Diferencia entre revisiones de «Ecuación del Calor Grupo CCE»
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Revisión del 18:47 12 abr 2026
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Ecuación del Calor. Grupo CCE |
| Asignatura | EDP |
| Curso | 2025-26 |
| Autores | Coloma de Lara
Carlos de Miguel Elena Rodríguez |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
1 Ilustrar la solución fundamental de la ecuación del calor en dimensión 1.
Primero vamos a ilustrar la solución fundamental de la ecuación del calor en dimensión [math] 1 [/math] , tomando [math]x\in [-1,1] [/math] y [math]t\in [10^{-2},1] [/math]. Recordamos que la solución fundamental de la ecuación del calor es :
[math]\Phi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi k t}} e^{-\frac{x^2}{4kt}}[/math]
donde [math] k [/math] es la constante de difusión térmica del material. Para ilustrarla vamos a suponer [math] k=1 [/math].
| Implementación en MATLAB | Resultado Gráfico |
|---|---|
% Parámetros iniciales
k = 1; % Asumimos difusividad 1
x = linspace(-1, 1, 1000);
% Instantes de tiempo dentro del intervalo [10^-2, 1]
tiempos = [0.01, 0.05, 0.1, 0.5, 1];
figure;
hold on;
grid on;
colores = lines(length(tiempos));
% Calcular y dibujar la solución en cada instante de tiempo
for i = 1:length(tiempos)
t = tiempos(i);
% fórmula de la solución fundamental
Phi = (1 / sqrt(4 * pi * k * t)) * exp(-(x.^2) / (4 * k * t));
% dibujamos
plot(x, Phi, 'LineWidth', 2, 'Color', colores(i,:), ...
'DisplayName', ['t = ', num2str(t)]);
end
title('Solución fundamental de la ecuación del calor', 'FontSize', 14);
xlabel('Posición (x)', 'FontSize', 12);
ylabel('\Phi(x,t)', 'FontSize', 12);
legend('show', 'FontSize', 11);
xlim([-1 1]);
hold off; |
2 Ilustrar la solución fundamental de la ecuación del calor en dimensión 2.
Vamos a representar ahora la solución fundamental en dimensión [math] 2[/math] para los tiempos [math]t=0.001 [/math], [math] t=0.01[/math] y [math] t= 0.1[/math] y veremos como se acerca a una Delta de Dirac, ya que toda la energía se concentra en un solo punto a medida que el tiempo se acerca a 0. Ahora la solución fundamental es de la forma:
[math]\Phi(x,t) = \frac{1}{4\pi k t} e^{-\frac{x^2 + y^2}{4kt}}[/math]
El código es:
| Implementación en MATLAB: Representación dim=2 | ||
|---|---|---|
k = 1;
tiempos = [0.1, 0.01, 0.001];
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 1, 100), linspace(-1, 1, 100));
figure('Position', [100, 100, 1200, 400]);
for i = 1:length(tiempos)
t = tiempos(i);
Phi_2D = (1 / (4 * pi * k * t)) * exp(-(X.^2 + Y.^2) / (4 * k * t));
subplot(1, 3, i);
surf(X, Y, Phi_2D, 'EdgeColor', 'none');
colormap(jet);
view(-30, 30);
title(['t = ', num2str(t)], 'FontSize', 14);
xlabel('x_1', 'FontSize', 12);
ylabel('x_2', 'FontSize', 12);
zlabel('\Phi', 'FontSize', 12);
xlim([-1 1]);
ylim([-1 1]);
end
sgtitle('Solución fundamental en dimensión 2', 'FontSize', 16, 'FontWeight', 'bold'); | ||
| 1. t=0.1 | 2. t=0.01 | 3. t=0.001 |
3 Autosemejanza
| Implementación en MATLAB | Resultado Gráfico |
|---|---|
clear; clc; close all;
% Parámetro de difusión
k = 1;
% Valores de tiempo
t_values = [1, 4, 9];
% Dominio espacial
x = linspace(-10, 10, 1000);
%% 🔹 Gráfica 1: u(x,t) para distintos tiempos
figure;
hold on;
for t = t_values
u = (1./sqrt(4*pi*k*t)) .* exp(-x.^2./(4*k*t));
plot(x, u, 'LineWidth', 2);
end
title('Solución de la ecuación del calor');
xlabel('x');
ylabel('u(x,t)');
legend('t=1','t=4','t=9');
grid on;
%% 🔹 Gráfica 2: Autosemejanza
figure;
hold on;
for t = t_values
u = (1./sqrt(4*pi*k*t)) .* exp(-x.^2./(4*k*t));
xi = x ./ sqrt(t); % variable reescalada
u_rescaled = u .* sqrt(t); % reescalado vertical
plot(xi, u_rescaled, 'LineWidth', 2);
end
title('Autosemejanza: colapso de curvas');
xlabel('\xi = x / sqrt(t)');
ylabel('u(x,t) * sqrt(t)');
legend('t==1','t=4','t=9');
grid on; |
