Diferencia entre revisiones de «La Cicloide (Grupo 49)»

Revisión actual del 20:42 7 dic 2025

1 Introducción

Se considera la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas, conocida como cicloide y donde R es un número positivo fijado:
[math] γ(t) = (x(t), y(t)) = (R(t-sint),R(1-cost)) = (3(t-sint),3(1-cost))[/math], [math] t ∈ (0,2π)[/math]
Una cicloide es una curva plana generada por el movimiento de un punto fijo situado en el perímetro de una circunferencia que rueda sin deslizar sobre una línea recta. Matemáticamente, puede describirse mediante ecuaciones paramétricas que dependen del ángulo de rotación de la circunferencia. De forma gráfica, la curva que genera el fenómeno de la cicloide, se puede apreciar en la trayectoria que formaría un punto imaginario en una llanta de bicicleta mientras se desplaza hacia adelante. La cicloide posee propiedades únicas como:
-La longitud del arco completo equivale a 8 la longitud del radio de la circunferencia que describe la cicloide.
-El área bajo la curva es A=3piR^2
-La cicloide es una curva braquistócrona, lo que significa que permite el descenso más rápido entre dos puntos bajo gravedad.
-También es tautócrona, de modo que el tiempo de descenso es igual sin importar desde qué punto se inicia.
Estas características la hacen útil para optimizar tiempos, trayectorias y mecanismos. En ingeniería, especialmente en ingeniería civil, se emplea en el diseño de puentes y arcos, ya que su forma ayuda a distribuir cargas de forma eficiente, y en el diseño de rampas, canales de transporte y túneles, permitiendo recorridos más rápidos y con menor consumo energético.

2 Representación de la curva

Se dibuja la curva empleando el siguiente código en MATLAB:

Figura 1. Representación del cicloide

% Datos
R=3;
t=linspace(0,2*pi,100); %dominio
% Ecuaciones parametricas
X=R*(t-sin(t));
Y=R*(1-cos(t));
%Dibujo
figure;
plot(X,Y,'red','LineWidth',1);
axis equal;
grid on;
title('La Cicloide');
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');

3 Vector velocidad y aceleración

3.1 Cálculo de los vectores velocidad y aceleración

Se sabe que la velocidad es la derivada de la curva respecto de t, por tanto:
Vector velocidad:
[math] γ'(t)= (x’(t)\vec i + y’ (t)\vec j) = (3 (1-cos t )\vec i + 3 (sin t)\vec j) [/math]
Y por consiguiente, la aceleración es la derivada de la velocidad respecto de t:
Vector aceleración:
[math] γ''(t)= (x’’(t)\vec i + y’’ (t)\vec j) = (3 (sint )\vec i + 3 (cos t)\vec j) [/math]

3.2 Representación de los vectores velocidad y aceleración

Representación de la velocidad en MATLAB:

Figura 2. Representación de la velocidad

R=3;
% Dominio
t=linspace(0,2*pi,100); 
% Ecuaciones paramétricas
X=R*(t-sin(t)); 
Y=R*(1-cos(t)); 
% Vectores de la velocidad
vx=R*(1-cos(t)); 
vy=R*(sin(t)); 
% Dibujo
figure;
hold on
plot(X,Y,'red','LineWidth',3);
axis equal;
grid on;
title('La Cicloide');
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
% Dibujo vectores velocidad
for i=1:3:100
    quiver(X(i),Y(i),vx(i),vy(i),1,'color','green','LineWidth',0.7,'MaxHeadSize',0.3);
end
axis([-1,max(X)+2,-2,max(Y)+2])
legend('Cicloide','Vectores de velocidad','location','best');
hold off

Representación de la aceleración en MATLAB:

Figura 3. Representación de la aceleración

R=3;
% Dominio
t=linspace(0,2*pi,100); 
% Ecuaciones paramétricas
X=R*(t-sin(t)); 
Y=R*(1-cos(t)); 
% Vectores aceleración
ax=R*(sin(t)); 
ay=R*(cos(t)); 
% Dibujo
figure;
hold on
plot(X,Y,'red','LineWidth',3);
axis equal;
grid on;
title('La Cicloide');
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
%Dibujo vector aceleración
for j=1:3:100
    quiver(X(j),Y(j),ax(j),ay(j),1,'color','m','LineWidth',0.7,'MaxHeadSize',0.3);
end
axis([-1,max(X)+2,-2,8])
legend('Cicloide','Vectores de aceleración','location','best');
hold off

4 Longitud de la curva

4.1 Cálculo de la longitud de la curva de manera teórica

Se define la longitud de la curva como:
[math] ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(3-3cost)^2 +(3sent)^2}dt=3\sqrt{2}\int_{0}^{2π}\sqrt{1-cost}dt =3\sqrt{2}\int_{0}^{2π}\sqrt{2sen^2(t/2)}dt=6\int_{0}^{2π}sen(t/2)dt=24 [/math]

5 Vector tangente y normal de la curva

5.1 Cálculo de la tangente

Figura 4. Vectores normales y tangentes

Para poder calcular la tangente se comienza con el módulo de la velocidad:
[math] |γ′(t)|= \sqrt{9((1- cost)^2+sen^2t)} [/math]
Ahora, sabiendo su resultado, se define el vector tangente como:
[math] \vec t(t) = \frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} = \frac{3((1-cost)\vec i + (sint)\vec j)}{3(\sqrt{2-2cost})} = \frac{(1-cost)\vec i + (sint)\vec j}{\sqrt{2-2cost}}[/math]

5.2 Cálculo de la normal

Producto vectorial [math]\vec v × \vec a [/math] :
[math]\vec v × \vec a=\begin{bmatrix} \vec i& \vec j& \vec k\\ 1-cost& sent &0\\ sent & cost & 0 \end{bmatrix} = 9(cost-cos^2t-sen^2t)=9(cost-1)= -9(1-cost)\vec k [/math]
Módulo de [math]\vec v × \vec a [/math] :
[math] |\vec v × \vec a|= \sqrt{9^2 (cost-1)^2}= 9\sqrt{cos^2t-2cost+1}= 9(1-cost) [/math]
Vector binormal:
[math]\vec b= \frac{\vec v × \vec a}{|\vec v × \vec a|}= \frac{-9(1-cost)}{ 9(1-cost)}=-1=-\vec k [/math]
Vector normal:
[math] \vec n(t) = \vec b× \vec t=\frac{1}{\sqrt{2+2cost}}\begin{bmatrix} \vec i& \vec j& \vec k\\ 0& 0 &-1\\ 1-cost& sent & 0 \end{bmatrix} = \frac{(-sint)\vec i + (1-cost)\vec j}{\sqrt{2-2cost}} [/math]

6 Curvatura

Se conoce la fórmula de la curvatura de manera geométrica como:
[math] \kappa\ (t)=\frac{|\vec v × \vec a|}{|\vec v|^3}=\frac{9(1-cost)}{(3 \sqrt2 \sqrt{1-cost})^3}= \frac{3(1-cost)}{3( \sqrt2 \sqrt{1-cost})^3}= \frac{1-cost}{6\sqrt2(1-cost)\sqrt{1-cost}}= \frac{1}{6\sqrt2\sqrt{1-cost}} [/math]
Sin embargo, esta solo determina cuanto se curva a cicloide, por tanto empleamos la siguiente fórmula:
[math] \kappa\ (t)=\frac{x'(t)y''(t) - x''(t)y'(t)}{(x'(t)^2 + y'(t)^2)^\frac{3}{2}}= \frac{(3(1-cost))((3cost))-((3sent))((3sent))}{((3sin(t)^2)(3cos(t)^2))^\frac{3}{2}}=\frac{-1}{6\sqrt2\sqrt{1-cost}} [/math]

6.1 Representación de la curvatura

Figura 5. Representación de la curvatura

% Parámetros
% Rango de t
t=linspace(0,2*pi,100);  
% Curvatura de la cicloide
k= (-1)./(6*sqrt(2)*(sqrt(1-cos(t))));
% Dibujo de la curvatura
hold on
plot(t,k,'b','LineWidth',2);
axis equal;
grid on;
title('Curvatura de la Cicloide');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold off;

7 Circunferencia Osculatriz

Se considera el punto 𝑃 = 𝛾(4), correspondiente a 𝑡 = 4. Para calcular el centro y el radio se utilizan las siguientes fórmulas:
[math]R(t)=\frac{1}{|\kappa(t)|}=10.9116[/math]
[math]Q(t)=\gamma(t)+\frac{1}{\kappa(t)}\,\vec{n}(t)=18,8112\vec i + 14,8828 \vec j[/math]

Figura 6. Representación del cicloide con la Circunferencia Osculatriz

%Cicloide
R=3;
t=4;
tO= linspace(0, 2*pi, 200);
%Ecuaciones parametricas
XO=R*(t-sin(t));
YO=R*(1-cos(t));

X=R*(tO-sin(tO));
Y=R*(1-cos(tO));

f=[XO,YO];

% Curvatura de la cicloide
k= -(1)./(6*sqrt(2)*(sqrt(1-cos(t))));

%vector normal
nx= (-sin(t))./sqrt(2-2*cos(t));
ny= (1-cos(t))./sqrt(2-2*cos(t));

%Invertir la dirección de los vectores normales
nx=-nx;
ny=-ny;

N=[nx,ny];

%Osculatriz en t=4
radio= 1./(abs(k)); %radio de la cirvcunferencia osculatriz

%Coordenadas del origen de la circunferencia:
centro= f + N./k;

cx= centro(1) + radio * cos(tO);
cy= centro(2) + radio * sin(tO);

%Grafica curva
plot(X,Y,'red','LineWidth',1);
title('La Cicloide y la circunferencia Osculatriz');
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');

%Gráfica osculatriz
hold on
plot(cx,cy, 'b--', 'LineWidth', 1);
axis equal
grid on

%Punto
plot(XO, YO,'yo', 'MarkerFaceColor', 'k');
hold off

legend('Cicloide', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P (t=4)', ... 
    'Location', 'best');

8 La Cicloide en la ingeniería civil

8.1 Museo del Arte Kimbell

Uno de los ejemplos más famosos del uso de la cicloide en al arquitectura moderna. El arquitecto Louis Kahn y el ingeniero civil August Komendant, diseñaron el techo del museo compuesto de una serie de bóvedas de cañón. Estas estructuras son de forma cicloidal.

8.2 Cycloïd Piazza

Una instalación creada por Raphaël Zarka, fue inagurada en 2024 en la plaza del Centre Pompidou de París. La estructura es una escultura formada por superficies curvas basadas en la cicloide.

8.3 Hopkins Center for the Arts

La fachada original del Hopkins Center for the Arts (el "Hop") en Dartmouth College, diseñada por Wallace K. Harrison y abierta en 1962, presenta una serie de arcos de forma geométrica distintiva que se basan en la curva cicloide.

9 Superficie Reglada

Se pueden crear superficies partiendo de la parametrización de una curva. Estas superficies reciben el nombre de superficies regladas. En este caso, utilizando como base la parametrización dada de la cicloide, se construye una superficie reglada de la siguiente forma:
[math] Φ(u,v) = (u,3(1-cos v),3(1-cos v)), u \in [0,1],v \in [0,2π) [/math]

9.1 Representación de la superficie

Figura 7. Representación de la superfice

%Definir espacio de trabajo
R=3;
u=linspace(0,1,10);
v=linspace(0,2*pi,50);
 % Creación de la malla de puntos
[U,V]=meshgrid(u,v);

%funciones de cicloide
x1=U;
x2=R.*(V-sin(V));
x3=R.*(1+cos(V));

%Gráfico
figure;
mesh(x1,x2,x3);
title('La Cicloide en 3D');
xlabel('x1');
ylabel('x2');
zlabel('x3');
surf(x1,x2,x3)
axis equal
grid on

10 Cálculo de la Masa

Se proporciona la siguiente función de densidad: [math] ρ(x_1,x_2,x_3)=(1+x_1)(1+x_2)x_3[/math]
El elemento diferencial es: [math] dS=6sen(v/2)dudv[/math]
[math]M=\iint ρ(Φ(u,v))||\vec r_u × \vec r_u||\,du\,dv[/math]

rho=@(u,v)(1 + u).*(1+R*(v-sin(v))).*(R*(1+cos(v))).*(2*R*sin(v/2));
Masa=integral2(rho,0,1,0,2*pi);
fprintf('Masa total: %.4f\n',Masa);

Se obtiene un resultado de unas 750.5792 unidades.

11 Póster

https://drive.google.com/file/d/1ahfw9oAy7gm9g7yBdLzct88p5dWStp_8/view?usp=sharing

12 Bibliografía

https://arquitecturaviva.com/works/museo-de-arte-kimbell-fort-worth#lg=1&slide=0 https://purodiseno.lat/tendencias/un-artista-diseno-una-espectacular-pista-de-skate-en-el-centro-pompidou-para-los-juegos-olimpicos-paris-2024/