||
| + | temperatura. Si hacemos hervir agua en dos recipientes de diferente tama ̃no, | ||
| + | la temperatura alcanzada es la misma para los dos, 100 | ||
| + | 0 | ||
| + | C, pero el que tiene | ||
| + | m ́as agua posee mayor cantidad de calor. El calor es lo que hace que la | ||
| + | temperatura aumente o disminuya. Si a ̃nadimos calor, esta aumenta. | ||
| + | Suponemos que la varilla es delgada y tiene su superficie lateral aislada | ||
| + | t ́ermicamente. Podemos entonces pensar que todas las cantidades t ́ermicas | ||
| + | son constantes a los largo de cada secci ́on transversal, y ver la varilla como | ||
| + | un objeto unidimensional. La energ ́ıa t ́ermica de la varilla va a depender | ||
| + | entonces de | ||
| + | x | ||
| + | ∈ | ||
| + | [0 | ||
| + | , L | ||
| + | ] y | ||
| + | t | ||
| + | . Designamos por | ||
| + | u | ||
| + | ( | ||
| + | x, t | ||
| + | ) la temperatura de la | ||
| + | secci ́on de la varilla que dista | ||
| + | x | ||
| + | ≥ | ||
| + | 0 del extremos | ||
| + | x | ||
| + | = 0 cuando ha pasado | ||
| + | un tiempo | ||
| + | t | ||
| + | ≥ | ||
| + | 0. | ||
| + | Tomemos un trozo de varilla entre las secciones | ||
| + | x | ||
| + | y | ||
| + | x | ||
| + | + ∆ | ||
| + | x | ||
| + | , que des- | ||
| + | ignaremos por [ | ||
| + | x, x | ||
| + | + ∆ | ||
| + | x | ||
| + | ]. Pensamos en ∆ | ||
| + | x | ||
| + | , que mide la anchura del trozo | ||
| + | de varilla, como una cantidad muy peque ̃na. Vamos a ver la cantidad de | ||
| + | energ ́ıa t ́ermica que hay en el trozo de la varilla [ | ||
| + | x, x | ||
| + | + ∆ | ||
| + | x | ||
| + | ] | ||
Revisión del 13:33 29 abr 2014
La ecuación del calor fue propuesta por Fourier en 1807, pero no sería hasta 1822 cuando la academia decidió publicarla. Esta ecuación es un modelo matemático que describe la evolución de la temperatura en un cuerpo sólido en función del tiempo y del espacio. En matemáticas representa una ecuación parabólica, dada por una ecuación en derivadas parciales lineales de segundo orden y de coeficientes constantes:
donde a=-1; e=1; b=c=d=f=0. Consideramos una varilla de longitud L de un cierto material, de grosor constante. Está orientada en la dirección del eje x con \quad x\in(0,\3) </math>
. La varilla es conductora de calor, (conducci ́on t ́ermica), en el sentido de que entre dos zonas de ella a diferente temperatura hay un intercambio de energ ́ıa t ́ermica en forma de calor. Recordamos que el calor es una cantidad de energ ́ıa, (energ ́ıa t ́ermica), expresi ́on del movimiento de las mol ́eculas que componen el cuerpo. La temperatura es la medida del calor del cuerpo, (y no la cantidad de calor que este contiene). Intetemos ver con un ejemplo la diferencia entre calor y temperatura. Si hacemos hervir agua en dos recipientes de diferente tama ̃no, la temperatura alcanzada es la misma para los dos, 100 0 C, pero el que tiene m ́as agua posee mayor cantidad de calor. El calor es lo que hace que la temperatura aumente o disminuya. Si a ̃nadimos calor, esta aumenta. Suponemos que la varilla es delgada y tiene su superficie lateral aislada t ́ermicamente. Podemos entonces pensar que todas las cantidades t ́ermicas son constantes a los largo de cada secci ́on transversal, y ver la varilla como un objeto unidimensional. La energ ́ıa t ́ermica de la varilla va a depender entonces de x ∈ [0 , L ] y t . Designamos por u ( x, t ) la temperatura de la secci ́on de la varilla que dista x ≥ 0 del extremos x = 0 cuando ha pasado un tiempo t ≥ 0. Tomemos un trozo de varilla entre las secciones x y x + ∆ x , que des- ignaremos por [ x, x + ∆ x ]. Pensamos en ∆ x , que mide la anchura del trozo de varilla, como una cantidad muy peque ̃na. Vamos a ver la cantidad de energ ́ıa t ́ermica que hay en el trozo de la varilla [ x, x + ∆ x ]
