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Coordenadas Cilíndricas Parabólicas

Introducción

En este trabajo estudiamos las coordenadas cilíndricas parabólicas, un sistema de coordenadas especialmente útil cuando aparecen geometrías de tipo parabólico en el análisis de campos físicos.
Este tipo de coordenadas permite simplificar la descripción matemática de diversos problemas, especialmente aquellos relacionados con potenciales, distribuciones simétricas o configuraciones donde las parábolas juegan un papel fundamental.

El sistema se construye extendiendo al espacio tridimensional un cambio de coordenadas parabólicas definido originalmente en el plano. Su relación con las coordenadas cartesianas viene dada por:

Especificamos el dominio de las variables u,v y z:

1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas

1.1 Parametrización para cambio a cartesianas

A partir de la relación que vincula coordenadas cilíndricas parabólicas (u, v, z) con las cartesianas (x_1, x_2, x_3), se obtienen las siguientes expresiones:

• Línea coordenada \(\gamma_u\): se mantienen v y z fijas y varía u.

\(\gamma_u (t)\) = \(\gamma_u (t, v, z)\):[math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{t^2 - v^2}{2} , tv , z \right)[/math]

• Línea coordenada \(\gamma_v\): se mantienen constantes u y z, varía v.

\(\gamma_v(t)\) = \(\gamma_v(u, t, z)\): [math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}, ut, z \right)[/math]

• Línea coordenada \(\gamma_z\): se mantienen constantes u y v, varía z.

\(\gamma_z(t)\) = \(\gamma_z(u, v, t)\): [math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}, uv, t \right)[/math]

1.2 Gráficas y códigos MATLAB

Líneas coordenadas asociadas en 2 dimensiones

1.2.1 Código de las líneas coordenadas en 2 dimensiones

%Líneas coordenadas de u y v en 2D

figure;
hold on;

%Creación de los vectores
u = 0.5 : 0.05 : 5;
v = 0.5 : 0.05 : 5;
for i=-5:1:5
u_variable = i;
v_variable = i;

%Representación de la curva u, con v fijado 
x1_u = (u_variable.^2 - v.^2) / 2;
x2_u = u_variable .* v;
plot(x1_u, x2_u, 'm', 'LineWidth', 2);

%Representación de la curva v, con u fijado
x1_v = (u.^2 - v_variable.^2) / 2;
x2_v = u .* v_variable;
plot(x1_v, x2_v, 'r', 'LineWidth', 2);
end

%Configuración de la gráfica
title('Lineas u y v con distintos valores dados en 2D');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
legend({'Curva \gamma_u', 'Curva \gamma_v'}); 
grid on;
axis equal;
hold off;

Líneas coordenadas asociadas en 3 dimensiones y centradas en el origen

1.2.2 Código de las lineas coordenadas en 3 dimensiones, partiendo del origen

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas 
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0; 
v_const = 0; 

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = zeros(size(x1_f1)); % En el plano z = 0

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = zeros(size(x1_f2)); % En el plano z = 0

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u (rojo)
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), ...
     'FaceAlpha', 0.5, 'FaceColor', 'r');
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v (rojo)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)), ...
     'FaceAlpha', 0.5, 'FaceColor', 'r');

% Configuración de la figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Líneas coordenadas de u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;

2 CÁLCULOS TEÓRICOS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\)

2.1 Campos de Velocidad Lineas Coordenadas

Los campos de velocidad son los vectores tangentes obtenidos derivando las coordenadas:

1. Derivada respecto a \(u\): [math] \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\ \frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\ \frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \end{array} \right. \quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j}. \end{aligned} [/math]

2. Derivada respecto a \(v\): [math] \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\ \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\ \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \end{array} \right. \quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j}. \end{aligned} [/math]

3. Derivada respecto a \(z\): [math] \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\ \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\ \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1, \end{array} \right. \quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k}. \end{aligned} [/math]

2.2 Factores de Escala

Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados con las coordenadas \( u, v, z \) corresponden a los módulos de los campos de velocidad:

1. Para \(\gamma'_u\)→ [math] h_u = |\gamma'_u| = \sqrt{u^2 + v^2} [/math]

2. Para \(\gamma'_v\)→ [math] h_v = |\gamma'_v| = \sqrt{(-v)^2 + u^2} = \sqrt{v^2 + u^2} [/math]

3. Para \(\gamma'_z\)→ [math] h_z = |\gamma'_z| =1 [/math]

2.3 Vectores Tangentes

Los vectores tangentes unitarios se obtienen normalizando los vectores de velocidad calculados anteriormente:

1. [math]\mathbf{e}_u = \frac{\gamma'_u}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)[/math]

2. [math]\mathbf{e}_v = \frac{\gamma'_v}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)[/math]

3. [math]\mathbf{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right)[/math]

2.4 Comprobación de Ortonormalidad y Orientación

Para comprobar que estos vectores forman una base ortonormal:

1. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = [math]\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0[/math]

2. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= [math]\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0[/math]

3. Producto escalar \(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=[math] \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0[/math]

Asimismo, teniendo en cuenta que los módulos cumplen | \(\vec{e}_u | = | \vec{e}_v | = | \vec{e}_z | = 1 \), son vectores unitarios.

En cuanto a la orientación, tenemos en cuenta que el producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) [math] = \begin{bmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0 \end{bmatrix} = \vec{k} = \vec{e}_z [/math]

La orientación es positiva ya que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector.

Conclusión
Al cumplirse los puntos anteriores, se afirma que los vectores \(\{\vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z\}\) forman una base ortonormal orientada positivamente.

2.5 Representación Gráfica

Vectores unitarios tangentes a las líneas coordenadas

%Vectores a emplear
u=linspace(0.5,5,100); %Valores de u
v=linspace(0.5,5,100);%Valores de v

%Punto donde se cortan las curvas (interes para los vectores unitarios)
u_punto=1; %(u0,v0)
v_punto=1;
%Coordenadas cartesianas del punto (x1,x2)
x1_punto=(u_punto^2-v_punto^2)/2;
x2_punto=u_punto*v_punto;

%Lineas de coordenadas

%Curva Y_u: fijamos v(v_fijo) y es u quien se mueve en el tiempo (u=libre)
v_fijo=v_punto;
x1_u=(u.^2-v_fijo^2)/2;
x2_u=u.*v_fijo;

%Curva Y_v: fijamos u(u_fijo) y v es quien se mueve en el tiempo (v=libre)
u_fijo=u_punto;
x1_v=(u_fijo^2-v.^2)/2;
x2_v=(u_fijo).*v;

%Vectores tangentes (unitarios): e_u y e_v
%Vectores
vu=[u_punto,v_punto];
vv=[-v_punto,u_punto];
%Norma común
n=norm(vu);
%Unitarios
e_u=vu/n;
e_v=vv/n;

%Gráfico
figure;
hold on; grid on;
%Linea coordenada Y_u
plot(x1_u,x2_u,'b','LineWidth',1.5);
%Línea coordenada Y_v
plot(x1_v,x2_v,'r', 'LineWidth',1.5);
%Vector tangente unitario a Y_u 
quiver(x1_punto,x2_punto,e_u(1),e_u(2),'g','LineWidth',1.5);
%Vector tangente unitario a Y_v
quiver(x1_punto,x2_punto,e_v(1),e_v(2),'m','LineWidth',1.5);

%Estética del gráfico
title('Vectores unitarios tangentes a las líneas coordenadadas');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
xlim([-2 2]);
ylim([0 2]);
legend('Línea \gamma_u','Línea \gamma_v','Vector e_u','Vector e_v','Location','southeast');
axis equal;
hold off;

3 Matrices de cambio de base

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas. La matriz \( Q\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

[math] Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. [/math]

[math] Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. [/math]

La matriz inversa \( Q^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( Q\) es igual a su traspuesta, por lo que:

[math] Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. [/math]

[math] Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. [/math]

4 Expresar el campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico

Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de coordenadas en el espacio tridimensional \( \mathbb{R}^3 \) que extiende las coordenadas polares del plano a tres dimensiones usando una parábola. Estas coordenadas se denotan como \( (u, v, z) \), y su relación con las coordenadas cartesianas \( (x_1, x_2, x_3) \) es la siguiente:

[math] x_1 = \frac{u^2 - v^2}{2}, \quad x_2 = uv, \quad x_3 = z. [/math]

-Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados a las coordenadas \( u, v, z \) son:

[math] h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1. [/math]

Derivadas parciales

Las derivadas parciales de las coordenadas cartesianas \( x_1, x_2, x_3 \) con respecto a las coordenadas \( u, v, z \) son las siguientes:

[math] \frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0 [/math]

[math] \frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0 [/math]

[math] \frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1. [/math]

Matriz de cambio de base

La matriz de cambio de base se utiliza para transformar las coordenadas cartesianas en las correspondientes coordenadas en el sistema cilíndrico parabólico. Dicha matriz \( Q^{-1} \) se expresa como:

[math] Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}. [/math]

Transformación de las coordenadas cartesianas a coordenadas \( (u, v, z) \)

Utilizando el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \), expresado a continuación, produce las coordenadas \( r_u, r_v, r_z \) en la base \( \{ \vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z \} \)

[math] \vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}, [/math]

La multiplicación de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) por el vector \( \vec{r} \) da como resultado:

[math] r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z. [/math]

Conclusión

En el sistema de coordenadas cilíndricas parabólicas \( (u, v, z) \) las coordenadas se calculan aplicando la matriz inversa \( Q^{-1} \) al vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \). Esta transformación resulta útil cuando las coordenadas cartesianas no facilitan la resolución de un problema, permitiendo simplificar los cálculos en contextos donde las geometrías parabólicas son mas relevantes.

5 Gradiente del campo escalar en el sistema cilíndrico-parabólico.

Se parte del campo escalar \(f(x, y, z) = y\) y el punto \((x, y, z) = (0 ,1 ,1)\).

Primero, se busca pasar el campo escalar \(f(x, y, z) = y\) y el punto \((x, y, z) = (0 ,1 ,1)\) de coordenadas cartesianas al sistema de coordenadas cilíndrico-parabólicas en el que se trabajará.

Esto es simplemente sustituir \(y=uv\) :

\(f(u, v, z)=uv\)

Para el obtener el punto en el otro sistema se necesita la relación de las coordenadas cilíndrico-parabólicas con las cartesianas, para justificar esta relación se sigue con la siguiente demostración: [math] (x, y, z): \begin{cases} x = \left( \frac{w^2 - v^2}{2}\right) \\ y = uv \\ z = z \end{cases} \\[/math]

Nombramos \(p\) y \(q\) a \(u^2 \) y a \(v^2\) respectivamente y sustituimos \(p\) y \(q\) en el sistema de ecuaciones: [math] (x, y, z): \begin{cases} 2x =p-q (1)\\ y^2 = pq (2) \end{cases} [/math]

Se deja la ecuación (1) en función de \(q\): [math]q=p-2x[/math]

Posteriormente se sustituye en la ecuación (2)

\(p^2\)-\(2xp\)=\(y^2\)

Se obtienen las soluciones de la ecuación de segundo grado con \(p\) como incógnita, estas son:

[math] p_1 \, =\,x\,+\,\sqrt{x^2+y^2}\\ p_2=No válida por ser negativa[/math]

Ahora, deshaciendo el cambio de variable sale la relación buscada: [math]\begin{cases} u = \left (\sqrt{x+\sqrt{x+y}}\right) \\ v = \sqrt{-x+\sqrt{x+y}}\\ z = z \end{cases} \\[/math]

Finalmente, sustituyendo el punto \((x, y, z) = (0 ,1 ,1)\) se obtiene el punto en las coordenadas cilíndrico-parabólicas que es [math](u, v, z)= (1 ,1 ,1).\\[/math]

Calculo del gradiente del campo escalar:

El gradiente de un campo escalar f en coordenadas cilíndrico-parabólicas se calcula particularizando en la siguiente fórmula:

[math]\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}\vec{e_u}+ \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}\vec{e_v} + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}\vec{e_z}\\[/math]

Dónde: [math] h_u=h_v=\sqrt{u^2+v^2} ; h_z=1[/math]

Las derivadas parciales correspondientes serían:

\(\Large \frac{\partial f}{\partial u} \)=\(u\ ; \Large \frac{\partial f}{\partial v} \)=\(v\ ; \Large \frac{\partial f}{\partial z} \)=0

Finalmente al sustituir el punto en el gradiente obtenido queda la siguiente expresión:

[math]\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v}) [/math]

6 Divergencia de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico.

La divergencia de un campo vectorial \(\vec{F}\) en coordenadas cilíndrico-parabólicas se calcula particularizando en la siguiente fórmula:

[math]\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{h_u h_v h_z} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right].[/math]

Sustituyendo las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

[math] F_u = r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad F_v = r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad F_z = r_z = z. [/math]

Y también los factores de escala:

[math] h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad h_z = 1. [/math]

Se obtiene tras derivar la siguiente expresión:

[math] \nabla·\vec{r}=\frac{1}{u^2+v^2}·\left[\frac{\partial}{\partial u}(\sqrt{u^2+v^2}·1·\frac{u^3+u·v^2}{2\sqrt{u^2+v^2}})+\frac{\partial}{\partial v}(\sqrt{u^2+v^2}·1·\frac{u^2·v+v^3}{2\sqrt{u^2+v^2}})+\frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2+v^2}·\sqrt{u^2+v^2}·z)\right] [/math]

Simplificando se llega a la siguiente expresión:

[math] \nabla·\vec{r}=\frac{1}{u^2+v^2}·\left[\frac{1}{2}·(3u^2+v^2+u^2+3v^2)+u^2+v^2 \right]=\frac{3(u^2+v^2)}{u^2+v^2}=3 [/math]

Concluyendo entonces que: [math] div(\vec{r})=3 [/math]

7 Rotacional de un campo vectorial

El rotacional es un operador que indica la tendencia de un campo vectorial a producir giro o rotación alrededor de un punto. En coordenadas cilíndricas parabólicas, su expresión es:

[math] \nabla \times \vec{F} = \frac{1}{h_u h_v h_z} \begin{vmatrix} h_u \vec{e}_u & \frac{\partial}{\partial u}(h_u F_u) \\ h_v \vec{e}_v & \frac{\partial}{\partial v}(h_v F_v) \\ h_z \vec{e}_z & \frac{\partial}{\partial z}(h_z F_z) \end{vmatrix} [/math]

Los factores de escala son:

[math] h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \qquad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \qquad h_z = 1 [/math]

De modo que:

[math] h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2 [/math]

Sustituyendo estos valores, la expresión del rotacional queda:

[math] \nabla \times \vec{F} = \frac{1}{u^2 + v^2} \begin{vmatrix} \sqrt{u^2+v^2}\,\vec{e}_u & \frac{\partial}{\partial u}(\sqrt{u^2+v^2} F_u) \\ \sqrt{u^2+v^2}\,\vec{e}_v & \frac{\partial}{\partial v}(\sqrt{u^2+v^2} F_v) \\ \vec{e}_z & \frac{\partial}{\partial z}(F_z) \end{vmatrix} [/math]

7.1 Rotacional del campo posición [math]\vec{r}[/math]

Las componentes del campo posición son:

[math] r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2\sqrt{u^2+v^2}}, \qquad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2\sqrt{u^2+v^2}}, \qquad r_z = z [/math]

7.1.1 Componente en [math]\vec{e}_u[/math]

[math] e_u = \frac{\partial}{\partial v}(h_z F_z) - \frac{\partial}{\partial z}(h_v F_v) [/math]

Como:

[math]\frac{\partial}{\partial v}(z)=0, \qquad \frac{\partial}{\partial z}(h_v F_v)=0[/math]

Entonces:

[math] e_u = 0 [/math]

7.1.2 Componente en [math]\vec{e}_v[/math]

[math] e_v = \frac{\partial}{\partial z}(h_u F_u) - \frac{\partial}{\partial u}(h_z F_z) [/math]

Como ni [math]F_u[/math] ni [math]F_z[/math] dependen de [math]z[/math], ambos términos se anulan:

[math] e_v = 0 [/math]

7.1.3 Componente en [math]\vec{e}_z[/math]

[math] e_z = \frac{\partial}{\partial u}(h_v F_v) - \frac{\partial}{\partial v}(h_u F_u) [/math]

Cálculos:

[math] h_v F_v = \frac{v(u^2+v^2)}{2} \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial}{\partial u}(h_v F_v)=vu [/math]

[math] h_u F_u = \frac{u(v^2+u^2)}{2} \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial}{\partial v}(h_u F_u)=uv [/math]

Entonces:

[math] e_z = vu - uv = 0 [/math]

7.2 Resultado final

[math] \nabla \times \vec{r} = 0 [/math]

El campo vectorial es irrotacional, lo que significa que puede expresarse como el gradiente de un potencial, es conservativo y no presenta rotación.

8 Superficies de nivel

8.1 Descripción general

Dado los campos escalares:

[math]f_1(u,v,z)=u[/math]

[math]f_2(u,v,z)=v[/math]

[math]f_3(u,v,z)=z[/math]

Una superficie de nivel se define como:

[math]S_c={(u,v,z)\mid f(u,v,z)=c}[/math]

Así:

[math]S_c={(u,v,z)\mid u=c}[/math]

[math]S_c={(u,v,z)\mid v=c}[/math]

[math]S_c={(u,v,z)\mid z=c}[/math]

Las coordenadas cilíndricas parabólicas se relacionan con las cartesianas mediante:

[math] \begin{cases} x_1=\frac{u^2-v^2}{2}\\ x_2=uv\\ x_3=z \end{cases} [/math]

Interpretación geométrica:

[math]u=\text{cte}[/math]: cilindros parabólicos abiertos hacia [math]+x_1[/math].

[math]v=\text{cte}[/math]: cilindros parabólicos abiertos hacia [math]-x_1[/math].

[math]z=\text{cte}[/math]: planos paralelos a [math]x_1Ox_2[/math].

8.2 Código MATLAB y representación gráfica

En esta sección se representan las superficies de nivel de los campos escalares f₁(u,v,z)=u, f₂(u,v,z)=v y f₃(u,v,z)=z.

Cada superficie de nivel se obtiene fijando un valor constante del campo:

• Para f₁, se fija u = 1 → cilindro parabólico.
• Para f₂, se fija v = 1 → cilindro parabólico.
• Para f₃, se fija z = 1 → plano horizontal.

A continuación se muestra el código MATLAB utilizado para generar las tres superficies:

Superficies de nivel juntas

Superficies de nivel separadas

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
z = linspace(0, 2, 50);

% Creación de mallas 
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Superficie de nivel para f1 (u = constante)
u_const = 1;
x1_f1 = (u_const.^2 - V.^2)/2;
x2_f1 = u_const .* V;
x3_f1 = z;

figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_1');
axis equal;

% Superficie de nivel para f2 (v = constante)
v_const = 1;
x1_f2 = (U.^2 - v_const.^2)/2;
x2_f2 = U .* v_const;
x3_f2 = z;

subplot(1, 3, 2);
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_2');
axis equal;

% Superficie de nivel para f3 (z = constante)
x1_f3 = linspace(-5, 5, 50);
x2_f3 = linspace(-5, 5, 50);

[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x1_malla));

subplot(1, 3, 3);
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_3');
axis equal;
grid on

8.3 Superficies regladas

Una superficie reglada es una superficie obtenida mediante el desplazamiento de una recta —llamada generatriz— que se mueve apoyada en una o varias curvas directrices. Durante su movimiento, la generatriz describe un conjunto de rectas cuyas posiciones forman la superficie.

8.3.1 Caracterización

Una superficie reglada admite una parametrización:

[math]\phi(u,v)=\gamma(v)+u,\vec{w}(v)[/math]

Las superficies de nivel de [math]u[/math], [math]v[/math] y [math]z[/math] son superficies regladas porque forman cilindros parabólicos o un plano.

Parametrizaciones:

Para [math]u=1[/math]:

[math] \phi(v,z)=\gamma(v)+z\vec{k} [/math] [math] \gamma(v)= \begin{cases} x_1=\frac{1-v^2}{2}\\ x_2=v\\ x_3=0 \end{cases} [/math]

Para [math]v=1[/math]:

[math] \phi(u,z)=\gamma(u)+z\vec{k} [/math] [math] \gamma(u)= \begin{cases} x_1=\frac{u^2-1}{2}\\ x_2=u\\ x_3=0 \end{cases} [/math]

Para [math]z=1[/math]:

[math] \phi(u,v)=\gamma(u)+v\vec{i} [/math] [math] \gamma(u)= \begin{cases} x_1=\frac{u^2-v^2}{2}\\ x_2=uv\\ x_3=1 \end{cases} [/math]

8.3.2 Utilidades de las superficies regladas

En un ámbito general, las superficies regladas son muy útiles porque:

1. Permiten diseñar estructuras complejas con superficies planas o curvas.
2. Son útiles para corte y doblado de materiales planos (metal, madera, vidrio), ya que cualquier sección a lo largo de la recta es recta.
3. Facilitan la generación rápida de superficies 3D, ya que basta con desplazar rectas en lugar de calcular curvas complejas.
4. Son muy visuales, ayudando a entender cómo se generan superficies a partir de rectas y cómo se relaciona la geometría con funciones matemáticas.
5. Son fáciles de parametrizar y analizar.
6. Muchas de sus propiedades geométricas (curvatura, tangentes) se pueden calcular de forma directa.
7. Pueden ser producidas con herramientas planas, lo que simplifica la fabricación de piezas.

8.3.3 Aplicaciones en ingeniería

Llevadas al ámbito de la ingeniería, estas características resultan muy valiosas, ya que combinan geometría simple con funcionalidad estructural. Entre sus aplicaciones destacan:

1. Diseño estructural: creación de rampas, puentes, fachadas y cubiertas.
2. Fabricación y construcción: ideales para materiales planos como aluminio o vidrio, permitiendo construir curvas sin necesidad de doblar excesivamente los materiales.
3. Optimización de estructuras: reducen costos, disminuyen el desperdicio de material y aligeran perfiles como vigas y tubos.
4. Modelado y simulación: su sencilla parametrización facilita el análisis de tensiones y deformaciones, utilizándose en software CAD y FEM para modelar geometrías complejas sin complicaciones matemáticas.
5. Estética y funcionalidad: permiten crear formas arquitectónicas impresionantes y elegantes sin sacrificar resistencia estructural.

9 Calculo de la curvatura

Determinar la curvatura \( k(t) \):

Ecuación de la parábola

La ecuación de la parábola dada es:

[math] y = -Ax^2 + B [/math] Donde:

• [math]A = 3[/math]
• [math]B = 1[/math]
• [math]x \in [-1, 1][/math]

Ecuación particular

Sustituyendo los parámetros A y B dados obtenemos:

[math] y = -3x^2 + 1 [/math]

Parametrización

Realizamos la parametrización de la ecuación, la cual es directa:

[math] \gamma(t) = (t, -3t^2 + 1, 0) [/math] Con: [math]t \in [-1, 1][/math]

Fórmula de la curvatura

Definimos la curvatura de una función parametrizada como:

[math] k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3} [/math]

Cálculos de las derivadas

Realizamos el cálculo de las derivadas

1. Primera derivada (velocidad): [math] \gamma'(t) = (1, -6t, 0) [/math]

2. Segunda derivada (aceleración): [math] \gamma''(t) = (0, -6, 0) [/math]

Producto vectorial entre \( \gamma'(t) \) y [math] \gamma''(t) [/math]

[math] \gamma'(t) \times \gamma''(t) = \begin{vmatrix} \mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\ 1 & -6t & 0 \\ 0 & -6 & 0 \end{vmatrix} = (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}} [/math]

[math] \gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6) [/math]

Módulo del producto vectorial

[math] \| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2} = \sqrt{36} = 6 [/math]

Módulo de \( \gamma'(t) \)

[math] \| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 36t^2} [/math]

Curvatura

Sustituyendo en la fórmula de la curvatura obtenemos:

[math] k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}} [/math]

Evaluación en puntos específicos

Evaluando la curvatura en puntos de interés:

1. Para [math]t = -1[/math]: [math] k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}} = \frac{6}{37^{3/2}} = 0,027 [/math]

2. Para [math]t = 1[/math]: [math] k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}} = \frac{6}{37^{3/2}} = 0,027 [/math]

3. Para [math]t = 0[/math]: [math] k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}} = 6 [/math]

Conclusión

La mayor curvatura se encuentra en el vértice de la parábola, y tiene un valor de 6 .

La menor curvatura se encuentra cuando [math]t = -1[/math] & [math]t = 1[/math], en estos puntos, la curvatura tiene un valor de [math]\frac{6}{37^{3/2}}[/math] = 0,027, la cual es prácticamente 0 (una recta).

Curvatura.

clear,clc
% Parámetros de la parábola
A = 2;
B = 2;

% Intervalo de t (x)
t = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura teórica
kappa = (2 * A) ./ ((1 + 4 * A^2 * t.^2).^(3/2));

% Gráfica de la curvatura
figure;
plot(t, kappa, 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = -Ax^2 + B');
xlabel('t (x)');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;

% Mostrar los puntos de mayor y menor curvatura
hold on;
plot(0, 2*A, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'DisplayName', 'Mayor curvatura');
plot([-1, 1], kappa([1, end]), 'go', 'MarkerSize', 8, 'DisplayName', 'Menor curvatura');
legend;

10 Uso de la parábola en ingeniería

10.1 Definición de la parábola

Podemos definir la parábola de distintas formas, según su campo de estudio:

1. En matemáticas, se define como la sección cónica de excentricidad igual a 1, resultante de cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo de ángulo de inclinación respecto al eje de revolución del cono igual al presentado por su generatriz.

2. En dibujo técnico, se define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta llamada directriz, y un punto interior a la parábola llamado foco.

3. En geometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o semejanza.

La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas ya que su forma se corresponde con las gráficas de las ecuaciones cuadráticas. Un ejemplo de ello las trayectorias ideales de los cuerpos que se mueven bajo la influencia exclusiva de la gravedad, que son parábolas.

10.2 Aplicaciones en ingeniería civil y arquitectura

Una de las propiedades características de la parábola es su capacidad de distribuir cargas de manera uniforme y concentrar la energía en un punto, su foco, debido a su simetría y la forma en la que los vectores de fuerza interactúan con sus puntos de apoyo.

Reflexión parábola

Las propiedades de la parábola se pueden clasificar desde tres puntos de vista: Esto provoca que durante los años se hayan desarrollado infinidad de aplicaciones tanto en diseño estructural como arquitectónico, siendo las siguientes las más relevantes:

1. Punto de vista estructural

Dada la propiedad de la parábola de distribuir las fuerzas, se pueden construir estructuras eficientes, con un bajo coste de material, con respecto a otro tipo de geometrías que serían mucho menos eficientes y aumentarían los costes así como el impacto medioambiental de la construcción.

Algunos ejemplos significativos:

1.1. Puentes colgantes. En este tipo de puentes, los cables principales tienen un trayectoria cercana a la parabólica aunque realmente es cilíndrica, lo que permite que las cargas se distribuyan uniformemente desde el tablero hasta las torres. Un ejemplo significativo es el Puente de Brooklyn.

Puente de Brooklyn

1.2. Presas de Bóveda. En este tipo de presas, las fuerzas horizontales generadas por la presión de la columna de agua se distribuyen hacia los laterales de la presa donde se presupone un buen material de recepción que soporte estas cargas. Un ejemplo significativo es la presa del Atazar en Madrid en el paso del Rio Tajo.

Presa del Atazar

2. Punto de vista geométrico

La propiedad de la parábola de reflexión de ondas, permite ser de utilidad en muchas aplicaciones como audiovisuales, telecomunicaciones, etc. Nos podemos encontrar esta propiedad continuamente en nuestra vida cotidiana como por ejemplo en los faros de los coches, los altavoces de música, la antenas parabólicas, y la lista continua.

Algunos ejemplos significativos:

2.1. Antena parabólica. La reflexión de las ondas es el fundamento de funcionamiento de las antenas parabólicas, lo que permite potenciar y enviar la energía a grandes distancias, incluso al espacio exterior.

Antena Parabólica

2.2. Luminarias. De nuevo, la capacidad de reflexión y potenciar la emisión de energía es de utilidad en todo tipo de luminarias. Por ejemplo en los faros de los coches.

Faro de coche

3. Punto de vista de construcción y arquitectura

Debido a su resistencia y eficiencia estructural, las estructuras parabólicas son de gran utilidad a la hora de cubrir amplias superficies.

3.1. Estadios y cúpulas. En los estadios modernos se salvan grandes longitudes de vanos sin la necesidad de colocar vigas de apoyo en la parte frontal, lo que bloquearía la visual del espectáculo. Un ejemplo podría ser el estadio Olímpio de Atenas construido para las olimpiadas de 2004.

Estadio Olímpico de Atenas

3.2. Acueductos históricos. El ejemplo más icónico de los acueductos son los construidos por los romanos, que mediante formas parabólicas maximizaban la estabilidad y transportaban agua a largas distancias. Por ejemplo tenemos muy cerca el Acueducto Romano de Segovia que data del siglo II d.C.

Acueducto Romano de Segovia

11 Bibliografía

• https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_ortogonales

• https://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_coordinates

• Apuntes de clase & Trabajos de otros años

• Imágenes obtenidas a través de Google

• Chat GPT

12 Póster

Archivo:Poster grupo10.pdf