Diferencia entre revisiones de «La Clotoide (Grupo 24)»

Revisión actual del 11:35 10 dic 2025

Trabajo realizado por estudiantes
Título	La Clotoide (Grupo 24)
Asignatura	Teoría de campos
Curso	2025-26
Autores	Alvaro de la Rosa Salamanca, Sergio Cornide Chinchón, Nicolas Fernandez Vieira, Pablo Alonso Castañón, Luis Fernandez Gonzalez.
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

Contenido

1 Introducción.
2 Dibujo de la curva.
3 Velocidad y aceleración.
4 Longitud de la curva.
5 Vectores tangente y normal.
6 Curvatura k(t).
7 Centro y radio de la circunferencia osculatriz.
8 Propiedades para la ingeniería.
9 Ejemplos de la clotoide en la ingeniería civil.
10 Qué fenómeno describe.
11 Hélice cónica en ℝ³ (superficie reglada).
12 Calculo de la masa de la hélice cónica.
13 BIBLIOGRAFÍA

1 Introducción.

De forma matemática, las clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

2 Dibujo de la curva.

La expresión matemática de la clotoide es:

[math] \gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4) [/math]

La representación gráfica de la curva:

Figura 1: Clotoide.

clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
 L = 4;       
 n = 500;  
 t = linspace(0, L, n);  

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
 x = zeros(1, n);
 y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
 f1= @(s) cos(s.^2/2);
 f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
    % Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
    x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));
    
    % Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2) 
    y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y,'red');
axis equal;
xlabel('EJE X');
ylabel('EJE Y');
title('Curva de la clotoide');
colorbar
legend('clotoide')
grid on;

3 Velocidad y aceleración.

Para hallar ambos vectores, se aplican las siguientes fórmulas de velocidad [math] \dot{\gamma } [/math] y aceleración [math] \ddot{\gamma } [/math]

[math] \vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j} [/math]
[math] \vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j} [/math]

Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:

Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide.

% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2);  % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2);  % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2);  % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2);  % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:4:500  
    % Vectores de velocidad
    quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);
    
    % Vectores de aceleración
    quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
grid on
hold off;

4 Longitud de la curva.

Para hallar la longitud de la curva, primero necesitamos su expresión

[math] L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt, t\in (0,4) [/math]

[math] \vec{{\gamma }'(t)}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j} [/math]

De módulo:

[math] |γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1 [/math]

Con esto, hallamos su longitud:

[math] L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4 [/math]

5 Vectores tangente y normal.

Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:

[math]\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1} [/math]

[math]\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}} [/math]

Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:

Figura 3: Vectores tangente y normal de la clotoide.

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t) 
tx = cos(t.^2/2); 
ty = sin(t.^2/2);  

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2); 
ny = cos(t.^2/2);  

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:4:500  
    % Vector tangente
    quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);
    
    % Vector normal
    quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva','Normal','Tangente','Location','Best');
grid on
hold off;

6 Curvatura k(t).

La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:

[math] k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t [/math]

La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab

Figura 4: Curvatura.

% Definimos el parámetro t
 t=linspace(0,4,50);
% Definimos la curvatura k(t)
 k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
 figure;
 plot(k,t,'green');
 title('Curvatura');
 xlabel('Eje x');
 ylabel('Eje y');

7 Centro y radio de la circunferencia osculatriz.

La circunferencia osculatriz se trata de una aproximación local de la curva en cada punto de la misma, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
Dicho esto y dado P= [math] \gamma (1.5) [/math], es decir, t=1.5, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro sera:

[math]R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}[/math]

[math]Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)[/math]

[math]R(1.5)=\frac{1}{1.5}[/math]

Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:

[math]Q(1.5) = \left\{\begin{matrix} Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds + (-\frac{sin(1.5)}{2})\\\ Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2}) \end{matrix}\right.[/math]

Con el centro ya calculado, se realiza el gráfico, mediante el siguiente código, al anterior de la clotoide, obteniendo la circunferencia osculatriz:

Figura 5:Circunferencia osculatriz y su curva.

% Calculamos las integrales de la curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);

% Radio de la circunferencia osculatriz
R = 1/1.5;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Qx = X1 + R*-sin(1.5^2/2);
Qy = Y1 + R*cos(1.5^2/2);
theta = linspace(0,2*pi,500);

% Parametrización de la circunferencia
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);

% Representación
hold on
% Clotoide
plot(x,y,'r')     
% Circunferencia osculatriz
plot(Cx,Cy,'g')    
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Curva y circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off

8 Propiedades para la ingeniería.

Su principal aplicación en la ingeniería es el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es importantísimo hacerla correctamente, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta y la ajusta gradualmente. Sin una transición suave, se podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros ya que se enfrentarían a un aumento agresivo de las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar a la estabilidad.

Las propiedades de la clotoide ofrecen otras aplicaciones como ayudar a mantener un flujo de agua estable, diseñar rutas de entrada y salida para embarcaciones en los puertos e incluso para construir montañas rusas. Otros usos son circuitos de fórmula 1 por su atractivo por la exigencia que tiene para los monoplazas dado que son curvas rápidas pero técnicas.

9 Ejemplos de la clotoide en la ingeniería civil.

Dragon Khan.

Salida 11; A-6 direccion M-40.

Circuito de Silverstone.

10 Qué fenómeno describe.

La clotoide, también conocida como espiral de Euler o espiral de Cornu, es una curva especialmente utilizada en ingeniería civil y de transportes debido a su capacidad para proporcionar transiciones suaves entre tramos rectos y curvas de radio constante, algo fundamental para la comodidad y seguridad en carreteras y vías férreas. En una clotoide, la curvatura aumenta de manera lineal con respecto a la longitud recorrida a lo largo de la curva. Esto significa que, al principio del tramo, la curvatura es prácticamente nula , lo que equivale a un radio de curvatura infinito, como el de una recta, y conforme se avanza a lo largo de la curva, la curvatura va creciendo progresivamente hasta alcanzar el valor deseado para enlazar con una curva circular de radio constante.

11 Hélice cónica en ℝ³ (superficie reglada).

La parametrización en coordenadas cartesianas es:

[math] 𝛾(𝑡) = (𝑥_1(𝑡), 𝑥_2(𝑡), 𝑥_3(𝑡)) = (𝑡 cos𝑡, 𝑡sin 𝑡, 𝑡), 𝑡 ∈ (2𝜋, 6𝜋). [/math]

Para dibujar el helicoide cónico hay que seguir los siguientes pasos (mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y 𝑒⃗𝜌)

1. Aplicando el cambio de base, sabemos que el vector 𝑒⃗𝜌 en coordenadas cartesianas es:

[math] 𝑒⃗_𝜌 = cos(t) \overline{i} + sen(t) \overline{j} [/math]

2.Parametrizamos este vector con v para poder dejar la superficie en función de (u,v):

[math] 𝑒⃗_𝜌 = f(v) = cos(v) \overline{i} + sen(v) \overline{j} [/math]

3.Sustituir todos los valores en la formula:

[math] \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) = (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsinv+ u\cdot sinv) \overline{j} + v \overline{k} [/math]

4.Representación con matlab:

Figura 6:Helicode cónico.

clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros u y v
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie en coordenadas cilíndricas

 r=MV+MU;
 th=MV;
 z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;

12 Calculo de la masa de la hélice cónica.

Suponemos que la densidad de la superficie de la hélice cónica viene dada por la siguiente ecuacion

[math] f(x_1,x_2,x_3)=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3}[/math]

para calcular la masa usaremos la expresión

[math] Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv[/math]

En primer lugar calcularemos las derivadas de [math]\phi'_u [/math] y [math]\phi'_v [/math]

[math] \phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}[/math] [math] \phi'_v = (-usinv) \overline{i} + (ucosv) \overline {j} +\overline{k} [/math]

Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz

[math] \phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + u\overline{k} [/math]

Cuyo módulo es:

[math] |\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2} [/math]

A continuacion se calcula [math] f(\phi(u,v))[/math]

[math] f(\phi(u,v))= \frac{(u+v)^2}{u}[/math]

Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa

[math] Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} \frac{(u+v)^2}{u}\cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv ≈2406.025 [/math]

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:

clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% M = integral2(fun, amin, amax, bmin, bmax)
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);

13 BIBLIOGRAFÍA

https://mat.caminos.upm.es/wiki/P%C3%A1gina_principal
https://cifrasyteclas.com/2014/01/23/clotoide-la-curva-que-vela-por-tu-seguridad-en-carreteras-y-ferrocarriles/
https://es.wikipedia.org/wiki/Clotoide
https://blog.structuralia.com/clotoide
https://www.applesfera.com/curiosidades/todos-productos-apple-se-rigen-patron-diseno-que-se-remonta-a-1874-que-clotoide-curva-euler
https://es.scribd.com/document/365340641/Que-Es-La-Clotoide-en-Carreteras
https://gemini.google.com/app

Diferencia entre revisiones de «La Clotoide (Grupo 24)»

Revisión actual del 11:35 10 dic 2025

Contenido

1 Introducción.

2 Dibujo de la curva.

3 Velocidad y aceleración.

4 Longitud de la curva.

5 Vectores tangente y normal.

6 Curvatura k(t).

7 Centro y radio de la circunferencia osculatriz.

8 Propiedades para la ingeniería.

9 Ejemplos de la clotoide en la ingeniería civil.

10 Qué fenómeno describe.

11 Hélice cónica en ℝ³ (superficie reglada).

12 Calculo de la masa de la hélice cónica.

13 BIBLIOGRAFÍA

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@@ Línea 20: / Línea 20: @@
 La representación gráfica de la curva:
 <br>
-[[Archivo:clotoide.png|500px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
+[[Archivo:clotoide.png|500px|thumb|right|Figura 1: Clotoide.]]
 {{matlab|codigo=
 clear; clc; clf;
@@ Línea 73: / Línea 73: @@
 Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 <br>
-[[Archivo:Toide.png|500px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
+[[Archivo:Toide.png|500px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide.]]
 {{matlab|codigo=
 % Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
@@ Línea 138: / Línea 138: @@
 Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 <br>
-[[Archivo:Clotoide4.png|500px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal de la clotoide]]
+[[Archivo:Clotoide4.png|500px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal de la clotoide.]]
 {{matlab|codigo=
 % Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
@@ Línea 176: / Línea 176: @@
 <br>
 La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
-[[Archivo:curvaturacloto.png|405px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
+[[Archivo:curvaturacloto.png|405px|thumb|right|Figura 4: Curvatura.]]
 {{matlab|codigo=
 % Definimos el parámetro t
@@ Línea 195: / Línea 195: @@
 <br>
-== Centro y radio de la circunferencia osculatriz==
+== Centro y radio de la circunferencia osculatriz.==
 La circunferencia osculatriz se trata de una aproximación local de la curva en cada punto de la misma, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 <br>
@@ Línea 222: / Línea 222: @@
 <br>
 Con el centro ya calculado, se realiza el gráfico, mediante el siguiente código, al anterior de la clotoide, obteniendo la circunferencia osculatriz:
-[[Archivo:Curvinhaclotoide.png|505px|miniaturadeimagen|Figura 5:Circunferencia osculatriz y su curva]]
+[[Archivo:Curvinhaclotoide.png|505px|miniaturadeimagen|Figura 5:Circunferencia osculatriz y su curva.]]
 {{matlab|codigo=
 % Calculamos las integrales de la curva para t = 1.5
@@ Línea 258: / Línea 258: @@
 ==Propiedades para la ingeniería.==
-La clotoide es la curva que describe una transición suave entre una trayectoria recta y una curva circular, ya que, como se ha expuesto anteriormente, su curvatura crece de forma lineal con relación a su longitud. Justamente por eso, en el punto de inicio, el radio de curvatura es infinito, y a medida que avanza, el radio disminuye hasta tomar un valor finito, estableciendo una curvatura más definida.
+<br>
 Su principal aplicación en la ingeniería es el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es importantísimo hacerla correctamente, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta y la ajusta gradualmente. Sin una transición suave, se podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros ya que se enfrentarían a un aumento agresivo de las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar a la estabilidad.
@@ Línea 268: / Línea 267: @@
 <br>
 <br>
-==Ejemplos de la clotoide en la ingeniería civil==
+==Ejemplos de la clotoide en la ingeniería civil.==
-[[Archivo:Ejemplociclo1.png|202px|miniaturadeimagen|izquierda|Dragon khan]]
+[[Archivo:Ejemplociclo1.png|202px|miniaturadeimagen|izquierda|Dragon Khan.]]
-[[Archivo:Ejemplociclo2.png|202px|miniaturadeimagen|medio|Salida 11 A-6 direccion M-40]]
+[[Archivo:Ejemplociclo2.png|202px|miniaturadeimagen|medio|Salida 11; A-6 direccion M-40.]]
-[[Archivo:Ejemplociclo3.png|202px|miniaturadeimagen|derecha|circuito silverstone]]
+[[Archivo:Ejemplociclo3.png|202px|miniaturadeimagen|derecha|Circuito de Silverstone.]]
 <br>
 <br>
@@ Línea 277: / Línea 276: @@
 <br>
-==Qué fenómeno describe==
+==Qué fenómeno describe.==
+La clotoide, también conocida como espiral de Euler o espiral de Cornu, es una curva especialmente utilizada en ingeniería civil y de transportes debido a su capacidad para proporcionar transiciones suaves entre tramos rectos y curvas de radio constante, algo fundamental para la comodidad y seguridad en carreteras y vías férreas.
+En una clotoide, la curvatura aumenta de manera lineal con respecto a la longitud recorrida a lo largo de la curva. Esto significa que, al principio del tramo, la curvatura es prácticamente nula , lo que equivale a un radio de curvatura infinito, como el de una recta,  y conforme se avanza a lo largo de la curva, la curvatura va creciendo progresivamente hasta alcanzar el valor deseado para enlazar con una curva circular de radio constante.
 <br>
@@ Línea 284: / Línea 285: @@
 <br>
-==Hélice cónica en ℝ³ (superficie reglada)==
+==Hélice cónica en ℝ³ (superficie reglada).==
 La parametrización en coordenadas cartesianas es:
-<center><math> 𝛾(𝑡) = (𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡), 𝑥3(𝑡)) = (𝑡 cos𝑡, 𝑡sin 𝑡, 𝑡), 𝑡 ∈ (2𝜋, 6𝜋). </math></center>
+<center><math> 𝛾(𝑡) = (𝑥_1(𝑡), 𝑥_2(𝑡), 𝑥_3(𝑡)) = (𝑡 cos𝑡, 𝑡sin 𝑡, 𝑡), 𝑡 ∈ (2𝜋, 6𝜋). </math></center>
 <br>
@@ Línea 293: / Línea 294: @@
 Para dibujar el helicoide cónico hay que seguir los siguientes pasos (mediante segmentos ortogonales
 de longitud 1 y 𝑒⃗𝜌)
+<br>
+<br>
 . Aplicando el cambio de base, sabemos que el vector 𝑒⃗𝜌 en coordenadas cartesianas es:
-<center><math> 𝑒⃗𝜌 = cos(t) \overline{i} + sen(t) \overline{j} </math></center>
+<center><math> 𝑒⃗_𝜌 = cos(t) \overline{i} + sen(t) \overline{j} </math></center>
+<br>
 <br>
 .Parametrizamos este vector con v para poder dejar la superficie en función de (u,v):
 <br>
-<center><math> 𝑒⃗𝜌 = f(v) = cos(v) \overline{i} + sen(v) \overline{j} </math></center>
+<br>
+<center><math> 𝑒⃗_𝜌 = f(v) = cos(v) \overline{i} + sen(v) \overline{j} </math></center>
 <br>
 .Sustituir todos los valores en la formula:
 <br>
-<centre><math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math>
+<br>
-<math>\phi (u,v)= (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsinv+ u\cdot sinv) \overline{j} + v \overline{k} </math></centre>
+<center><math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) = (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsinv+ u\cdot sinv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
+<br>
+<br>
+.Representación con matlab:
+[[Archivo:Helicoide12.png|505px|miniaturadeimagen|Figura 6:Helicode cónico.]]
+{{matlab|codigo=
+clear; clc; clf;
+%Definimos los parámetros u y v
+u=(0:0.01:1);
+v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
+[MU,MV]=meshgrid(u,v);
+%Definimos la superficie en coordenadas cilíndricas
+ r=MV+MU;
+ th=MV;
+ z=MV;
+%Transformamos las coordenadas en cartesianas
+x=r.*cos(th);
+y=r.*sin(th);
+z=z;
+%Dibujamos la superficie en una gráfica
+surf(x,y,z);
+title('Helicoide cónico');
+shading flat;
+}}
 <br>
 <br>
+==Calculo de la masa de la hélice cónica.==
+Suponemos que la densidad de la superficie de la hélice cónica viene dada por la siguiente ecuacion
 <br>
+<center>
+<math>
+f(x_1,x_2,x_3)=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3}</math>
+</center>
+para calcular la masa usaremos la expresión
+<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>
+En primer lugar calcularemos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
+<center><math>
+\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
+<center><math>
+\phi'_v = (-usinv) \overline{i} + (ucosv) \overline {j} +\overline{k}
+</math></center>
+Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
+<center><math>
+ \phi '_u\times\phi '_v  = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + u\overline{k}
+</math></center>
+Cuyo módulo es:
+<center><math>
+|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
+</math></center>
+A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
+<center><math>
+f(\phi(u,v))= \frac{(u+v)^2}{u}</math></center>
+Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
+<center><math>
+Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} \frac{(u+v)^2}{u}\cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv ≈2406.025
+</math></center>
+Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
+{{matlab|codigo=
+clear;clc
+% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
+% M = integral2(fun, amin, amax, bmin, bmax)
+% Definición de la función a integrar f(u, v)
+fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
+% Definición de los límites de integración
+v_min = 0;
+v_max = 1;
+u_min = 2*pi;
+u_max = 6*pi;
+% Cálculo de la integral doble
+Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
+% Mostrar el resultado
+fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
+}}
 <br>
+<br>
+<br>
+<br>
+==BIBLIOGRAFÍA==
+https://mat.caminos.upm.es/wiki/P%C3%A1gina_principal
+<br>
+https://cifrasyteclas.com/2014/01/23/clotoide-la-curva-que-vela-por-tu-seguridad-en-carreteras-y-ferrocarriles/
+<br>
+https://es.wikipedia.org/wiki/Clotoide
+<br>
+https://blog.structuralia.com/clotoide
+<br>
+https://www.applesfera.com/curiosidades/todos-productos-apple-se-rigen-patron-diseno-que-se-remonta-a-1874-que-clotoide-curva-euler
+<br>
+https://es.scribd.com/document/365340641/Que-Es-La-Clotoide-en-Carreteras
+<br>
+https://gemini.google.com/app
+<br>
-==Densidad de superficie de la hélice cónica==
 [[Categoría:Teoría de Campos]]
 [[Categoría:TC25/26]]