Diferencia entre revisiones de «Trabajo Cicloide G04»

Revisión actual del 19:55 11 dic 2025

Se considera una curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

[math] γ(t) = (x(t),y(t)) = (R(t-sint),R(1-cost)), t∈(0,2π)[/math]

En la cual la variable R es un numero positivo fijado, en nuestro caso R=3.

1 Representación de la curva

Figura 1. Representación del cicloide

A partir de su parametrización y con matlab obtenemos la imagen de la curva, la cual corresponde al siguiente código.

% Definición de parámetros
  
  a/=0;  b=2*pi(); h=0.1;
  t=a:h:b; R=3;
  
% Definición de la curva
  x=R*(t-sin(t));
  y=R*(1-cos(t));
  plot(x,y,"Color","b");
 
% Leyenda de la gráfica
  legend("Cicloide");

% Dibujo del cicloide
 figure;
 plot(x, y, 'Color', [1 0 0], 'LineWidth', 3); 
 axis equal; 
 grid on; 
 title('Cicloide generado por un círculo rodante'); 
 xlabel('x(t)'); 
 ylabel('y(t)');

2 Vector velocidad y aceleración

2.1 Definición vector posición, velocidad y aceleración

El vector posición es el que une el origen con la posición particular de la curva, describiendo así su localización en el espacio.
[math] γ(t) = (x(t),y(t)) = (3(t-sint),3(1-cost))[/math]

El vector velocidad es la variación de la posición frente al tiempo , el cual es siempre tangente a la trayectoria de la partícula en cada punto.
[math] γ'(t) = (x'(t)\vec i + y'(t)\vec j) = (3 (1-cost)\vec i + 3 (sint)\vec j)[/math]

El vector aceleración se define como la variación de velocidad con respecto al tiempo, el cual puede medir cambios de rapidez o cambios de dirección. [math] γ''(t) = (x''(t)\vec i + y''(t)\vec j) = (3 (sint)\vec i + 3 (cost)\vec j)[/math]

2.2 Representación de los vectores

Figura 2. vectores velocidad y aceleración

Con el siguiente código de matlab se pueden ver representados los vectores correspondientes.

% Parámetros
t = linspace(0, 2*pi, 100); % Rango de t
x = 3 * (t - sin(t));       % Ecuación del cicloide (x)
y = 3 * (1 - cos(t));       % Ecuación del cicloide (y)

% Vectores velocidad
Vx = 3 * (1 - cos(t));
Vy = 3 * sin(t);

% Vectores aceleración
Ax = 3 * sin(t);
Ay = 3 * cos(t);

% Dibujo del cicloide
figure;
h1 = plot(x, y, 'Color', [1 0 0], 'LineWidth', 3); % Handle del cicloide
hold on;

axis equal;
grid on;
title('Cicloide con Vectores de Velocidad y Aceleración');
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');

% Configuraciones
step = 3;
escala = 1;

% Dibujar un quiver de velocidad (solo uno para la leyenda)
h2 = quiver(x(1), y(1), Vx(1), Vy(1), escala, 'color', [1 0.4 0], 'LineWidth', 0.8, 'MaxHeadSize', 0.3);

% Dibujar un quiver de aceleración (solo uno para la leyenda)
h3 = quiver(x(2), y(2), Ax(2), Ay(2), escala, 'color', [0 0 1], 'LineWidth', 0.8, 'MaxHeadSize', 0.5);

% Dibujar todos los vectores reales (sin afectar a la leyenda)
for i = 1:step:length(t)
    quiver(x(i), y(i), Vx(i), Vy(i), escala, 'color', [1 0.4 0], 'LineWidth', 0.8, 'MaxHeadSize', 0.3);
    quiver(x(i), y(i), Ax(i), Ay(i), escala, 'color', [0 0 1], 'LineWidth', 0.8, 'MaxHeadSize', 0.5);
end

% Leyenda correcta
legend([h1 h2 h3], {'Cicloide', 'Vectores de Velocidad', 'Vectores de Aceleración'}, 'Location', 'best');

hold off;

3 Longitud de la curva

La longitud de la curva se define como la integral del módulo de la velocidad en un rango de 0 a 2π de la siguiente forma: [math] ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(3-3cost)^2 +(3sent)^2}dt [/math]

Esto es asi ya que el módulo de la velocidad representa la rapidez con la que el punto recorre la curva en un intervalo de tiempo pequeño(dt).La suma de estas pequeñas distanciasen los intervalos buscados ([a,b]), define la longitud total de la curva .

La integral no se ha podido resolver teóricamente por lo que se ha seguido el "Método del rectángulo" con el objetivo de aproximar la integral. Esto se ha realizado a través de Matlab con el siguiente código obteniendo así el siguiente resultado: [math] ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)| = 24 [/math]

%Definición parámetros
t=linspace(0,2*pi,n);
a = 0;
b = 2 * pi;
n = 10000;

f = @(t) sqrt((3 - 3 * cos(t))^2 + (3 * sin(t))^2);

% Llamada a la función integral
resultado = integral(a, b, f, n);

disp(['Resultado de la integral: ', num2str(resultado)])

function S = integral(a, b, f, n)
    % Método del rectángulo usando el punto medio
    h = (b - a) / n;  % Ancho de cada subintervalo
    S = 0;  % Inicialización de la suma
    for i = 1:n
        xmed = a + (i - 0.5) * h;  % Punto medio del subintervalo
        S = S + f(xmed) * h;  % Suma de áreas de cada rectángulo
    end
end

4 Vectores tangente y normal

4.1 Definición vector tangente y normal

El vector tangente, vector unitario, es el cual indica la dirección de curva o superficie en un punto específico. Este se puede definir como el gradiente de una curva vectorial.Segun el triedro de frenet, la formula de este vector tangente es:

[math] \vec t(t) = \frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} = \frac{(x'(t)\vec i + y'(t)\vec j)}{\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}} =\left(\sin\left(\frac{t}{2}\right)\vec{i} + \cos\left(\frac{t}{2}\right)\vec{j}\right)[/math]

El vector normal, también unitario, se describe como un vector perpendicular a la superficie en un punto específico, siendo así perpendicular también al vector tangente. Esto se representa como que el producto escalar de ambos vectores da 0 como resultado. En superficies cerradas existe la opción de elegir la orientación de esta eligiendo entre la normal hacia adentro o hacia afuera de la propia superficie.

[math] \vec n(t) = \frac{(-y'(t)\vec i + x'(t)\vec j)}{\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}} = \left(\cos\left(\frac{t}{2}\right)\vec{i} - \sin\left(\frac{t}{2}\right)\vec{j}\right)[/math]

Se puede comprobar que es asi ya que el vector tangente y normal son perpendiculares entre si

[math]\cos\left(\frac{t}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{t}{2}\right) - \cos\left(\frac{t}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{t}{2}\right) = 0[/math]

4.2 Representación de los vectores

Figura 4. vectores tangentes y normal

% Parámetros
t = linspace(0, 2*pi, 100); % Rango de t (100 puntos)
x = 3 * (t - sin(t));       % Ecuación del cicloide (x)
y = 3 * (1 - cos(t));       % Ecuación del cicloide (y)

% Ecuaciones para el vector tangente
Tx = (1 - cos(t)) ./ sqrt(3 - 3*cos(t));
Ty = sin(t) ./ sqrt(3 - 3*cos(t));

% Ecuaciones para el vector normal
Nx = (-sin(t)) ./ sqrt(3 - 3*cos(t));
Ny = (1 - cos(t)) ./ sqrt(3 - 3*cos(t));

% Invertir dirección
Nx = -Nx;
Ny = -Ny;

% Colores
colorCicloide = [1 0 0];
colorTangente = [0.6 0 0.8];    % morado
colorNormal = [0 0.7 0.9];    % cian
linewidthCicloide = 3;
linewidthVectores = 0.7;
escalaQuiver = 5;
step = 2;

% Dibujo de la curva
figure;
h1 = plot(x, y, 'Color', colorCicloide, 'LineWidth', linewidthCicloide);
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Cicloide con Vectores Tangentes y Normales');
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');

h2 = plot(nan, nan, '-', 'Color', colorTangente, 'LineWidth', linewidthVectores);
h3 = plot(nan, nan, '-', 'Color', colorNormal, 'LineWidth', linewidthVectores);

% Dibujar TODOS los vectores reales
for i = 1:step:length(t)
    quiver(x(i), y(i), Tx(i), Ty(i), escalaQuiver, 'color', colorTangente, 'LineWidth', linewidthVectores, 'MaxHeadSize', 0.3);
    quiver(x(i), y(i), Nx(i), Ny(i), escalaQuiver, 'color', colorNormal, 'LineWidth', linewidthVectores, 'MaxHeadSize', 0.3);
end

% Leyenda
legend([h1 h2 h3], {'Cicloide', 'Vectores Tangentes', 'Vectores Normales'}, 'Location', 'best');
hold off;

5 Curvatura de la curva

5.1 Definición de la curvatura

La curvatura se define como la desviación que tiene una línea curva respecto de una recta. Es decir, la cantidad que se desvía el objeto de ser plano. En este caso denominaremos a la circunferencia de curvatura [math] κ(t)[/math] como la que mejor aproximada está a la curva [math]γ(t)[/math].
Esta se calcula a través de la siguiente fórmula:

[math]\kappa(t) = \frac{|\vec{v}(t) \times \vec{a}(t)|}{|\vec{v}(t)|^3} = \frac{2R^2 \sin^2\left(\frac{t}{2}\right)}{8R^3 \sin^3\left(\frac{t}{2}\right)} = \frac{1}{4R \sin\left(\frac{t}{2}\right)} = \frac{1}{12\sin\left(\frac{t}{2}\right)}[/math]

5.2 Representación de la curvatura

Figura 5. curvatura de la cicloide

La curva en Matlab la hemos representado con el siguiente código

%Parametros
t = linspace(0.1, 2*pi-0.1, 100); 

%Curvatura
k = 1 ./ (12 * sin(t / 2));

figure(3);
plot(t, k, 'r-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura');
xlabel('t'); grid on;

6 La circunferencia osculatriz

6.1 Definición

Se define como una circunferencia cuyo centro se encuentra sobre la recta normal a la curva en cuestión. Además, tiene la misma curvatura que la curva en el punto de interés. La circunferencia osculatriz se encuentra en el plano osculador. El centro y el radio de la circunferencia osculatriz en un punto de la curva se denominan como centro de curvatura y radio de curvatura de la curva en ese punto. A parte tiene la misma tangente que la curva ,es decir, el mismo vector velocidad o dirección.

6.2 Centro y radio

Sea [math]P = γ(t)[/math] con [math] t = 4[/math] se quiere representar la circunferencia osculatriz en P. Para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:

Centro: [math]Q(t) = \gamma(t) + \frac{1}{\kappa(t)}\vec{n}(t) = (3t - 3\sin t, 3 - 3\cos t) + \frac{1}{\frac{1}{12\sin\left(\frac{t}{2}\right)}} \cdot \left(\cos\left(\frac{t}{2}\right)\vec{i} - \sin\left(\frac{t}{2}\right)\vec{j}\right)[/math]
Radio: [math]R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|} = \frac{1}{\left|\frac{1}{12\sin\left(\frac{t}{2}\right)}\right|} = 12|\sin(2)| \approx 10.91[/math]

6.3 Representación de la circunferencia

Figura 5. Circunferencia osculatriz

El código que hemos empleado para representar la circunferencia osculatriz en matlab es el siguiente:

%Parametros

t0 = 4;
P0 = [R*(t0 - sin(t0)), R*(1 - cos(t0))];
rho = 12 * sin(t0/2);
N0 = [cos(t0/2), -sin(t0/2)]; 
Centro = P0 + rho * N0;

%Dibujo Cicloide

figure(4);
plot(x, y, 'b'); hold on; axis equal; grid on;
theta = linspace(0, 2*pi, 200);
xc = Centro(1) + rho * cos(theta);
yc = Centro(2) + rho * sin(theta);
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.5);
plot(P0(1), P0(2), 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');
title('Circunferencia Osculatriz en t=4');

7 Sobre la cicloide

7.1 ¿Qué es la cicloide?

Cicloide generada por una circunferencia rodando sobre una recta

La cicloide es la curva generada por un punto fijo situado en el borde de una circunferencia cuando esta rueda sin deslizar sobre una línea recta. La combinación del movimiento de rotación de la circunferencia con su desplazamiento horizontal produce una trayectoria ondulante formada por arcos iguales. En cada vuelta, el punto desciende hasta coincidir con el punto de contacto con la superficie, asciende a medida que la circunferencia gira, alcanza su altura máxima cuando se sitúa en la parte superior y vuelve a descender hasta formar la siguiente cúspide. Este patrón se repite de manera periódica, dando lugar a una sucesión de arcos que presentan la misma forma y dimensiones.

De este modo, la cicloide representa con precisión el movimiento de un punto que avanza y gira simultáneamente, y se caracteriza por ser una curva periódica, simétrica en cada uno de sus arcos y definida por la relación exacta entre rotación y traslación. Su estructura regular y repetitiva hace que sea una de las curvas más estudiadas en geometría por la claridad con la que refleja este tipo de movimiento compuesto.

7.2 Aplicación en ingeniería

Visualización de la tautócronia

Históricamente, la cicloide fue empleada en el diseño de engranajes antes de que se impusiera la geometría involuta. Sus propiedades permiten una transmisión suave del movimiento durante el contacto entre dientes, reduciendo vibraciones y esfuerzos. También aparece como solución óptima en el problema braquistócrono, en el que una partícula tarda el mínimo tiempo posible en descender entre dos puntos bajo la acción de la gravedad, lo que la convierte en un modelo teórico de trayectorias de tiempo mínimo. De forma relacionada, es la solución del problema tautócrono, donde el tiempo de descenso es constante independientemente del punto de partida. Aunque estas propiedades no se aplican directamente en obras civiles, forman parte del fundamento teórico con el que se estudian sistemas de rodadura, vibración y optimización.

Además, la cicloide sirve como referencia geométrica en el análisis idealizado de la interacción rueda–suelo o rueda–vía, ya que describe el movimiento exacto de un punto en rodadura sin deslizamiento. Esto la hace útil en la formulación de problemas de dinámica avanzada, en la modelización de contactos mecánicos y en la comprensión del movimiento relativo en sistemas que involucran ruedas, trenes de engranajes o rodillos. Por tanto, aunque no sea una herramienta de diseño habitual en ingeniería civil, la cicloide ocupa un papel relevante en la ingeniería como curva óptima y como solución natural de problemas clásicos de rodadura, mecánica y cálculo variacional.

8 Curva en estructuras civiles

Aunque la cicloide no es una curva ampliamente utilizada en ingeniería civil, existen obras cuya geometría coincide en gran parte o se aproxima de manera notable a esta forma, especialmente en elementos estructurales donde se busca una buena distribución de esfuerzos. La cicloide presenta un comportamiento favorable en compresión y permite reducir momentos flectores en ciertas configuraciones, lo que puede traducirse en estructuras esbeltas y eficientes desde el punto de vista resistente.

Un ejemplo destacado es el Ponte Santa Trinita, cuyo arco principal muestra una curvatura que se asemeja claramente al trazado de una cicloide. Esta forma suaviza la transición entre los apoyos y la clave del arco, mejora el reparto de cargas hacia los estribos y contribuye a la estabilidad global del puente. Su geometría permite que los esfuerzos se transmitan de manera eficiente a lo largo del arco, favoreciendo el trabajo en compresión propio de las estructuras de fábrica.

Otro caso donde la cicloide aparece de forma explícita es la cubierta del Kimbell Art Museum, cuyas bóvedas de hormigón adoptan un perfil cicloidal para conformar un cascarón delgado y resistente. Esta elección geométrica permite cubrir grandes luces con espesores reducidos y un número limitado de apoyos, aprovechando al máximo el comportamiento funicular del hormigón en estas configuraciones.

A pesar de estas aplicaciones, la cicloide no es una curva habitual en ingeniería civil. Su reproducción exige encofrados específicos, mayor precisión en obra y un coste constructivo superior al de otras curvas más simples, como la parábola o la catenaria, que ofrecen un rendimiento estructural excelente con métodos más económicos. Por ello, la cicloide aparece únicamente en obras singulares donde prima el diseño arquitectónico o donde se busca una solución geométrica particular, mientras que en la práctica general se opta por formas más fáciles de ejecutar y equivalentes desde un punto de vista estructural.

• 

  Ponte Santa Trinita

• 

  Bóveda cicloidal del Kimbell Art Museum

9 Cicloide en ℝ³

Figura 9. Cicloide R3

La Cicloide en un espacio [math]\mathbb{R}^3[/math] la podemos observar mediante la siguiente parametrización:

[math]γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (0, t − sin t, 1 + cos t), t∈(0, 2π)[/math]

% Parámetros
 R = 3;                        % Radio de la cicloide
 u = linspace(0, 2*pi, 100);   % Rango de u
 v = linspace(0, 1, 50);       % Rango de v


% Crear la malla de puntos para u y v
 [U, V] = meshgrid(u, v);

% Parametrización de la cicloide en 3D
 x = V;                                    % x(u,v) = v
 y = R * (U - sin(U));                     % y(u,v) = R(u - sin(u))
 z = R * (1 + cos(U));                     % z(u,v) = R(1 + cos(u))

% Graficar la superficie
figure;
surf(x, y, z);
colormap jet;                             % Colormap para la visualización
shading interp;                           % Suaviza la superficie
  title('Cicloide en 3D con Parametrización y(u,v)');
  xlabel('x');
  ylabel('y');
  zlabel('z');
axis equal;
grid on;

Aqui adjunto una foto en las que se puede ver la aplicación de estas cicloides en obras de ingeniería civil:

Figura 9. Algunas secciones abiertas de gran diámetro utilizadas en pistas de patinaje acrobático son prácticamente cicloides

10 Masa de la superficie

Nos dan que la densidad viene dada por la función [math]f(x_1, x_2, x_3) = (1 + x_1)(1 + x_2)x_3[/math].

La masa se obtiene calculando el volumen, para ello se realiza la integral:

Calculamos el diferencial dS: [math]dS=S_txS_u dtdu[/math]

A continuación calculamos las derivadas parciales: [math]S_t=(0,3*(1-cos(t)),-3*sin(t))[/math] [math]S_u=(1,0,0)[/math]

Tras realizar el producto vectorial obtenemos que el diferencial es: [math]dS=6sin(t/2)d_td_u[/math]

La densidad se distribuye como [math] x_1 = s,\qquad x_2 = R(t-\sin t),\qquad x_3 = R(1+\cos t) que en la función quedaría \Rightarrow\quad f(t,s)= (1+s)\,\bigl(1+R(t-\sin t)\bigr)\,R(1+\cos t)[/math]

En general la masa quedaría representada así:

En MATLAB empleamos el método de los rectángulos:

n=10000;
Masa=0;
t = linspace(0,2*pi,n);
%metodo del rectangulo 
for i=1:n
     base=(2*pi-0)/n;
     altura=S(t(i));
    masa=masa+base * altura ;
end
disp(masa));

Y resulta una masa aproximada de = 750.584

11 Bibliografía

Stewart, J. Cálculo de varias variables. Disponible en: https://stewartcalculus.com

Weisstein, E. W. “Cycloid.” MathWorld – A Wolfram Web Resource. Disponible en: https://mathworld.wolfram.com/Cycloid.html

Wikipedia contributors. “Cycloid.” Wikipedia, The Free Encyclopedia. Disponible en: https://en.wikipedia.org/wiki/Cycloid

Katz, V. A History of Mathematics: An Introduction. Disponible en: https://archive.org/details/historyofmathematicskatz

Artículo sobre aplicaciones de la cicloide en ingeniería (consultado para inspiración histórica y conceptual). Disponible en: https://www.sciencedirect.com/topics/mathematics/cycloid

Apoyo con herramientas de IA: En la elaboración del trabajo, los participantes hemos utilizado herramientas de inteligencia artificial (ChatGPT) para tareas de redacción, síntesis y verificación de contenido.

12 Póster