Diferencia entre revisiones de «La Cicloide (GRUPO 65)»

Revisión actual del 01:14 9 dic 2025

Se considera una curva en un plano de dimensión 2 dada por la parametrización:

[math] 𝛾(t) = (x(t),y(t)) = (R(t-sint),R(1-cost)), t∈(0,2π) [/math]

Siendo R un número positivo fijo. En este caso R=3

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

[math]\gamma(t) = (x(t), y(t)) = (R(t - \sin t), R(1 - \cos t)), \quad t \in (0, 2\pi)[/math]

donde [math]R[/math] es un número positivo fijado. En este trabajo tomamos [math]R = 3[/math].

1 Dibujar la curva

La curva representa el trayecto de un punto en el borde de una rueda de radio [math]R=3[/math] que gira sin deslizar.

Gráfica de la Cicloide (R=3) generada en MATLAB

R = 3;
t = linspace(0, 2*pi, 1000);

% Parametrización
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Dibujo
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Cicloide (R=3)');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal; grid on; xlim([0, 2*pi*R]);

2 Vectores velocidad y aceleración

Calculamos analíticamente los vectores derivando la parametrización: El vector velocidad corresponde a la primera derivada del vector inicial con respecto al parámetro t. La parametrización se muestra a continuación:

• Velocidad: [math]\gamma'(t) = (3(1 - \cos t), 3\sin t)[/math]

El vector aceleración viene dado por la segunda derivada de la cicloide con respecto al parámetro t. El vector calculado es el siguiente:

• Aceleración: [math]\gamma''(t) = (3\sin t, 3\cos t)[/math]

A continuación, el código para dibujarlos en un punto arbitrario (por ejemplo, [math]t = \pi/2[/math]):

Gráfica de la curva, velocidad y aceleración generada en MATLAB

clear;clc;
R=3; 
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
%vectores
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t)); 
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t)); 
figure 
%Dibujo 
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'b');
quiver(x,y,Ax,Ay,'g'); 
hold off
grid on
%Etiquetas 
axis equal 
legend('Curva','Velocidad','Aceleración'); 
title('Curva, velocidad y aceleración');

3 Longitud de la curva

La longitud de la curva se calcula mediante la integral:

[math]L = \int_0^{2\pi} \|\gamma'(t)\| dt = \int_0^{2\pi} 3\sqrt{(1-\cos t)^2 + \sin^2 t} \, dt[/math]

Simplificando el integrando obtenemos [math]6\sin(t/2)[/math]. Resolviendo la integral:

[math]L = \int_0^{2\pi} 6\sin(t/2) dt = [-12\cos(t/2)]_0^{2\pi} = 24[/math]

Cálculo numérico (Método del Rectángulo):

clear;clc;
N=10000; 
h=(2*pi)/N;
t=0:h:(2*pi-h);

dx=R*(1-cos(t));
dy=R*sin(t);
ds=sqrt(dx.^2+dy.^2);

Longitud=sum(ds*h);
fprintf('Longitud Aproximada: %.5f\n', Longitud);
fprintf('Longitud Teórica: 24\n');

4 Vectores tangente y normal

El vector tangente es un vector de magnitud uno que apunta en la misma dirección que la velocidad. Su función es mostrar la dirección instantánea del movimiento a lo largo de la curva.

• Tangente unitario: [math]\vec{t}(t) = (\sin(t/2), \cos(t/2))[/math]

El vector normal es el vector perpendicular (ortogonal) al vector tangente. Este vector señala la concavidad de la curva, es decir, hacia dónde está girando en ese punto.

• Normal unitario: [math]\vec{n}(t) = (\cos(t/2), -\sin(t/2))[/math] (apuntando hacia el centro de curvatura).

Gráfica de la curva, tangente y normal generada en MATLAB

clear;clc;
R=3; 
t=linspace(0,2*pi,12);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
%vectores
T1=R*(1-cos(t));
T2=R*(sin(t)); 
norma= sqrt(T1.^2+T2.^2); 
N1=T1./norma; 
N2=T2./norma;

figure 
%Dibujo 
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,N1,N2,'r');
quiver(x,y,N2,-N1,'b'); 
hold off
grid on
%Etiquetas 
axis equal 
legend('Curva','`Tangente','Normal'); 
title('Curva, tangente y normal');

5 Curvatura

Gráfica de la curvatura en función de t

La curvatura [math]\kappa(t)[/math] para [math]R=3[/math], simplificando mediante reglas trigonométricas viene dada por:

[math]\kappa(t) = \frac{\gamma'(t)\times\gamma''(t)}{|\gamma'(t)|^3}= \frac{1}{4R\sin(t/2)} = \frac{1}{12\sin(t/2)}[/math]

t=linspace(0.1,2*pi-0.1,100); 
kappa=1./(12*sin(t/2));

plot(t,kappa,'r-','LineWidth',2);
title('Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
grid on;

6 Circunferencia osculatriz en t=4

Para el punto [math]P = \gamma(4)[/math]:

• Radio de curvatura: [math]\rho = \frac {1} {|κ(t)|} = 12\sin(2) \approx 10.91[/math]
• Centro de curvatura: Se calcula numéricamente desplazando [math]P[/math] en dirección normal.

Circunferencia osculatriz en t=4

R=3;
t=4;
P=[R*(t-sin(t)),R*(1-cos(t))];
rho=12*sin(t/2);
N=[cos(t/2),-sin(t/2)]; 
Centro=P+rho*N;
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
figure(4);
plot(x,y,'b'); hold on; axis equal; grid on;
theta = linspace(0, 2*pi, 200);
xc=Centro(1)+rho*cos(theta);
yc=Centro(2)+rho*sin(theta);
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.5);
plot(P(1), P(2), 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');
title('Circunferencia Osculatriz en t=4');

7 Información sobre la curva

Generación de la trayectoria cicloidal

  La cicloide es una curva plana generada por la trayectoria de un punto fijo en el borde de una circunferencia generadora que rueda sin deslizar sobre una recta horizontal. Un ciclo completo de la curva se forma cuando el punto regresa a la recta horizontal (suelo), conocida como el eje directriz, abarcando una longitud de 2πr (perímetro de la circunferencia generadora), donde r es el radio de la circunferencia generadora.

  Las propiedades y definiciones importantes de la cicloide son:
  -Circunferencia Generadora: La circunferencia que gira y en cuyo borde se sitúa el punto que traza la curva.
  -Directriz (Eje Horizontal): La recta fija sobre la que rueda el círculo.
  -Punto Inferior y Superior: Los puntos más bajo (de contacto con la directriz) y más alto de la circunferencia generadora en cualquier instante, respectivamente.
  -Ángulo Principal: El ángulo entre la tangente a la cicloide en un punto dado y el eje horizontal.

Visualización de la tautócrona

  La cicloide posee varias propiedades matemáticas, como que toda normal a la cicloide pasa por el punto inferior del círculo generador, y la tangente pasa por el punto superior. También existe una relación angular entre el ángulo que forman la normal a la cicloide y la directriz, que será la mitad del ángulo principal.
  La cicloide es la solución a dos de los problemas más importantes de la mecánica clásica
  Es fundamental en problemas de minimización del tiempo de descenso bajo gravedad, ya que es la curva de descenso más rápido entre dos puntos únicamente por la acción de la gravedad y partiendo de reposo (Braquistócrona). También es la curva donde el tiempo de descenso a el punto más bajo es independiente del punto de partida (Tautócrona).

texto alternativo

  La evoluta de una curva se consigue al unir los centros de la circunferencia osculatriz a lo largo de la curva.

  Para el caso especifico de la cicloide, otra propiedad de la curva es que  su evoluta forma otra cicloide desplazada medio periodo.

  Sobre la circunferencia osculatriz, el las cúspides (donde toca el eje generador) el giro es instantaneo, por lo que el radio de la osculatriz es teoricamente 0, en la cima de la cicloide el radio de curvatura es 4 veces mayor que el de la circunferencia generadora (4r)

8 Estructura civil

Museo de arte Kimbell

  Un ejemplo destacado del uso de arcos cicloidales es el "Museo de Arte Kimbell" en Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn. La cubierta del Kimbell está constituida por un conjunto de bóvedas-cascarón cuya sección transversal sigue una forma de cicloide.
  La altura del techo pudo reducirse de los 9 metros de altura empleando un arco de circunferencia, a los 6 metros utilizando la cicloide, haciendo los espacios altos pero a la vez proporcionados y cómodos.

9 Superficie reglada en R3

Consideramos la superficie:

[math]\gamma(u, t) = (u, 3(t - \sin t), 3(1 + \cos t))[/math]

Cicloide parametrizada en dimensión 3

u=0:0.1:1;
t=0:0.1:2*pi;
[U,T]=meshgrid(u,t);

X1=U;
X2=R*(T-sin(T));
X3=R*(1+cos(T));

surf(X1,X2,X3);
colormap jet;
title('Superficie Reglada Cicloidal');
axis equal

10 Cálculo de la masa

Dada la densidad [math]f(x_1, x_2, x_3) = (1 + x_1)(1 + x_2)x_3[/math], calculamos la masa mediante la integral de superficie. El elemento de área diferencial es [math]dS = 6\sin(t/2) dt du[/math].

densidad=@(u,t)(1 + u).*(1+R*(t-sin(t))).*(R*(1+cos(t))).*(2*R*sin(t/2));
Masa=integral2(densidad,0,1,0,2*pi);
fprintf('Masa total: %.4f\n',Masa);

Resultado aproximado: La masa calculada es [math]750.58[/math] unidades.

11 Poster Cicloide Grupo 65