Diferencia entre revisiones de «Sistema de masas y muelles»

Revisión del 22:42 5 mar 2014

Sistemas de muelles y masas. Estos sistemas son bastante útiles a la hora de estudiar vibraciones, consiguiendo traducirlo a un lenguaje matemático que sea fácil de estudiar e interpretar.

1 Introducción

En este artículo vamos a estudiar un sistema de 3 masas y 4 muelles en disposición horizontal, entre dos paredes rígidas. Empezaremos estudiándolo primero desde la posición de equilibrio en el caso de no haber rozamiento ni amortiguamiento, por lo que solo actúan las fuerzas restauradoras de los muelles. Tomamos como variables las posiciones de cada masa (x,y,z) en función del tiempo. A partir de ellas escribimos las ecuaciones diferenciales correspondientes a una interpretación según la mecánica de Newton.

Sistema formado por 3 masas y 4 muelles,anclado a las paredes laterales

[math]\left\{\begin{matrix}m_{1}\ddot x=-k_{1}x+k_{2}(y-x)\\m_{2}\ddot y=-k_{2}(y-x)+k_{3}(z-y)\\m_{3}\ddot z=-k_{3}(z-y)-k_{4}(z)\end{matrix}\right.[/math]

2 Condiciones iniciales y caso particular

Suponemos que en el instante t=0 las tres masas están desplazadas 0.5, 1 y 0.8 metros hacia la derecha de la posici ́on de equilibrio y se sueltan repentinamente, sin velocidad. Vamos a suponer que k1=4N/m, k2=2N/m, k3=1N/m, k4=3N/m, m1=2kg, m2=1kg, m3=3kg, que la distancia entre las paredes es de 12 metros y que en equilibrio las tres masas están en las posiciones 2.5, 4 y 8.Resolveremos el problema numéricamente utilizando los métodos de Euler modificado y Runge Kutta con pasos de h=0.1m y h=0.025m.

Sustituyendo ahora los valores dados arriba en las ecuaciones obtenemos las siguientes, con las cuales operaremos. Para aplicar el método reduciremos el sistema a uno de primer orden ayudándonos de las siguientes ecuaciones.

[math]\dot x=u\\\dot y=v\\\dot z=w[/math]

Y lo juntamos con el ya existente para obtener:

[math]\left\{\begin{matrix}m_{1}\ddot x=-k_{1}x+k_{2}(y-x)\\m_{2}\ddot y=-k_{2}(y-x)+k_{3}(z-y)\\m_{3}\ddot z=-k_{3}(z-y)-k_{4}(z)\\\dot x=u\\\dot y=v\\\dot z=w\end{matrix}\right.[/math]

2.1 Método de Euler Modificado

% Euler Modificado h=0.1
% Sistema de 3 masas y 4 muelles
clear all
% Intervalo de tiempo
t0=0;
tN=10;
% Datos
k1=4;
k2=2;
k3=1;
k4=3;
m1=2;
m2=1;
m3=3;
%Condiciones iniciales
x0=0.5;
y0=1;
z0=0.8;
u0=0;
v0=0;
w0=0;
 
N=100; % Pasos para h=0.1
h=(tN-t0)/N; % Intervalo
 
 
% Primeros valores
xx(1)=x0;
yy(1)=y0;
zz(1)=z0;
uu(1)=u0;
vv(1)=v0;
ww(1)=w0;
 
for n=1:N
    % Primera K
    k1x=uu(n);
    k1y=vv(n);
    k1z=ww(n);
    k1u=-(k2+k1)/m1*xx(n)+k2/m1*yy(n);
    k1v=k2/m2*xx(n)-((k2+k3)/m2)*yy(n)+(k3/m2)*zz(n);
    k1w=k3/m3*yy(n)-((k4+k3)/m3)*zz(n);
 
    xa=xx(n)+h/2*k1x;
    ya=yy(n)+h/2*k1y;
    za=zz(n)+h/2*k1z;
    ua=uu(n)+h/2*k1u;
    va=vv(n)+h/2*k1v;
    wa=ww(n)+h/2*k1w;
    
    % Segunda K
    k2x=ua;
    k2y=va;
    k2z=wa;
    k2u=-(k2+k1)/m1*xa+k2/m1*ya;
    k2v=k2/m2*xa-((k2+k3)/m2)*ya+(k3/m2)*za;
    k2w=k3/m3*ya-((k4+k3)/m3)*za;
 
    
    
    xx(n+1)=xx(n)+h*k2x;
    yy(n+1)=yy(n)+h*k2y;
    zz(n+1)=zz(n)+h*k2z;
    uu(n+1)=uu(n)+h*k2u;
    vv(n+1)=vv(n)+h*k2v;
    ww(n+1)=ww(n)+h*k2w;
end
hold on
t=t0:h:tN;
e=t0:0.01:tN
plot(xx+2.5,t,'-')
plot(yy+4,t,'-r')
plot(zz+8,t,'-k')
plot(2.5,e,'-g')
plot(4,e,'-g')
plot(8,e,'-g')
hold off
axis([0,12,0,10])
hold on
title('Euler Modificado')

legend('Masa m1','Masa m2','Masa m3','Posicion de equilibrio')
hold off

Aqui podemos ver los gráficos obtenidos. El superior corresponde a un paso de 0.1 y el inferior a uno de 0.25. El código es el mismo para ambos a excepción de N=100 para el primero y N=40 para el segundo.

Posición de cada masa respecto de la posición de equilibrio en intervalo (0,10) con paso de 0.1

Posición de cada masa respecto de la posición de equilibrio en intervalo (0,10) con paso de 0.25

2.2 Método de Runge-Kutta

El código de Matlab es:

% Sistema de 3 masas y 4 muelles
t0=0;
tN=10;
% Datos
k1=4;
k2=2;
k3=1;
k4=3;
m1=2;
m2=1;
m3=3;
%Condiciones iniciales
x0=0.5;
y0=1;
z0=0.8;
u0=0;
v0=0;
w0=0
 
N=100; % Pasos
h=(tN-t0)/N; % Intervalo
 
 
% Primeros valores
xx(1)=x0;
yy(1)=y0;
zz(1)=z0;
uu(1)=u0;
vv(1)=v0;
ww(1)=w0;
 
% Metodo de Runge-Kutta
for n=1:N
    % Primera K
    k1x=uu(n);
    k1y=vv(n);
    k1z=ww(n);
    k1u=-(k2+k1)/m1*xx(n)+k2/m1*yy(n);
    k1v=k2/m2*xx(n)-((k2+k3)/m2)*yy(n)+(k3/m2)*zz(n);
    k1w=k3/m3*yy(n)-((k4+k3)/m3)*zz(n);
 
    % Segunda K
    k2x=uu(n)+1/2*h*k1u;
    k2y=vv(n)+1/2*h*k1v;
    k2z=ww(n)+1/2*h*k1w;
    k2u=-(k2+k1)/m1*(xx(n)+1/2*h*k1x)+k2/m1*(yy(n)+1/2*k1y*h);
    k2v=k2/m2*(xx(n)+1/2*h*k1x)-((k2+k3)/m2)*(yy(n)+1/2*k1y*h)+(k3/m2)*(zz(n)+1/2*k1z*h);
    k2w=k3/m3*(yy(n)+1/2*k1y*h)-((k4+k3)/m3)*(zz(n)+1/2*k1z*h);
    
    % Tercera K
    k3x=uu(n)+1/2*h*k2u;
    k3y=vv(n)+1/2*h*k2v;
    k3z=ww(n)+1/2*h*k2w;
    k3u=-(k2+k1)/m1*(xx(n)+1/2*h*k2x)+k2/m1*(yy(n)+1/2*k2y*h);
    k3v=k2/m2*(xx(n)+1/2*h*k2x)-((k2+k3)/m2)*(yy(n)+1/2*k2y*h)+(k3/m2)*(zz(n)+1/2*k2z*h);
    k3w=k3/m3*(yy(n)+1/2*k2y*h)-((k4+k3)/m3)*(zz(n)+1/2*k2z*h);
 
    % Cuarta K
    k4x=uu(n)+h*k3u;
    k4y=vv(n)+h*k3v;
    k4z=ww(n)+h*k3w;
    k4u=-(k2+k1)/m1*(xx(n)+h*k3x)+k2/m1*(yy(n)+k3y*h);
    k4v=k2/m2*(xx(n)+h*k3x)-((k2+k3)/m2)*(yy(n)+k3y*h)+(k3/m2)*(zz(n)+k3z*h);
    k4w=k3/m3*(yy(n)+h*k3y)-((k4+k3)/m3)*(zz(n)+k3z*h);
 
    xx(n+1)=xx(n)+(h/6)*(k1x+2*k2x+2*k3x+k4x);
    yy(n+1)=yy(n)+(h/6)*(k1y+2*k2y+2*k3y+k4y);
    zz(n+1)=zz(n)+(h/6)*(k1z+2*k2z+2*k3z+k4z);
    uu(n+1)=uu(n)+(h/6)*(k1u+2*k2u+2*k3u+k4u);
    vv(n+1)=vv(n)+(h/6)*(k1v+2*k2v+2*k3v+k4v);
    ww(n+1)=ww(n)+(h/6)*(k1w+2*k2w+2*k3w+k4w);
end
 
e=t0:0.01:tN
t=t0:h:tN;
axis([0,12,0,10])
hold on
title('Runge-Kutta')
plot(xx+2.5,t,'-')
plot(yy+4,t,'-r')
plot(zz+8,t,'-k')
plot(2.5,e,'-g')
plot(4,e,'-g')
plot(8,e,'-g')
legend('Masa m1','Masa m2','Masa m3','Posicion de equilibrio')
hold off

Aqui podemos ver los gráficos obtenidos. El superior corresponde a un paso de 0.1 y el inferior a uno de 0.25. El código es el mismo para ambos a excepción de N=100 para el primero y N=40 para el segundo.

Posición de cada masa respecto de la posición de equilibrio en intervalo (0,10) con paso de 0.1

Posición de cada masa respecto de la posición de equilibrio en intervalo (0,10) con paso de 0.25

3 Otras condiciones iniciales

Ahora vamos a imponer unas nuevas CI para representar dos nuevas situaciones. Dichas condiciones son:

[math]\left\{\begin{matrix}x(0)=0.5 \\\dot x(0)=1\\y(0)=1 \\\dot y(0)=1\\z(0)=-0.5 \\\dot z=-1\\\end{matrix}\right.[/math]

[math]\left\{\begin{matrix}x(0)=0.5 \\\dot x(0)=-1\\y(0)=1 \\\dot y(0)=0\\z(0)=-0.5 \\\dot z=0.5\\\end{matrix}\right.[/math]

3.1 Método del trapecio

{{matlab|codigo= %Sistema EDOS lineal %Metodo de Trapecio Apartado A %%datos del problema t0=0; tf=20; y0=[-0.5 1 1 1 -0.5 1]'; k1=4; k2=2; k3=1; k4=3; m1=2; m2=1; m3=3; u=-1; v=1; w=1;

A=[0 1 0 0 0 0; -(k2+k1)/m1 0 k2/m1 0 0 0; 0 0 0 1 0 0; k2/m2 0 -((k2+k3)/m2) 0 (k3/m2) 0; 0 0 0 0 0 1 ; 0 0 k3/m3 0 -((k4+k3)/m3) 0]; %%discretizacion N=100; h=(tf-t0)/N; %%Vectores de tiempo y solucion approx. t=t0:h:tf; y=zeros(6,N+1);%%matriz de ceros con 3 filas (por no. de ecus)y N+1 columnas %%Inicializacion y(:,1)=y0; yy=y0; %%necesito gn y gn+1 for n=1:N

   gn=[0 0 0 0 0 0]';%vector con terminos libres de y
   gnp1=[0 0 0 0 0 0]';
   yy=(eye(6)-h/2*A)\(((eye(6)+h/2*A)*yy)+h/2*(gn+gnp1));
   y(:,n+1)=yy;

end clf

hold on title('Trapecio A') plot(y(1,:)+2.5,t,'-') plot(y(1,:)+4,t,'-r') plot(y(1,:)+8,t,'-y') plot(2.5,t,'-g') plot(4,t,'-g') plot(8,t,'-g') legend('Masa m1','Masa m2','Masa m3','Posicion de equilibrio') hold off }

{{matlab|codigo=

%Sistema EDOS lineal %Metodo de Trapecio Apartado B %%datos del problema t0=0; tf=20; y0=[0.5 -1 1 0 -0.5 0.5]'; k1=4; k2=2; k3=1; k4=3; m1=2; m2=1; m3=3; u=-1; v=0; w=0.5;

A=[0 1 0 0 0 0; -(k2+k1)/m1 0 k2/m1 0 0 0; 0 0 0 1 0 0; k2/m2 0 -((k2+k3)/m2) 0 (k3/m2) 0; 0 0 0 0 0 1 ; 0 0 k3/m3 0 -((k4+k3)/m3) 0]; %%discretizacion N=100; h=(tf-t0)/N; %%Vectores de tiempo y solucion approx. t=t0:h:tf; y=zeros(6,N+1);%%matriz de ceros con 3 filas (por no. de ecus)y N+1 columnas %%Inicializacion y(:,1)=y0; yy=y0; %%necesito gn y gn+1 for n=1:N

   gn=[0 0 0 0 0 0]';%vector con terminos libres de y
   gnp1=[0 0 0 0 0 0]';
   yy=(eye(6)-h/2*A)\(((eye(6)+h/2*A)*yy)+h/2*(gn+gnp1));
   y(:,n+1)=yy;

end clf

hold on title('Trapecio B') plot(y(1,:)+2.5,t,'-') plot(y(1,:)+4,t,'-r') plot(y(1,:)+8,t,'-y') plot(2.5,t,'-g') plot(4,t,'-g') plot(8,t,'-g') legend('Masa m1','Masa m2','Masa m3','Posicion de equilibrio') hold off }

3.2 Método de Euler Modificado

4 Estudio de un sistema en medio viscoso y con fuerza exterior

En muchos de los casos que estudian vibraciones es necesario tener en cuenta un amortiguador que va frenando las vibraciones. Vamos a estudiar el caso de una única masa (m=1kg), [math]\mu=c=1[/math] , k=4 y una fuerza exterior [math]f(t)=2·exp(-0.01t)·sin(2t)[/math]. Las condiciones iniciales son x(0)=0.3 v(0)=0.3 Aplicando las ecuaciones de Newton obtenemos la siguiente ecuación diferencial:

[math]\ddot x+\dot x +kx -2e^{(-0.01t)·sin(2t)}=0[/math]

Para resolver numericamente este problema aplicamos el método del trapecio. Necesitamos pasar de la ecuación de segundo orden a un sistema de dos ecuaciones de primer orden, el cual queda así:

[math]\left\{\begin{matrix}\dot v+v+4x-2e^{(-0.01t)·sin(2t)}=0\\\dot x=v\end{matrix}\right.[/math]

Si operamos el sistema aplicando la fórmula del trapecio y despejamos dejando como incógnita los términos en (n+1) resolvemos con el siguiente código:

a=0
b=60
N=300
h=(b-a)/N
t=a:h:b;
t0=a
x0=0.3
v0=0.3
k=4;
c=1;
x(1)=x0;v(1)=v0;E(1)=2*(x0^2)+0.5*(v0^2)

for n=1:N
A=[x(n)-c*h/2*v(n)+h/2*k*x(n)+h/2*(2*exp(-0.01*t(n))*sin(2*t(n)))+2*exp(-0.01*t(n+1)*sin(2*t(n+1)));
    c*(1+h/2)*v(n)]
B=[1-h/2*k,c*h/2;0,c]
rest=A\B;
x(n+1)=rest(1);
v(n+1)=rest(2);
end

E=2*(x.^2)+0.5*(v.^2);
semilogx(t,E,'g')