Diferencia entre revisiones de «El Problema de Merton»

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En este documento presentaremos el problema desde sus fundamentos, introduciendo las hipótesis del modelo y deduciendo la solución general del problema de optimización. Asimismo, realizaremos un análisis de sensibilidad de las soluciones obtenidas, interpretando económicamente los resultados derivados del modelo. Finalmente, plantearemos una variante del problema bajo hipótesis alternativas, que podrá servir como punto de partida para trabajos futuros.
 
En este documento presentaremos el problema desde sus fundamentos, introduciendo las hipótesis del modelo y deduciendo la solución general del problema de optimización. Asimismo, realizaremos un análisis de sensibilidad de las soluciones obtenidas, interpretando económicamente los resultados derivados del modelo. Finalmente, plantearemos una variante del problema bajo hipótesis alternativas, que podrá servir como punto de partida para trabajos futuros.
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=. Problema concreto=
 
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Planteamos el siguiente problema: Se considera una varilla metálica que ocupa el intervalo [0, 1] y que se encuentra aislada por su superficie lateral, de manera que la conducción de calor sólo se produce en la
 
−
dirección longitudinal. En el extremo derecho
 
−
se consigue mantener la temperatura a 10°C mientras que en el izquierdo la temperatura
 
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es siempre de 1°C. Además, la temperatura en el instante inicial viene dada por la función <math> u_0 (x)= 10-10 \cdot 1_{[1/3,2/3]}(x)</math> . Así, el sistema que modeliza este problema es el siguiente:
 
  
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<center><math> \begin{cases}
+
=. Planteamiento del problema=
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      u_t-u_{xx} = 0 & x \in [0,1], t>0 \\
+
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      u(0,t)=10 & t>0 \\
+
−
      u(1,t)=1 & t>0 \\
+
−
      u(x,0)=u_0(x) & x \in [0,1]
+
−
\end{cases} </math></center>
+
  
−
Su solución estacionaria es:
+
Consideremos un agente que dispone de una cierta cantidad de riqueza inicial y puede invertirla en distintos activos a lo largo del tiempo. En nuestro caso, consideraremos dos tipos de activos distintos: por una parte, un activo sin riesgo que nos devuelve una rentabilidad segura y conocida, pero pequeña; y, por otra parte, un activo con riesgo que ofrece mayores beneficios esperados a cambio de una evolución incierta.
  
−
<center><math> v(x)=9x+1 </math></center>
+
El objetivo de dicho agente será determinar una estrategia de inversión que maximice su bienestar económico. Es decir, en cada instante de tiempo, debe elegir cuánto capital invertir en activos riesgosos y cúanto en activos sin riesgo, de manera que se maximice la utilidad esperada de su riqueza a lo largo del tiempo.
  
−
y la solución general es:
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==. Hipótesis consideradas==
  
−
<center><math> u(x,t)= 9x+1+  \sum_{n=1}^{\infty}b_n sen(n \pi x)e^{n^2\pi ^2 t}</math>,</center>
+
Para poder formular y resolver el problema de Merton, asumiremos que estamos trabajando con un mercado financiero idealizado en el que un agente puede invertir continuamente su riqueza a lo largo del tiempo. El objetivo será estudiar cuál es la estrategia de inversión óptima bajo una serie de hipótesis que permiten modelizar dicho mercado para poder trabajar matemáticamente. Estas hipótesis son las siguientes:
  
−
donde <math> b_n </math> viene dado por:
+
En primer lugar, consideraremos que únicamente hay dos activos financieros posibles. El primero será una cuenta de banco y se trata de un activo sin riesgo que proporciona una rentabilidad conocida y constante a lo largo del tiempo. El segundo serán las acciones de una empresa, cuyo valor evoluciona de manera incierta y está sujeto a fluctuaciones aleatorias del mercado.
  
−
<center><math> b_n = \int_{-1}^{1}g(x)sen(n\pi x)dx </math>,</center>
+
Supondremos además que el agente puede comprar y vender activos en cualquier instante de tiempo y que puede redistribuir continuamente su riqueza entre ambos activos.
−
con g(x):
+
  
−
<center><math> \begin{cases}
+
También asumiremos que no existen costes de transacción, impuestos ni restricciones a la inversión. Asimismo, consideramos que el activo riesgoso es perfectamente divisible y se nos permite comprar acciones fraccionadas, y que no existen oportunidades de arbitraje; es decir, estrategias que generan un beneficio seguro sin asumir riesgo.
−
      -9x-9 & x \in (-1,2/3)\cup (-1/3,0) \\
+
−
      -9x+9 & x \in (0,1/3)\cup (2/3,1) \\
+
−
      -9x+1 & x \in [-2/3,-1/3] \\
+
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      -9x-1 & x \in [1/3,2/3]
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\end{cases} </math></center>
+
  
−
Si visualizamos estas soluciones con <math> t \in [0,1] </math> y <math> x \in [0,1] </math>, representándola a través de matlab:
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La incertidumbre del mercado será modelizada mediante procesos aleatorios, de forma que la evolución del activo con riesgo no pueda predecirse exactamente. Además, asumiremos que la varianza de la evolución del valor del mercado se mantendrá constante a lo largo del tiempo.
  
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[[Archivo:sol2.jpeg|400px|thumb|right|Solución de la ecuación del calor]]
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Finalmente, asumiremos que el agente es racional y que sus decisiones están determinadas por una función de utilidad que representa sus preferencias frente al riesgo. De esta forma, el problema no consistirá simplemente en maximizar la riqueza final, sino en maximizar la utilidad esperada.
  
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[[Archivo:sol11.jpeg|400px|thumb|right|Solución de la ecuación del calor]]
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=. Modelización y ecuaciones =
  
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[[Archivo:Animación solución.gif|400px|thumb|right|Convergencia a la solución estacionaria]]
+
Una vez que hemos planteado el problema y establecido las hipótesis con las que vamos a trabajar, podemos describir nuestro modelo matemáticamente para buscar una solución.  
  
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<syntaxhighlight lang="matlab">
+
En cada instante de tiempo $t$, el agente dispone de una riqueza total $X_t$, de la cual invierte $\pi_t$ dólares en el activo riesgoso $S$, mientras que el resto se mantiene invertido en el banco. Denotaremos por $X_t^\pi$ a la riqueza del agente en tiempo $t$ si sigue la estrategia $\pi$, descontando los ingresos de la acción $S$, y $S_t$ al valor de la acción en tiempo $t$, descontando las ganancias libres de riesgo del banco. El objetivo del agente es maximizar la utilidad esperada de su riqueza final en un horizonte temporal $T$. Matemáticamente, esto se traduce en hallar la función de valor:
  
−
syms n
+
\begin{equation*}
−
syms x
+
    H(S,x)=\sup_{\pi\in A}\mathbb{E}[U(X_T^\pi)\;|\;X_t^\pi=x,S_t=S]:=\sup_{\pi\in A}\mathbb{E}_{S,x}[U(X_T^\pi)],
−
syms t
+
\end{equation*}
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g=sin(n*pi*x);
+
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f1=(-9*x-9)*g;
+
−
f2=(-9*x+9)*g;
+
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f3=(-9*x+1)*g;
+
−
f4=(-9*x-1)*g;
+
  
−
F1=int(f1,-1,-2/3);
+
donde $x$ y $S$ representan la riqueza inicial del agente en tiempo $t$ y el valor de la acción en tiempo $t$, respectivamente, $A$ es el conjunto de estrategias admisibles, definido habitualmente como el espacio de funciones medibles adaptadas a la filtración del proceso, y $U$ es una función de utilidad que modeliza las preferencias del agente frente al riesgo. La función $U$ deberá ser creciente, puesto que siempre es preferible tener el máximo de riqueza posible.
−
F2=int(f3,-2/3,-1/3);
+
−
F3=int(f1,-1/3,0);
+
−
F4=int(f2,0,1/3);
+
−
F5=int(f4,1/3,2/3);
+
−
F6=int(f2,2/3,1);
+
  
−
F(n)=F1+F2+F3+F4+F5+F6;
+
Para modelizar matemáticamente la evolución del mercado, utilizaremos procesos de difusión. Recordemos que un proceso de difusión viene descrito por una ecuación diferencial estocástica de la forma:
 +
\begin{equation*}
 +
    dX_t=b(X_t,t)dt+\sigma(X_t,t)dW_t,
 +
\end{equation*}
 +
donde el término que acompaña a $dt$ representa la parte determinista del movimiento (drift), mientras que el término que acompaña a $dW_t$ representa la parte aleatoria o de difusión, gobernada por un movimiento Browniano $W=\{W_t\}$.
  
−
sol=9*x+1;
+
\bigskip
−
k=20; %numero de elementos
+
−
for i=1:k
+
−
    sol=sol+F(i)*sin(i*pi*x)*exp(-(i^2)*pi^2*t);
+
−
end
+
−
u(x,t)=sol;
+
−
[X, T] = meshgrid(linspace(0,1,50), linspace(0,1,50));
+
−
Z=u(X,T);
+
−
Z=double(Z);
+
−
figure
+
−
surf(X, T, Z)
+
−
xlabel('x'), ylabel('t'), zlabel('u(x,t)')
+
−
title('Gráfico de la solución')
+
−
colorbar
+
−
shading interp
+
  
−
% Definir parámetros
+
En el problema de Merton, los valores de $X_t$ y $S_t$ siguen las siguientes dinámicas:
−
xv = linspace(0,1,100); % Dominio de x (100 puntos entre 0 y 1)
+
−
t_values = linspace(0,0.1,60); % Valores de t para cada frame (60 frames)
+
  
−
% Crear la figura
+
\begin{equation}
−
fig = figure;
+
    dS_t=(\mu-r)S_tdt+\sigma S_tdW_t,\; S_o=S,
−
v = VideoWriter('animacion_ftejercicio2.mp4', 'MPEG-4'); % Guardar animación en video
+
\end{equation}
−
v.FrameRate = 5; % FPS
+
\begin{equation}
−
open(v);
+
    dX_t^\pi=(\pi_t(\mu-r)+rX_t^\pi)dt+\pi_t\sigma dW_t,\; X_0^\pi=x.
 +
\end{equation}
  
−
for t = t_values
+
Donde $\mu$ es el retorno medio esperado de la acción $S$, $r$ es la tasa de interés compuesta que nos ofrece el banco y $\sigma$ es la volatilidad de la acción $S$, que suponemos constante como hipótesis. Vamos a analizar, para cada una de las ecuaciones, de donde salen la parte tanto determinista  como la estocástica.
−
    y = u(xv,t); % Evaluar la función en x para el tiempo t
+
−
    plot(xv, y, 'b', 'LineWidth', 2); % Graficar en 1D
+
−
    ylim([0, 12]); % Mantener el mismo rango en y
+
−
    xlabel('x');
+
−
    ylabel('u(x,t)');
+
−
    title(sprintf('t = %.2f', t)); % Mostrar el tiempo actual
+
−
    grid on;
+
−
    drawnow;
+
−
   
+
−
    % Capturar frame para el video
+
−
    frame = getframe(fig);
+
−
    writeVideo(v, frame);
+
−
end
+
  
−
close(v); % Cerrar archivo de video
+
=. Referencias =
−
close(fig); % Cerrar la figura
+
  
−
disp('Animación guardada como animacion_ft.mp4');
+
* Amin Moosaie. Non-Fourier heat conduction in a finite medium with insulated boundaries and arbitrary initial conditions ([https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0735193307001637 [1<nowiki>]</nowiki>]).
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</syntaxhighlight>
+
  
−
Observamos que la solución u comienza en la temperatura correcta (salvo por oscilaciones) y para un tiempo suficientemente pequeño se aproxima considerablemente a la solución de equilibrio. No obstante, en el siguiente apartado se comentará un detalle de la solución que se debe estudiar en mayor profundidad.
+
* Francisco R. Villatoro. La ciencia de la mula Francis: La velocidad de la propagación del calor, entre la paradoja y la entropía([https://francis.naukas.com/2008/10/22/la-velocidad-de-la-propagacion-del-calor-entre-la-paradoja-y-la-entropia/ [2<nowiki>]</nowiki>])
  
−
=. Paradoja de la velocidad de propagación=
+
* Marc Calvo Schwarzwälder. Non-Fourier Heat Conduction. The Maxwell-Cattaneo Equations ([https://upcommons.upc.edu/bitstream/handle/2117/78480/memoria.pdf [3<nowiki>]</nowiki>]).
  
−
[[Archivo:Paradoja.jpeg|400px|thumb|derecha|Solución para t=0]]
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[[Archivo:sol2.jpeg|400px|thumb|right|Solución de la ecuación del calor]]
  
−
Observamos que, en nuestra solución, para <math>t>0</math> la solución es estrictamente positiva. Sin embargo, en <math>t=0</math> observamos que para el intervalo <math>  x \in [1/3,2/3]</math> la temperatura es cero. Esto contradice la teoría de la relatividad de Einstein, ya que podemos tomar un valor <math>t>0</math> arbitrariamente pequeño de manera que la temperatura sea no nula, lo cual no es posible bajo la teoría de la relatividad. Este fenómeno se conoce como la paradoja de la velocidad de propagación del calor.
+
[[Archivo:sol11.jpeg|400px|thumb|right|Solución de la ecuación del calor]]
  
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==. Ecuación de Cattaneo-Vernotte==
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[[Archivo:Animación solución.gif|400px|thumb|right|Convergencia a la solución estacionaria]]
−
Para solucionar esta aparente falla en nuestro modelo, Cattaneo propuso una solución modificando la Ley de Fourier de la siguiente manera:
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<center><math>q=-k\nabla u \rightarrow q+ \tau \frac{\partial q}{\partial t} =k\nabla u</math></center>
 
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−
Añadimos el factor <math> \tau \frac{\partial q}{\partial t} </math> a la Ley de Fourier, donde <math>\tau</math> se conoce como el término de relajación térmica. De esta manera, se modela un retardo en la respuesta de flujo de calor a los cambios de la temperatura. Si ahora aplicamos la conservación de la energía, nos queda la conocida ecuación hiperbólica del calor:
 
−
 
−
<center><math> \frac{\partial u}{\partial t} + \tau \frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} = \alpha \Delta u </math></center>
 
−
 
−
donde <math> \alpha </math> es la difusividad térmica. Para nuestro problema, la ecuación queda de la siguiente forma:
 
−
 
−
<center><math> \begin{cases}
 
−
      \tau u_{tt}+u_t-u_{xx} = 0 & x \in [0,1], t>0 \\
 
−
      u(0,t)=10 & t>0 \\
 
−
      u(1,t)=1 & t>0 \\
 
−
      u(x,0)=u_0(x) & x \in [0,1] \\
 
−
      u_t(x,0)=0 & x \in [0,1]
 
−
\end{cases} </math></center>
 
−
 
−
Hemos introducido en las condiciones iniciales el factor <math> u_t(x,0) </math>, que se conoce como la velocidad térmica inicial. En nuestro caso hemos establecido esta velocidad nula ya que se asume que en el estado inicial el sistema está en equilibrio.
 
−
 
−
Esta nueva ecuación garantiza que la velocidad de propagación del calor se produzca con velocidad finita, por lo que se utiliza en modelos donde el efecto de propagación instantánea tiene importancia.
 
−
 
−
Homogeneizamos el problema con el cambio de variable <math> w(t,x)=u(t,x) -v(x)</math>. Si resolvemos esta ecuación por separación de variables, tenemos las siguientes soluciones para la función espacial <math>X(x)</math> y temporal <math> T(t)</math>:
 
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−
La ecuación espacial con estas condiciones nos proporciona la colección de soluciones <math> X_{n}(x)=A_{n}sen(n\pi x) </math>
 
−
 
−
Para la ecuación temporal, tenemos la solución <math> T_{n}(t)=e^{\frac{-t}{2\tau}}(c_{1}cos(\omega t) + c_{2}sen((\omega t)) </math>, con <math> \omega = \frac{\sqrt{4\tau n^{2}\pi^{2}-1}}{2\tau} </math>
 
−
 
−
Por tanto, la solución de la ecuación de Cattaneo-Vernotte en nuestro caso es:
 
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<center><math> u(x,t) = 1+9x+ \sum_{n=1}^{\infty} A_{n}e^{\frac{-t}{2\tau}}(c_{1}cos(\omega t) + c_{2}sen((\omega t)) \cdot sen(n\pi x) </math></center>
 
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Ahora, utilizando las condiciones frontera, obtenemos <math> c_{2}=0</math>  y <math> A_{n}c_{1}=b_{n} </math>, quedándonos la solución
 
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<center> <math>u(x,t) = 1+9x+ \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}e^{\frac{-t}{2\tau}}cos(\omega t)  \cdot sen(n\pi x) </math></center>
 
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donde <math> b_{n} </math> son los mismos coeficientes que en la solución de la ecuación original.
 
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[[Archivo:Solucion_cattaneo1.jpg|400px|thumb|right|Solución de la ecuación de Cattaneo-Vernotte]]
 
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[[Archivo:Solucion_cattaneo2.jpg|400px|thumb|right|Solución de la ecuación de Cattaneo-Vernotte]]
 
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[[Archivo:Animacioncattaneo.gif|400px|thumb|right|Convergencia a la solución estacionaria]]
 
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<syntaxhighlight lang="matlab">
 
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syms n
 
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syms x
 
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syms t
 
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g=sin(n*pi*x);
 
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f1=(-9*x-9)*g;
 
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f2=(-9*x+9)*g;
 
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f3=(-9*x+1)*g;
 
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f4=(-9*x-1)*g;
 
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F1=int(f1,-1,-2/3);
 
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F2=int(f3,-2/3,-1/3);
 
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F3=int(f1,-1/3,0);
 
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F4=int(f2,0,1/3);
 
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F5=int(f4,1/3,2/3);
 
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F6=int(f2,2/3,1);
 
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F(n)=F1+F2+F3+F4+F5+F6;
 
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sol=9*x+1;
 
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k=40; %numero de elementos
 
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for i=1:k
 
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    sol=sol+F(i)*sin(i*pi*x)*exp(-t/(2*tau))*cos(t*(sqrt(4*tau*i^2*pi^2-1))/(2*tau));
 
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end
 
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u(x,t)=sol;
 
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[X, T] = meshgrid(linspace(0,1,50), linspace(0,1,50));
 
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Z=u(X,T);
 
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Z=double(Z);
 
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figure
 
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surf(X, T, Z)
 
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xlabel('x'), ylabel('t'), zlabel('u(x,t)')
 
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title('Gráfico de la solución')
 
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colorbar
 
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shading interp
 
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% Definir parámetros
 
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xv = linspace(0,1,100); % Dominio de x (100 puntos entre 0 y 1)
 
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t_values = linspace(0,1,60); % Valores de t para cada frame (60 frames)
 
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% Crear la figura
 
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fig = figure;
 
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v = VideoWriter('animacion_ftejercicio3.mp4', 'MPEG-4'); % Guardar animación en video
 
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v.FrameRate = 5; % FPS
 
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open(v);
 
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for t = t_values
 
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    y = u(xv,t); % Evaluar la función en x para el tiempo t
 
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    plot(xv, y, 'b', 'LineWidth', 2); % Graficar en 1D
 
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    ylim([0, 12]); % Mantener el mismo rango en y
 
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    xlabel('x');
 
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    ylabel('u(x,t)');
 
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    title(sprintf('t = %.2f', t)); % Mostrar el tiempo actual
 
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    grid on;
 
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    drawnow;
 
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    % Capturar frame para el video
 
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    frame = getframe(fig);
 
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    writeVideo(v, frame);
 
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end
 
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close(v); % Cerrar archivo de video
 
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close(fig); % Cerrar la figura
 
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disp('Animación guardada como animacion_ft.mp4');
 
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</syntaxhighlight>
 
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Como se puede apreciar en las gráficas, la convergencia a la solución estacionaria es suave y no abrupta como en el problema original, logrando una modelización más fiel de la transferencia de calor tras una perturbación térmica, como queríamos comprobar al inicio del artículo.
 
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=. Referencias =
 
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* Amin Moosaie. Non-Fourier heat conduction in a finite medium with insulated boundaries and arbitrary initial conditions ([https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0735193307001637 [1<nowiki>]</nowiki>]).
 
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* Francisco R. Villatoro. La ciencia de la mula Francis: La velocidad de la propagación del calor, entre la paradoja y la entropía([https://francis.naukas.com/2008/10/22/la-velocidad-de-la-propagacion-del-calor-entre-la-paradoja-y-la-entropia/ [2<nowiki>]</nowiki>])
 
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* Marc Calvo Schwarzwälder. Non-Fourier Heat Conduction. The Maxwell-Cattaneo Equations ([https://upcommons.upc.edu/bitstream/handle/2117/78480/memoria.pdf [3<nowiki>]</nowiki>]).
 
  
 
[[Categoría:Trabajos fin de Grado, Máster y PAE del GeM y MUMAv]]
 
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Revisión del 04:29 11 jun 2026

1 . Introducción

El problema de Merton constituye uno de los modelos fundamentales de la teoría de control óptimo aplicada a las finanzas. Fue formulado y resuelto por Robert C. Merton en 1969, y estudia cómo un agente racional debe distribuir dinámicamente su riqueza entre distintos activos financieros con el objetivo de maximizar la utilidad esperada de su riqueza y/o consumo a lo largo del tiempo.

En este documento presentaremos el problema desde sus fundamentos, introduciendo las hipótesis del modelo y deduciendo la solución general del problema de optimización. Asimismo, realizaremos un análisis de sensibilidad de las soluciones obtenidas, interpretando económicamente los resultados derivados del modelo. Finalmente, plantearemos una variante del problema bajo hipótesis alternativas, que podrá servir como punto de partida para trabajos futuros.

2 . Planteamiento del problema

Consideremos un agente que dispone de una cierta cantidad de riqueza inicial y puede invertirla en distintos activos a lo largo del tiempo. En nuestro caso, consideraremos dos tipos de activos distintos: por una parte, un activo sin riesgo que nos devuelve una rentabilidad segura y conocida, pero pequeña; y, por otra parte, un activo con riesgo que ofrece mayores beneficios esperados a cambio de una evolución incierta.

El objetivo de dicho agente será determinar una estrategia de inversión que maximice su bienestar económico. Es decir, en cada instante de tiempo, debe elegir cuánto capital invertir en activos riesgosos y cúanto en activos sin riesgo, de manera que se maximice la utilidad esperada de su riqueza a lo largo del tiempo.

2.1 . Hipótesis consideradas

Para poder formular y resolver el problema de Merton, asumiremos que estamos trabajando con un mercado financiero idealizado en el que un agente puede invertir continuamente su riqueza a lo largo del tiempo. El objetivo será estudiar cuál es la estrategia de inversión óptima bajo una serie de hipótesis que permiten modelizar dicho mercado para poder trabajar matemáticamente. Estas hipótesis son las siguientes:

En primer lugar, consideraremos que únicamente hay dos activos financieros posibles. El primero será una cuenta de banco y se trata de un activo sin riesgo que proporciona una rentabilidad conocida y constante a lo largo del tiempo. El segundo serán las acciones de una empresa, cuyo valor evoluciona de manera incierta y está sujeto a fluctuaciones aleatorias del mercado.

Supondremos además que el agente puede comprar y vender activos en cualquier instante de tiempo y que puede redistribuir continuamente su riqueza entre ambos activos.

También asumiremos que no existen costes de transacción, impuestos ni restricciones a la inversión. Asimismo, consideramos que el activo riesgoso es perfectamente divisible y se nos permite comprar acciones fraccionadas, y que no existen oportunidades de arbitraje; es decir, estrategias que generan un beneficio seguro sin asumir riesgo.

La incertidumbre del mercado será modelizada mediante procesos aleatorios, de forma que la evolución del activo con riesgo no pueda predecirse exactamente. Además, asumiremos que la varianza de la evolución del valor del mercado se mantendrá constante a lo largo del tiempo.

Finalmente, asumiremos que el agente es racional y que sus decisiones están determinadas por una función de utilidad que representa sus preferencias frente al riesgo. De esta forma, el problema no consistirá simplemente en maximizar la riqueza final, sino en maximizar la utilidad esperada.

3 . Modelización y ecuaciones

Una vez que hemos planteado el problema y establecido las hipótesis con las que vamos a trabajar, podemos describir nuestro modelo matemáticamente para buscar una solución.

En cada instante de tiempo $t$, el agente dispone de una riqueza total $X_t$, de la cual invierte $\pi_t$ dólares en el activo riesgoso $S$, mientras que el resto se mantiene invertido en el banco. Denotaremos por $X_t^\pi$ a la riqueza del agente en tiempo $t$ si sigue la estrategia $\pi$, descontando los ingresos de la acción $S$, y $S_t$ al valor de la acción en tiempo $t$, descontando las ganancias libres de riesgo del banco. El objetivo del agente es maximizar la utilidad esperada de su riqueza final en un horizonte temporal $T$. Matemáticamente, esto se traduce en hallar la función de valor:

\begin{equation*} 

   H(S,x)=\sup_{\pi\in A}\mathbb{E}[U(X_T^\pi)\;|\;X_t^\pi=x,S_t=S]:=\sup_{\pi\in A}\mathbb{E}_{S,x}[U(X_T^\pi)],

\end{equation*}

donde $x$ y $S$ representan la riqueza inicial del agente en tiempo $t$ y el valor de la acción en tiempo $t$, respectivamente, $A$ es el conjunto de estrategias admisibles, definido habitualmente como el espacio de funciones medibles adaptadas a la filtración del proceso, y $U$ es una función de utilidad que modeliza las preferencias del agente frente al riesgo. La función $U$ deberá ser creciente, puesto que siempre es preferible tener el máximo de riqueza posible.

Para modelizar matemáticamente la evolución del mercado, utilizaremos procesos de difusión. Recordemos que un proceso de difusión viene descrito por una ecuación diferencial estocástica de la forma: \begin{equation*} 

   dX_t=b(X_t,t)dt+\sigma(X_t,t)dW_t,

\end{equation*} donde el término que acompaña a $dt$ representa la parte determinista del movimiento (drift), mientras que el término que acompaña a $dW_t$ representa la parte aleatoria o de difusión, gobernada por un movimiento Browniano $W=\{W_t\}$.

\bigskip

En el problema de Merton, los valores de $X_t$ y $S_t$ siguen las siguientes dinámicas:

\begin{equation} 

   dS_t=(\mu-r)S_tdt+\sigma S_tdW_t,\; S_o=S,

\end{equation} \begin{equation} 

   dX_t^\pi=(\pi_t(\mu-r)+rX_t^\pi)dt+\pi_t\sigma dW_t,\; X_0^\pi=x.

\end{equation}

Donde $\mu$ es el retorno medio esperado de la acción $S$, $r$ es la tasa de interés compuesta que nos ofrece el banco y $\sigma$ es la volatilidad de la acción $S$, que suponemos constante como hipótesis. Vamos a analizar, para cada una de las ecuaciones, de donde salen la parte tanto determinista como la estocástica.

4 . Referencias

  • Amin Moosaie. Non-Fourier heat conduction in a finite medium with insulated boundaries and arbitrary initial conditions ([1]).
  • Francisco R. Villatoro. La ciencia de la mula Francis: La velocidad de la propagación del calor, entre la paradoja y la entropía([2])
  • Marc Calvo Schwarzwälder. Non-Fourier Heat Conduction. The Maxwell-Cattaneo Equations ([3]).
Solución de la ecuación del calor
Solución de la ecuación del calor
Convergencia a la solución estacionaria
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