Diferencia entre revisiones de «El Problema de Merton»
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=. Solución del problema = | =. Solución del problema = | ||
| + | Una vez planteado el problema, buscamos determinar la estrategia óptima $\pi^*$ que maximice la utilidad esperada de la riqueza final. Para ello, definimos la función de valor relativa $H^\pi(t, x, S)$ como la utilidad esperada utilizando la estrategia $\pi$ partiendo del tiempo $t$: | ||
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| + | H^\pi(t,x,S)=\mathbb{E}[U(X_T^\pi)\mid X_t^\pi=x,\;S_t=S]=(\text{notación}):=\mathbb{E}_{t,x,S}[U(X_T^\pi)], | ||
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| + | y definimos la función de valor, $H(t,x,s)$, como el supremo de estas funciones de valor relativas, variando las estrategias $\pi\in A$: | ||
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| + | H(t,x,S)=\sup_{\pi\in A}H^\pi(t,x,S)=\sup_{\pi\in A}\mathbb{E}_{t,x,S}[U(X_T^\pi)]. | ||
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| + | A continuación, calculamos el generador infinitesimal del par $(X_t^\pi,S_t)_{0\leq t \leq T}$, que es un proceso de Itô. Para ello, utilizaremos la fórmula del teorema \ref{generadorInfinitesimal}: | ||
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| + | \begin{equation*} | ||
| + | \mathcal{L}_t^\pi f(x)=\mu(t,x)^tDf(x)+\frac{1}{2}Tr(\sigma(t,x)\sigma(t,x)^tD^2f(x)), | ||
| + | \end{equation*} | ||
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| + | aplicándosela a nuestro par $(X_t^\pi,S_t)_{0\leq t \leq T}$, cuyos términos de drift y de difusión son: | ||
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| + | \begin{align} | ||
| + | \mu(t,x,S) &= \begin{bmatrix} | ||
| + | \pi_t(\mu-r)+rx \\ | ||
| + | (\mu-r)S \\ | ||
| + | \end{bmatrix},\; \sigma(t,x,S)= | ||
| + | \begin{bmatrix} | ||
| + | \sigma \pi_t\\ | ||
| + | \sigma S \\ | ||
| + | \end{bmatrix}, | ||
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| + | y nos queda: | ||
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| + | \begin{equation*} | ||
| + | \mathcal{L}_t^\pi= (rx+(\mu-r)\pi_t)\partial_x+(\mu-r)S\partial_S+\frac{1}{2}\sigma^2\pi_t^2\partial_{xx}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\partial_{SS}+\sigma^2\pi_tS\partial_{xS}. | ||
| + | \end{equation*} | ||
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| + | Como estamos en un problema de control para procesos de difusión, con función de valor $H(t,x,s)$, utilizaremos el teorema \ref{HJB}. Sabemos entonces que la función de valor satisface la ecuación de HJB, que en nuestro caso tiene la forma: | ||
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| + | \partial_tH+\sup_{\pi}\{(rx+(\mu-r)\pi_t)\partial_xH+(\mu-r)S\partial_SH+\frac{1}{2}\sigma^2\pi_t^2\partial_{xx}H+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\partial_{SS}H+\sigma^2\pi_tS\partial_{xS}H\}=0. | ||
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| + | H(T,x,s)=U(x) | ||
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| + | Podemos sacar todos los términos que no dependan de $\pi$ del supremo y nos queda: | ||
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| + | (\partial_t+rx\partial_x+(\mu-r)S\partial_S+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\partial_{SS})H+\sup_{\pi_t}\{\pi_t((\mu-r)\partial_xH+\sigma^2 S\partial_{xS}H)+\frac{1}{2}\sigma^2\pi^2_t\partial_{xx}H\}=0, | ||
| + | \end{equation*} | ||
| + | donde la condición terminal es $H(T,x,S)=U(x)$. En el supremo tenemos una ecuación cuadrática respecto a $\pi$, luego se alcanzará un máximo siempre que $\partial_{xx}H<0$ (lo cual asumiremos cierto). Derivando e igualando a cero, tenemos que dicho máximo se alcanzará en: | ||
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| + | \begin{equation*} | ||
| + | \pi^*=-\frac{(\mu-r)\partial_x H+\sigma^2 S\partial_{xS}H}{\sigma^2 \partial_{xx}H}. | ||
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| + | Es decir, este es el control óptimo cuando tenemos feedback conocido $H(t,x,S)$ para todo tiempo $t$. Sustituyendo este valor de $\pi^*$ en la ecuación nos queda la EDP no lineal: | ||
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| + | \begin{equation*} | ||
| + | 0=(\partial_t+rx\partial_xH+(\mu-r)S\partial_SH+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\partial_{SS}H)-\frac{((\mu-r)\partial_xH+\sigma S\partial_{xS}H)^2}{2\sigma^2\partial_{xx}H} | ||
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| + | Ahora viene un paso clave, y es asumir que la función de valor $H(t,x,S)$ no depende del precio del activo $S$, es decir, que$H(t,x,S)=h(t,x)$. La condición terminal nos da una pista sobre esto, ya que únicamente depende de $x$ y no de $S$. Por otro lado, económicamente tiene sentido esta suposición: el valor $S$ del activo no nos interesa, puesto que en este modelo asumimos que podemos comprar acciones fraccionarias con total libertad; luego, lo único que importa es la cantidad de dinero que invirtamos en ellas $(\pi_t)$ y no el número de acciones o el precio de dichas acciones. Matemáticamente, esto lo podemos ver como que en la EDE que seguía la riqueza del agente $X_t$ no aparece ningún término de $S$; luego $H(t,x,S)=\mathbb{E}_{t,x,S}[X_T^\pi]=\mathbb{E}_{t,x}[X_T^\pi]=h(t,x)$. | ||
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| + | Una vez hecha esta suposición, y escribiendo $\lambda=\frac{\mu-r}{\sigma}$ (conocido como la proporción de Sharpe), la ecuación queda así: | ||
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| + | 0=(\partial_th+rx\partial_xh)-\frac{\lambda}{2\sigma}\frac{(\partial_xh)^2}{\partial_{xx}h}, | ||
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| + | con condición terminal $h(T,x)=U(x)$. | ||
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| + | \subsection{Función de utilidad exponencial} | ||
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| + | Vamos a resolver la EDP no lineal en el caso en el que tenemos función de utilidad exponencial $U(x)=-e^{-\gamma x}$ (al final de la sección se explica la importancia de esta función en finanzas) | ||
| + | con $\gamma>0$, asumiendo que la solución es de la forma: | ||
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| + | h(t,x)=-\alpha(t)e^{-\gamma x\beta(t)}, | ||
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| + | donde $\alpha$ y $\beta$ son funciones que dependen únicamente del tiempo. Si sustituimos esta solución en la EDP obtenemos la siguiente ecuación sacando factor común de $e^{-\gamma\beta x}$: | ||
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| + | (\alpha'-\frac{\lambda}{2\sigma}\alpha)-\gamma(\beta'+r\beta)\alpha x=0. | ||
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| + | Tiene que ser $0$ para todo $t$ y para todo $x$, luego obtenemos dos EDOs con condiciones iniciales $\alpha(T)=\beta(T)=1$ que resolvemos para obtener: | ||
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| + | \alpha(t)=e^{-\frac{\lambda}{2\sigma}(T-t)},\;\beta(t)=e^{r(T-t)}. | ||
| + | \end{equation*} | ||
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| + | Finalmente, sustituyendo esto de vuelta para la ecuación $\pi^*=-\frac{\lambda}{\sigma}(\frac{\partial_xh}{\partial_{xx}h})$, nos queda que la cantidad óptima para invertir en la acción con riesgo es: | ||
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| + | \pi^*(t)=\frac{\lambda}{\gamma \sigma}e^{-r(T-t)}. | ||
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Revisión del 04:39 11 jun 2026
Contenido
1 . Introducción
El problema de Merton constituye uno de los modelos fundamentales de la teoría de control óptimo aplicada a las finanzas. Fue formulado y resuelto por Robert C. Merton en 1969, y estudia cómo un agente racional debe distribuir dinámicamente su riqueza entre distintos activos financieros con el objetivo de maximizar la utilidad esperada de su riqueza y/o consumo a lo largo del tiempo.
En este documento presentaremos el problema desde sus fundamentos, introduciendo las hipótesis del modelo y deduciendo la solución general del problema de optimización. Asimismo, realizaremos un análisis de sensibilidad de las soluciones obtenidas, interpretando económicamente los resultados derivados del modelo. Finalmente, plantearemos una variante del problema bajo hipótesis alternativas, que podrá servir como punto de partida para trabajos futuros.
2 . Planteamiento del problema
Consideremos un agente que dispone de una cierta cantidad de riqueza inicial y puede invertirla en distintos activos a lo largo del tiempo. En nuestro caso, consideraremos dos tipos de activos distintos: por una parte, un activo sin riesgo que nos devuelve una rentabilidad segura y conocida, pero pequeña; y, por otra parte, un activo con riesgo que ofrece mayores beneficios esperados a cambio de una evolución incierta.
El objetivo de dicho agente será determinar una estrategia de inversión que maximice su bienestar económico. Es decir, en cada instante de tiempo, debe elegir cuánto capital invertir en activos riesgosos y cúanto en activos sin riesgo, de manera que se maximice la utilidad esperada de su riqueza a lo largo del tiempo.
2.1 . Hipótesis consideradas
Para poder formular y resolver el problema de Merton, asumiremos que estamos trabajando con un mercado financiero idealizado en el que un agente puede invertir continuamente su riqueza a lo largo del tiempo. El objetivo será estudiar cuál es la estrategia de inversión óptima bajo una serie de hipótesis que permiten modelizar dicho mercado para poder trabajar matemáticamente. Estas hipótesis son las siguientes:
En primer lugar, consideraremos que únicamente hay dos activos financieros posibles. El primero será una cuenta de banco y se trata de un activo sin riesgo que proporciona una rentabilidad conocida y constante a lo largo del tiempo. El segundo serán las acciones de una empresa, cuyo valor evoluciona de manera incierta y está sujeto a fluctuaciones aleatorias del mercado.
Supondremos además que el agente puede comprar y vender activos en cualquier instante de tiempo y que puede redistribuir continuamente su riqueza entre ambos activos.
También asumiremos que no existen costes de transacción, impuestos ni restricciones a la inversión. Asimismo, consideramos que el activo riesgoso es perfectamente divisible y se nos permite comprar acciones fraccionadas, y que no existen oportunidades de arbitraje; es decir, estrategias que generan un beneficio seguro sin asumir riesgo.
La incertidumbre del mercado será modelizada mediante procesos aleatorios, de forma que la evolución del activo con riesgo no pueda predecirse exactamente. Además, asumiremos que la varianza de la evolución del valor del mercado se mantendrá constante a lo largo del tiempo.
Finalmente, asumiremos que el agente es racional y que sus decisiones están determinadas por una función de utilidad que representa sus preferencias frente al riesgo. De esta forma, el problema no consistirá simplemente en maximizar la riqueza final, sino en maximizar la utilidad esperada.
3 . Modelización y ecuaciones
Una vez que hemos planteado el problema y establecido las hipótesis con las que vamos a trabajar, podemos describir nuestro modelo matemáticamente para buscar una solución.
En cada instante de tiempo $t$, el agente dispone de una riqueza total $X_t$, de la cual invierte $\pi_t$ dólares en el activo riesgoso $S$, mientras que el resto se mantiene invertido en el banco. Denotaremos por $X_t^\pi$ a la riqueza del agente en tiempo $t$ si sigue la estrategia $\pi$, descontando los ingresos de la acción $S$, y $S_t$ al valor de la acción en tiempo $t$, descontando las ganancias libres de riesgo del banco. El objetivo del agente es maximizar la utilidad esperada de su riqueza final en un horizonte temporal $T$. Matemáticamente, esto se traduce en hallar la función de valor:
\begin{equation*}
H(S,x)=\sup_{\pi\in A}\mathbb{E}[U(X_T^\pi)\;|\;X_t^\pi=x,S_t=S]:=\sup_{\pi\in A}\mathbb{E}_{S,x}[U(X_T^\pi)],
\end{equation*}
donde $x$ y $S$ representan la riqueza inicial del agente en tiempo $t$ y el valor de la acción en tiempo $t$, respectivamente, $A$ es el conjunto de estrategias admisibles, definido habitualmente como el espacio de funciones medibles adaptadas a la filtración del proceso, y $U$ es una función de utilidad que modeliza las preferencias del agente frente al riesgo. La función $U$ deberá ser creciente, puesto que siempre es preferible tener el máximo de riqueza posible.
Para modelizar matemáticamente la evolución del mercado, utilizaremos procesos de difusión. Recordemos que un proceso de difusión viene descrito por una ecuación diferencial estocástica de la forma: \begin{equation*}
dX_t=b(X_t,t)dt+\sigma(X_t,t)dW_t,
\end{equation*} donde el término que acompaña a $dt$ representa la parte determinista del movimiento (drift), mientras que el término que acompaña a $dW_t$ representa la parte aleatoria o de difusión, gobernada por un movimiento Browniano $W=\{W_t\}$.
\bigskip
En el problema de Merton, los valores de $X_t$ y $S_t$ siguen las siguientes dinámicas:
\begin{equation}
dS_t=(\mu-r)S_tdt+\sigma S_tdW_t,\; S_o=S,
\end{equation} \begin{equation}
dX_t^\pi=(\pi_t(\mu-r)+rX_t^\pi)dt+\pi_t\sigma dW_t,\; X_0^\pi=x.
\end{equation}
Donde $\mu$ es el retorno medio esperado de la acción $S$, $r$ es la tasa de interés compuesta que nos ofrece el banco y $\sigma$ es la volatilidad de la acción $S$, que suponemos constante como hipótesis. Vamos a analizar, para cada una de las ecuaciones, de donde salen la parte tanto determinista como la estocástica.
4 . Solución del problema
Una vez planteado el problema, buscamos determinar la estrategia óptima $\pi^*$ que maximice la utilidad esperada de la riqueza final. Para ello, definimos la función de valor relativa $H^\pi(t, x, S)$ como la utilidad esperada utilizando la estrategia $\pi$ partiendo del tiempo $t$:
\begin{equation*}
H^\pi(t,x,S)=\mathbb{E}[U(X_T^\pi)\mid X_t^\pi=x,\;S_t=S]=(\text{notación}):=\mathbb{E}_{t,x,S}[U(X_T^\pi)],
\end{equation*}
y definimos la función de valor, $H(t,x,s)$, como el supremo de estas funciones de valor relativas, variando las estrategias $\pi\in A$:
\begin{equation*}
H(t,x,S)=\sup_{\pi\in A}H^\pi(t,x,S)=\sup_{\pi\in A}\mathbb{E}_{t,x,S}[U(X_T^\pi)].
\end{equation*}
A continuación, calculamos el generador infinitesimal del par $(X_t^\pi,S_t)_{0\leq t \leq T}$, que es un proceso de Itô. Para ello, utilizaremos la fórmula del teorema \ref{generadorInfinitesimal}:
\begin{equation*}
\mathcal{L}_t^\pi f(x)=\mu(t,x)^tDf(x)+\frac{1}{2}Tr(\sigma(t,x)\sigma(t,x)^tD^2f(x)),
\end{equation*}
aplicándosela a nuestro par $(X_t^\pi,S_t)_{0\leq t \leq T}$, cuyos términos de drift y de difusión son:
\begin{align}
\mu(t,x,S) &= \begin{bmatrix}
\pi_t(\mu-r)+rx \\
(\mu-r)S \\
\end{bmatrix},\; \sigma(t,x,S)=
\begin{bmatrix}
\sigma \pi_t\\
\sigma S \\
\end{bmatrix},
\end{align}
y nos queda:
\begin{equation*}
\mathcal{L}_t^\pi= (rx+(\mu-r)\pi_t)\partial_x+(\mu-r)S\partial_S+\frac{1}{2}\sigma^2\pi_t^2\partial_{xx}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\partial_{SS}+\sigma^2\pi_tS\partial_{xS}.
\end{equation*}
Como estamos en un problema de control para procesos de difusión, con función de valor $H(t,x,s)$, utilizaremos el teorema \ref{HJB}. Sabemos entonces que la función de valor satisface la ecuación de HJB, que en nuestro caso tiene la forma:
\begin{equation*}
\partial_tH+\sup_{\pi}\{(rx+(\mu-r)\pi_t)\partial_xH+(\mu-r)S\partial_SH+\frac{1}{2}\sigma^2\pi_t^2\partial_{xx}H+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\partial_{SS}H+\sigma^2\pi_tS\partial_{xS}H\}=0.
\end{equation*} \begin{equation*}
H(T,x,s)=U(x)
\end{equation*}
Podemos sacar todos los términos que no dependan de $\pi$ del supremo y nos queda:
\begin{equation*}
(\partial_t+rx\partial_x+(\mu-r)S\partial_S+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\partial_{SS})H+\sup_{\pi_t}\{\pi_t((\mu-r)\partial_xH+\sigma^2 S\partial_{xS}H)+\frac{1}{2}\sigma^2\pi^2_t\partial_{xx}H\}=0,
\end{equation*} donde la condición terminal es $H(T,x,S)=U(x)$. En el supremo tenemos una ecuación cuadrática respecto a $\pi$, luego se alcanzará un máximo siempre que $\partial_{xx}H<0$ (lo cual asumiremos cierto). Derivando e igualando a cero, tenemos que dicho máximo se alcanzará en:
\begin{equation*}
\pi^*=-\frac{(\mu-r)\partial_x H+\sigma^2 S\partial_{xS}H}{\sigma^2 \partial_{xx}H}.
\end{equation*}
Es decir, este es el control óptimo cuando tenemos feedback conocido $H(t,x,S)$ para todo tiempo $t$. Sustituyendo este valor de $\pi^*$ en la ecuación nos queda la EDP no lineal:
\begin{equation*}
0=(\partial_t+rx\partial_xH+(\mu-r)S\partial_SH+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\partial_{SS}H)-\frac{((\mu-r)\partial_xH+\sigma S\partial_{xS}H)^2}{2\sigma^2\partial_{xx}H}
\end{equation*}
Ahora viene un paso clave, y es asumir que la función de valor $H(t,x,S)$ no depende del precio del activo $S$, es decir, que$H(t,x,S)=h(t,x)$. La condición terminal nos da una pista sobre esto, ya que únicamente depende de $x$ y no de $S$. Por otro lado, económicamente tiene sentido esta suposición: el valor $S$ del activo no nos interesa, puesto que en este modelo asumimos que podemos comprar acciones fraccionarias con total libertad; luego, lo único que importa es la cantidad de dinero que invirtamos en ellas $(\pi_t)$ y no el número de acciones o el precio de dichas acciones. Matemáticamente, esto lo podemos ver como que en la EDE que seguía la riqueza del agente $X_t$ no aparece ningún término de $S$; luego $H(t,x,S)=\mathbb{E}_{t,x,S}[X_T^\pi]=\mathbb{E}_{t,x}[X_T^\pi]=h(t,x)$.
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Una vez hecha esta suposición, y escribiendo $\lambda=\frac{\mu-r}{\sigma}$ (conocido como la proporción de Sharpe), la ecuación queda así:
\begin{equation*}
0=(\partial_th+rx\partial_xh)-\frac{\lambda}{2\sigma}\frac{(\partial_xh)^2}{\partial_{xx}h},
\end{equation*}
con condición terminal $h(T,x)=U(x)$.
\subsection{Función de utilidad exponencial}
Vamos a resolver la EDP no lineal en el caso en el que tenemos función de utilidad exponencial $U(x)=-e^{-\gamma x}$ (al final de la sección se explica la importancia de esta función en finanzas) con $\gamma>0$, asumiendo que la solución es de la forma:
\begin{equation*}
h(t,x)=-\alpha(t)e^{-\gamma x\beta(t)},
\end{equation*} \bigskip
donde $\alpha$ y $\beta$ son funciones que dependen únicamente del tiempo. Si sustituimos esta solución en la EDP obtenemos la siguiente ecuación sacando factor común de $e^{-\gamma\beta x}$:
\begin{equation*}
(\alpha'-\frac{\lambda}{2\sigma}\alpha)-\gamma(\beta'+r\beta)\alpha x=0.
\end{equation*}
Tiene que ser $0$ para todo $t$ y para todo $x$, luego obtenemos dos EDOs con condiciones iniciales $\alpha(T)=\beta(T)=1$ que resolvemos para obtener:
\begin{equation*}
\alpha(t)=e^{-\frac{\lambda}{2\sigma}(T-t)},\;\beta(t)=e^{r(T-t)}.
\end{equation*}
Finalmente, sustituyendo esto de vuelta para la ecuación $\pi^*=-\frac{\lambda}{\sigma}(\frac{\partial_xh}{\partial_{xx}h})$, nos queda que la cantidad óptima para invertir en la acción con riesgo es:
\begin{equation*}
\pi^*(t)=\frac{\lambda}{\gamma \sigma}e^{-r(T-t)}.
\end{equation*}
5 . Referencias
- Amin Moosaie. Non-Fourier heat conduction in a finite medium with insulated boundaries and arbitrary initial conditions ([1]).
- Francisco R. Villatoro. La ciencia de la mula Francis: La velocidad de la propagación del calor, entre la paradoja y la entropía([2])
- Marc Calvo Schwarzwälder. Non-Fourier Heat Conduction. The Maxwell-Cattaneo Equations ([3]).
