Diferencia entre revisiones de «Órbita lunar»

Revisión actual del 18:03 6 mar 2014

Rotación es el movimiento de cambio de orientación de un cuerpo o un sistema de referencia de forma que una línea (llamada eje de rotación) o un punto permanece fijo. La posición estaría definida por las coordenadas (x,y), que dependen de una función. En nuestro caso conocemos las aceleraciones:

\[\left\{\begin{matrix}\ x=-G \frac{mx}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}\ , & t\in [0,T]\\ y=-G \frac{my}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}\ , & \end{matrix}\right.\]

1 Reducción de un sistema

Consiste en reducir una ecuación de orden n, a n ecuaciones de orden 1. Como en este caso tenemos un sistema de 2 ecuaciones de orden 2, nos quedará un nuevo sistema formado por 4 ecuaciones de orden 1. Realizando el siguiente cambio de variable:

[math]x1  =  x \quad  x2 = x'[/math]

[math]y1  =  y \quad  y2 = y'[/math]

Nos quedarán las siguientes fórmulas: \[x1'=x2\] \[y1'=y2\]

\[x2'=-G\frac{m\cdot x1}{(x1^{2}+y1^{2})^{3/2}}\] \[y2'=-G\frac{m\cdot y1}{(x1^{2}+y1^{2})^{3/2}}\]

2 Método de Euler modificado

El método de Euler se basa en aproximar el valor de la función a la tangente en cada punto, cuanto más cercanos cojamos los puntos, mayor será la aproximación al resultado real, haciéndolo más exacto .El método de Euler modificado es utilizado para resolver ecuaciones diferenciales no lineales, se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes. Es una combinación entre el método de Euler y el método del trapecio.

La fórmula del trapecio es la siguiente: \[y_{n+1}= y_{n}+h\cdot \frac{[(f(x_{n},y_{n})+f(x_{n+1},y_{n+1})]}{2}\] Y la de Euler es: \[y_{n+1}= y_{n}+h\cdot f(x_{n},y_{n})\] Con lo que el método de Euler modificado quedaría de la siguiente manera: \[y_{n+1}= y_{n}+h\cdot \frac{[(k1+k2)]}{2}\] \[k1 = f(x_{n},y_{n})\] \[k2 = f(x_{n}+h,y_{n}+k1\cdot h)\]

El programa quedaría:

%trabajo apartado 2
clear all
t0=0;
tN=100;
h1=0.1;
h2=1;
N1=(tN-t0)/h1;
N2=(tN-t0)/h2;
t1=t0:h1:tN;
t2=t0:h2:tN;

%para h=0.1

x1=zeros(N1+1);
x1(1)=1;
x2=zeros(N1+1);
x2(1)=0;
y1=zeros(N1+1);
y1(1)=0;
y2=zeros(N1+1);
y2(1)=1;
Z=zeros(4,N1+1);
for n=1:N1
    ZZ=[x1(n);x2(n);y1(n);y2(n)];
    k1=[ZZ(2);-((ZZ(1))/(((ZZ(1))^2)+(ZZ(3)^2))^(3/2));ZZ(4);-((ZZ(3))/(((ZZ(1))^2)+...
        (ZZ(3)^2))^(3/2))];
    Zp=ZZ+h1*k1;
    k2=[Zp(2);-((Zp(1))/(((Zp(1))^2)+(Zp(3)^2))^(3/2));Zp(4);-((Zp(3))/(((Zp(1))^2)+(Zp(3)^2))^(3/2))];
    Z(:,n+1)=ZZ+(h1*((k1+k2)/2));
    x1(n+1)=Z(1,n+1);
    x2(n+1)=Z(2,n+1);
    y1(n+1)=Z(3,n+1);
    y2(n+1)=Z(4,n+1);
end
figure(1)
clf
plot(x1,y1,'r')

Las 3 gráficas siguientes representan la órbita de la luna modificando diferentes parámetros, siendo todas las gráficas diagramas X-Y,Vx=velocidad inicial en x, Vy=velocidad inicial en y, t=tiempo. El programa mostrado arriba corresponde a la primera gráfica:

Descripción de la órbita con Vx=0 y t=100

Descripción de la órbita con Vx=Vy

Descripción de la órbita con Vx≠ 0

3 Método Runge-Kutta

Los métodos de Runge-Kutta son un conjuntos de métodos iterativos (implícitos y explícitos) para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, concretamente, del problema de valor inicial. Sabiendo que el método de Runge-Kutta consiste en: [math]\\y_{n+1} = y_n+h/6(k_1+2k_2+2k_3+k_4)\\k_1=f(t_n,y_n)\\k_2=f(t_n+1/2h,y_n+1/2k_1h)\\k_3=f(t_n+1/2h,y_n+1/2k_2h)\\k_4=f(t_n+h,y_n+k_3h)[/math] En nuestro caso, el programa queda de la siguiente manera:

%apartado3 runge kuta
clear all
t0=0;
t1=100;
a1=1;a2=1.3;
b=0;c=0;
d1=1;d2=1.1;d3=1.4;
h=0.1;
N1=(t1-t0)/h;
x1=zeros(N1+1);
x2=zeros(N1+1);
y1=zeros(N1+1);
y2=zeros(N1+1);
Z1=zeros(4,N1+1);
for n=1:N1
    x1(1)=a1;x2(1)=b;y1(1)=c;y2(1)=d1;
    G=1;
    ZZ=[x1(n);x2(n);y1(n);y2(n)];
    k1=[ZZ(2);-((G*ZZ(1))/(((ZZ(1))^2)+((ZZ(3))^2))^(3/2));ZZ(4);...
        -((G*ZZ(3))/(((ZZ(1))^2)+((ZZ(3))^2))^(3/2))];
    Zp=ZZ+((h/2)*k1);
    k2=[Zp(2);-((G*Zp(1))/(((Zp(1))^2)+((Zp(3))^2))^(3/2));Zp(4);...
        -((G*Zp(3))/(((Zp(1))^2)+((Zp(3))^2))^(3/2))];
    Zx=ZZ+((h/2)*k2);
    k3=[Zx(2);-((G*Zx(1))/(((Zx(1))^2)+((Zx(3))^2))^(3/2));Zx(4);...
        -((G*Zx(3))/(((Zx(1))^2)+((Zx(3))^2))^(3/2))];
    Zw=ZZ+(h*k3);
    k4=[Zw(2);-((G*Zw(1))/(((Zw(1))^2)+((Zw(3))^2))^(3/2));Zw(4)...
        ;-((G*Zw(3))/(((Zw(1))^2)+((Zw(3))^2))^(3/2))];
    Z1(:,n+1)=ZZ+((h/6)*(k1+(2*k2)+(2*k3)+k4));
    x1(n+1)=Z1(1,n+1);
    x2(n+1)=Z1(2,n+1);
    y1(n+1)=Z1(3,n+1);
    y2(n+1)=Z1(4,n+1);
end

figure(1)
clf
plot(Z1(1,:),Z1(3,:),'r')

Realizamos el mismo procedimiento que en el método de Euler modificado, siendo la primera gráfica la correspondiente al problema inicial, y el resto variando parámetros:

Método Runge-Kutta con valores iniciales

Órbita con método Runge-Kutta variando h

Órbita con método Runge-Kutta variando M

4 Resultado e interpretación de las gráficas obtenidas

Método Euler modificado t=6.4

Método Euler modificado aumentando h

Método Runge-Kutta variando (X0,Y0) y Vy

Método Runge-Kutta aumentando aún más Vy

Método Runge-Kutta variando t

Método Runge-Kutta variando t